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Differentiating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy

  • 0:00 - 0:02
    f(x)는 다음
  • 0:02 - 0:04
    급수와 같습니다
  • 0:04 - 0:05
    그리고 f의 삼계도함수가
  • 0:05 - 0:10
    x = 0일 경우의
    값을 구해야 합니다
  • 0:10 - 0:12
    언제나 그랬듯 영상을 멈추고
  • 0:12 - 0:15
    같이 풀기 전에
    혼자서 풀어보세요
  • 0:15 - 0:17
    이 문제를 푸는 두 가지
    방법이 있습니다
  • 0:17 - 0:20
    한 가지 방법은 해당 식에
  • 0:20 - 0:23
    시그마가 씌워져있을 때
    도함수를 구합니다
  • 0:23 - 0:24
    또 다른 방법은 f(x)를 전개하고
  • 0:24 - 0:27
    삼계도함수를 구한 뒤
  • 0:27 - 0:30
    답이 나오는지 봅시다
  • 0:30 - 0:31
    첫 번째로 두 번째
    방법을 사용합시다
  • 0:31 - 0:33
    먼저 전개해 봅시다
  • 0:33 - 0:35
    f(x)의 값은
    n이 0과 같을 경우
  • 0:35 - 0:38
    이는 -1의
    0제곱이며 1이고
  • 0:38 - 0:42
    곱하기 x^0+3인
  • 0:43 - 0:46
    x^3
  • 0:46 - 0:50
    나누기 2곱하기0
    (0+1)!
  • 0:50 - 0:52
    따라서 이는 나누기 1입니다
  • 0:52 - 0:55
    그리고 다음 항은
    n이 1일 경우
  • 0:55 - 0:57
    이 값은 -1^1인
  • 0:57 - 1:00
    -1이 앞에 붙습니다
  • 1:00 - 1:03
    음수가 되며
    2x1+3은
  • 1:03 - 1:07
    5이기 때문에 x^5
  • 1:08 - 1:12
    나누기 (2x1+1)!
  • 1:13 - 1:16
    2+1 = 3이기 때문에
    3!입니다
  • 1:16 - 1:18
    따라서 이는 x^5/6입니다
  • 1:18 - 1:21
    그리고 x = 2인 경우
  • 1:21 - 1:23
    다시 양수가 됩니다
  • 1:23 - 1:27
    그리고 이는 x^7 나누기
  • 1:28 - 1:30
    5!입니다
  • 1:32 - 1:33
    맞나요? 맞습니다
  • 1:33 - 1:35
    5!
  • 1:35 - 1:37
    이를 그냥 5!로 적겠습니다
  • 1:37 - 1:41
    5!은 120입니다
  • 1:41 - 1:44
    이는 5x4x6인
    120입니다
  • 1:44 - 1:45
    계속해서 적습니다
    -+..
  • 1:45 - 1:48
    이렇게 계속 반복되죠
  • 1:48 - 1:50
    이제 도함수를 구해봅시다
  • 1:50 - 1:53
    f'(x)는
  • 1:53 - 1:55
    멱의 법칙을 적용합니다
  • 1:55 - 1:57
    이는 3x^2 빼기
  • 1:57 - 2:01
    5/6x^4 더하기
  • 2:04 - 2:08
    7/5!x^6
  • 2:08 - 2:09
    멱의 법칙을 적용하고 있습니다
  • 2:09 - 2:13
    -+, 이렇게 계속 반복되죠
  • 2:13 - 2:17
    이계도함수는
  • 2:17 - 2:20
    멱의 법칙을 다시 적용합니다
  • 2:20 - 2:24
    6x -
    4 x 5
  • 2:24 - 2:29
    나누기 6
    (20/6x)^3
  • 2:30 - 2:34
    더하기 6x7
    42/5!
  • 2:36 - 2:39
    (42/5!x)^5
    이렇게 계속 반복됩니다
  • 2:39 - 2:42
    -+, 이렇게 더하기와
    빼기가 교차하여 반복됩니다
  • 2:42 - 2:45
    어떤 값 더하기 빼기
    이렇게 반복되죠
  • 2:45 - 2:46
    이제 삼계도함수를 구해봅시다
  • 2:46 - 2:49
    삼계도함수는
  • 2:49 - 2:51
    6x의 도함수는 6이고
  • 2:51 - 2:56
    -20x3은 60/6이고
  • 2:56 - 2:59
    x^2
  • 2:59 - 3:03
    더하기 5x42
    210/5!
  • 3:04 - 3:07
    곱하기 x^4 - +
  • 3:07 - 3:09
    이렇게 계속 반복됩니다
  • 3:09 - 3:11
    이 값이 x=0인
    경우를 구합니다
  • 3:11 - 3:15
    f'''(0)
    x = 0인 경우
  • 3:15 - 3:18
    x가 들어간 항들은
    모두 0이 됩니다
  • 3:18 - 3:21
    6만 남게되죠
  • 3:21 - 3:23
    따라서 f'''의
    x=0일 때의 값은
  • 3:23 - 3:25
    6입니다
  • 3:25 - 3:28
    이를 푸는 다른 방법은
  • 3:28 - 3:30
    시그마를 그대로
    두는 것입니다
  • 3:30 - 3:34
    f'(x)는
  • 3:34 - 3:39
    무한대의 합이며
    한번 적어볼게요
  • 3:40 - 3:43
    이는 f'(x)가 전개된 것이고
  • 3:43 - 3:47
    f'(x)는 n이 0부터 무한대까지
  • 3:48 - 3:51
    모든 수의 합이며
  • 3:53 - 3:54
    여기서 도함수를 구합니다
  • 3:54 - 3:56
    x에 대한 도함수를
  • 3:56 - 3:58
    구한 다음에
    목적에 따르면
  • 3:58 - 4:00
    다른 나머지 값은
  • 4:00 - 4:03
    n은
  • 4:03 - 4:05
    n은 각 항에
    대해서 말해줍니다
  • 4:05 - 4:09
    x에 대한 도함수는
  • 4:09 - 4:11
    멱의 법칙을 사용하면
    2n + 3를 앞으로 빼면
  • 4:11 - 4:14
    따라서 -1^n
  • 4:14 - 4:18
    곱하기 (2n+3)^x
  • 4:18 - 4:21
    (2n+3)^x^2n+2
  • 4:22 - 4:24
    (2n+3)^x^2n+2/(2n+1)!
