素数

素数を見分ける

このビデオで私は素数というものの

意味について少しお話したいと思います．

このビデオでお見せする考えが

とても素直なものだと思ってもらえると嬉しいです．

しかし数学のキャリアを上るにつれて

あなたはこの素数の考えに基いて作られた

洗練された考えについて知ることになるでしょう．

それは暗号の理論を含みます．

あなたがちょうど今使っているコンピュータも

素数を基礎にして暗号化を行なっていることでしょう．

あなたが暗号化とは何かを知らなくても，

今は心配することはありません．

単に素数がとても重要なことだと
知ってもらえればかまいません．

ここではその定義を与えます．

この定義はちょっと混乱するかもしれません．

しかし例と一緒に考えれば，
そんなに難しくないこととわかると思います．

ある数が素数というのは，もしある自然数，

自然数というのはたとえば 1, 2, 3 (1 からはじまる数える数)です．

あるいは「正の整数」とも言えます．

その自然数が厳密に2つの自然数だけで割りきれるものです．

ほかの2つの自然数，いや，ほかのと言うべきではないですね．厳密に2つの自然数だけで割りきれるものです．

1つは数それ自身，もう1つは 1 です．

これらが2つの割り切れる数です．2つのほかの自然数とはいいません．なぜなら割り切れる数の1つはほかではなくてそれ自身だからです．

この説明でわからなければちょっと例をお見せしましょう．

ある数が素数かどうかをみつけましょう．

一番小さな自然数からはじめましょう．

数 1 はどうでしょうか．「1 は 1 で割り切れる」，

そして「1は自分自身でも割り切れる」．ヘイ! 1 は素数だ! と思うかもしれません．

しかし思い出して下さい．定義では，素数は，厳密に2つの数だけで割れる数です．

1 は実は1つだけの数，1 だけでしか割り切れません，

ですから，ちょっと直感に反するかもしれませんが，1 は素数ではありません．

では 2 に行きましょう．

2 は 1 と 2 で割り切れます．そして他の自然数では割り切れません．

これは定義に合うようですね．

これは厳密に2つの自然数で割り切れます．

それ自身と 1．ですから 2 は素数です．

素数を丸で囲んでおきます．

2 はちょっと興味深いです．なぜなら，

偶数の素数はこれしかないからです．

考えてみれば，どんな他の偶数も，

2 で割り切れるので，他の偶数は素数ではありません．

これについてはまた他のビデオで考えてみたいです．

3 を考えてみましょう．そうですね 3 は確実に 1 と 3 で割り切れます．

そしてその間の数では割り切れません．

つまり 2 では割り切れません．ですから 3 は素数です．

4 を考えてみましょう．

4 は 1 と 4 で割り切れます．しかし，

2 でも割り切れます．ですから 1, 2, 4 の

3 つの自然数で割り切れます．

これは素数の条件には合いません．

では 5 を試しましょう．

5 は確実に 1 で割り切れます．

2, 3, 4 では割り切れません．

5 割る 4 はできますが，余りがでます．

そしてもちろん 5 で割り切れます．

ですから 5 は厳密に 2 つの数，1 と 5 で割り切れます．

5 は素数です．続けましょう．

何かここでパターンが見えるでしょうか?

たぶんこれはとても難しいことで，

人々を惑わしています．では 6 を試しましょう．

これは 1, 2, 3, 6 で割り切れます．

これは 4 つの自然数を「因数」に持ちます．

このように言うことができるでしょう．

これは厳密に 2 つの割り切る数を持ちません．

4 つあります．ですから素数ではありません．

7 に行きましょう．

7 は 1 で割り切れますが，2, 3, 4, 5, 6 では割れません．

しかしこれは 7 で割り切れます．

ですから 7 は素数です．もうこれがどういう考えかわかってきたでしょう．

いくつの自然数，(自然数とは) 1, 2, 3, 4, 5, 6 のような数，

たぶん 2 歳の時に習ったような数です．

0 を含まず，負の数を含まず，

分数や無理数や，

小数などの他の数を何も含まない，

単なる数える時に使う正の数です．

もしそのうちの2つだけしか割り切らない場合，

もしそれ自身と1だけでしか割れない場合，

それは素数です．

私がこれを考える時には，

1 を特別な場合として考えません．

素数は数を作る数の素のようなものです．

それはもうそれ以上分割できないものです．

たとえるなら，原子のようなものです．

原子が何かを考えれば，

あるいは人々が原子について最初に考えたことですが，

人々は原子はもうこれ以上

分割できないものだと思っていました．

実は今では，もし核爆発を起こせば，

原子を分割することができます．

しかし，素数も同じような考えが背景にあります．

それらは，より小さな自然数のかけ算(積)には

分割できません．

6 のようなものでは，ヘイ，6 は 2 かける 3 だ．

とこのように分割することができます．注意して下さい．私達は

6 を素数の積として分割できます．

それはある意味，数の素になるものへと分割できました．

7 はこれ以上分割することができません．

言えるのは 7 は 1 かける 7 に等しいということだけです．

この場合，実際には分割していません．

また 7 がでてきてしまったからです．

6 は実際に分割することができます．

4 は 2 かける 2 に分割することができます．

ではこれとは違って，

何か大きな数について考えましょう．大きな数が

素数がどうかを考えましょう．

16 について考えましょう．

どんな自然数でも 1 とそれ自身で割り切れます．

ですから 16 は 1 と 16 で割り切れます．

まずは 2 で割り切れるかを考えます．

もし 1 とそれ自身以外の何かで割り切れたら，

それは素数でないことがわかります．

16 は 2 かける 8 ですね．

4 かける 4 もあります．

つまりこの場合には1 と 16 以外に

いくつも因数があります．

なので 16 は素数ではありません．17 はどうですか?

1 と 17 はもちろん 17 を割り切ります．

2 は 17 を割り切りません．3 も割り切りません．4, 5, 6, 7, 8, ...

これらは皆 17 を割り切りません．1 と 17 の間で 17 を割り切る数はありません．

ですから 17 は素数です．

ではちょっと難しいのを試してみましょう．

これは多くの人が間違います．

51 はどうですか? 51 は素数ですか?

興味があればここでビデオをポーズして

自分自身でこれが素数かどうか

考えてみて下さい．

もし 1 と 51 の間で 51 を割る数をみつけられるか，

これはどうやら．．．

これはある意味奇妙な数です．

多分あなたはこれを素数だと思うのではないでしょうか．

では答えです．

これは素数ではありません．なぜなら 3 と 17 で割れるからです．

3 かける 17 は 51 です．

このビデオで，素数とはどういうものかについて

考えをつかんでもらえたら嬉しいです．

そして未来のビデオでは素数についての練習問題を

いくつかできると良いと思います．