  • 4:26 - 4:28
    그리고 이계도함수를 구하면
  • 4:28 - 4:30
    이와 같습니다
  • 4:30 - 4:33
    이계도함수 f''(x)를 구하면
  • 4:33 - 4:36
    0부터 무한대까지의
  • 4:36 - 4:40
    -1^n의 합을 구합니다
  • 4:40 - 4:42
    여기에 공간이 있으니
  • 4:42 - 4:44
    여기에 적어봅시다
  • 4:44 - 4:47
    먼저 지수를 앞으로 빼고
  • 4:47 - 4:50
    2n+3
  • 4:50 - 4:54
    곱하기 (2n+2)
  • 4:54 - 4:59
    전체 나누기
    (2n+1)!
  • 5:00 - 5:03
    곱하기x^2n+1
  • 5:05 - 5:08
    제가 여기서 하는
    것은 복잡해 보이지만
  • 5:08 - 5:10
    지수를 앞으로 빼내고
  • 5:10 - 5:12
    앞에서 곱해주며
    값을 줄입니다
  • 5:12 - 5:15
    2n+2-1은
    2n+1이죠
  • 5:15 - 5:18
    이제 삼계또함수를 구하려면
  • 5:18 - 5:22
    삼계도함수는
    n=0부터 무한대일 경우의
  • 5:22 - 5:25
    합입니다
    -1^n
  • 5:25 - 5:28
    이를 꺼내서 곱하고
  • 5:28 - 5:31
    2n+3
  • 5:31 - 5:35
    곱하기 2n+2 곱하기
    2n+1
  • 5:36 - 5:40
    전체 나누기
    (n+1)!
  • 5:43 - 5:46
    곱하기
  • 5:50 - 5:52
    x^2제곱입니다
  • 5:54 - 5:59
    이제 x=0일 경우의
    값을 구해봅시다
  • 5:59 - 6:03
    f'''(0)은 n이 0부터
    무한대까지의
  • 6:06 - 6:10
    -1^n의 합을 뜻합니다
  • 6:10 - 6:12
    흥미롭네요
  • 6:12 - 6:13
    이 모든 식의
  • 6:13 - 6:16
    (2n+3)(2n+2)
  • 6:17 - 6:20
    (2n+3)(2n+2)(2n+1)
  • 6:20 - 6:23
    나누기 (2n+1)!
  • 6:25 - 6:27
    곱하기 0^2n입니다
  • 6:30 - 6:31
    그렇게 된다면
  • 6:31 - 6:34
    0의 어떤 제곱은
  • 6:34 - 6:36
    0입니다
  • 6:36 - 6:38
    하지만 n=0에서
    시작하기 때문에
  • 6:38 - 6:41
    0이 아닌 n은
  • 6:41 - 6:43
    0의 제곱은 0이며
  • 6:43 - 6:45
    이 항은 없어집니다
  • 6:45 - 6:47
    식을 여기서 전개했을
    때처럼 말이죠
  • 6:47 - 6:48
    따라서 여기서 중요한 항은
  • 6:48 - 6:51
    n = 0일 경우입니다
  • 6:51 - 6:54
    따라서 이 값은
  • 6:54 - 6:56
    n = 1, 2, 3, 4, 5
  • 6:56 - 6:59
    무한대까지 갈 경우
    이 값의 영향이 큽니다
  • 6:59 - 7:00
    이 값은 0이 됩니다
  • 7:00 - 7:02
    이는 0으로 만듭니다
  • 7:02 - 7:04
    이는 n=0일 경우
    첫 번째 항으로 줄어듭니다
  • 7:04 - 7:07
    n = 0일 경우
  • 7:07 - 7:09
    -1^0입니다
  • 7:09 - 7:12
    따라서 이는 1입니다
  • 7:12 - 7:15
    따라서 1로 적습니다
  • 7:15 - 7:18
    곱하기 3 x 2 x 1
  • 7:21 - 7:25
    나누기 1!
    곱하기 0^0
  • 7:28 - 7:30
    이는 1입니다
  • 7:30 - 7:33
    이는 1이며
    따라서 6입니다
  • 7:33 - 7:35
    어떤 방법이든
    첫 번째로 했던 방법은
  • 7:35 - 7:38
    조금 더 깔끔했습니다
  • 7:38 - 7:41
    바로 구했습니다
  • 7:41 - 7:43
    이전에 보았던 것이고
  • 7:43 - 7:45
    하지만 두 방법 모두 같은
    방법으로 풀었습니다
  • 7:45 - 7:47
    오른쪽에선 시그마를
  • 7:47 - 7:48
    씌운채로 풀었죠
  • 7:48 - 7:51
    이 방법은 수학에서
  • 7:51 - 7:53
    문제를 풀 때
    자주 사용되고
  • 7:53 - 7:56
    시그마 표시를 사용한 채로
  • 7:56 - 7:58
    도함수를 구하면
  • 7:58 - 8:00
    아주 유용합니다
Title:
Differentiating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
08:02

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