Диференциране на степенни редове

Дадено ни е, че f(х)
е равно на сумата

от членовете на безкраен ред
и трябва да намерим

трета производна от f, изчислена
за х = 0.

Както винаги, спри видеото
на пауза и опитай

самостоятелно, преди
да го направим заедно.

Има два начина да подходим.

Единият е просто
да намерим производната

на този израз, докато
е записан под знака за сума.

Другият начин е да развием f(х)

и да намерим производната
три пъти,

и да преценим дали
получаваме смислен отговор.

Първо ще го направя
по втория начин.

Ще развия този израз.

f(х) е равно, да видим,
когато n е равно на 0,

това е –1 на степен нула,
което е просто 1,

по х на степен 0 + 3,

което е равно на х^3

върху 2 пъти по нула,
значи 0 + 1!,

значи просто върху 1.

Следващият член,
когато n = 1,

сега това е –1 на първа степен,

значи отпред имаме знак минус.

Минус, и ще бъде 2 по
1 + 3,

значи това е х на пета степен,

върху две по едно плюс едно,
това ще стане 2 + 1 = 3!

Значи става х^5/6.

Когато х е равно на 2,

тук ще имаме положителен знак,

това става х^7 върху 5!

Така ли е? Да.

5!...

Всъщност ще го напиша
просто като 5!

5! е равно на 120.

Това е равно на 5 по 4 по 6,
значи е 120.

Това редуване на знаците
може да продължи,

продължава до безкрайност.

Сега да намерим
производните.

f'(х) ще бъде равно на...

правилото за производна
от степен –

става 3х^2

–5/6х^4 + 7

върху 5! по х^6,

просто прилагам правилото
за производна от степен,

минус, плюс, и продължаваме
така до безкрай.

Втората производна, f''(х)
ще бъде равна на –

прилагаме отново правилото
за производна от степен.

Ще бъде 6х^1 минус
4 по 5/6,

ще го запиша като 20/6 по х^3,

плюс 6 по 7, това е 42,
върху 5!

х^5, и можем
да продължим нататък.

минус, плюс, редуваме знаците
между минус нещо,

плюс нещо, до безкрайност.

Стигаме до третата
производна.

Третата производна е равна на...

да видим, производната
на 6х е 6,

после имаме 20 по 3 е 60/6,

което, разбира се, е 10х^2,

плюс 5 по 42, това е колко,
210 върху 5!

по х^4, минус, плюс,

отново и отново, и после

просто ще сметнем това за нула.

f""(0), добре – когато
х е равно на 0,

всички тези членове с хиксове
ще бъдат нули,

и тук остава само 6.

Значи f''', третата производна,
изчислена за нула,

е просто равно на 6.

Другият начин, по който
можем да решим това,

е като оставим това
под знака сигма.

Можем да кажем, че това f'(х)
е равно на

безкрайната сума, и реално,
ще го подчертая.

Това е, когато развихме f'(х),

но можехме да кажем, че
f'(х) е равно на сумата

за n от нула до безкрайност,

и първо намираме производната,

ще получим, намираме
производната

по отношение на х, за тази цел

приемаме, че всичко друго е...

n ни казва

каква е промяната от един
член до друг,

така че ако намерим производната
спрямо х,

използваме правилото за производна
от степен, изнасяме 2n + 3 отпред,

получаваме –1^n

по 2n + 3, по х на степен,
намалена с 1,

2n + 2 върху (2n + 1)!

За да намеря втората
производна,

това е същото като това.

Ако намерим втората
производна, f''(х)

сега намираме сумата
за n от 0

до безкрайност от –1^n...

Ще се преместя тук,
за да имам повече място.

Изнасяме степенния
показател отпред,

така че става (2n + 3)

по (2n + 2), цялото това е върху

(2n + 1)!, и това е

по х^(2n + 1).

Всичко, което правя,
макар да изглежда сложно,

е просто да изнеса
степенния показател отпред,

изнасям го отпред, после
намалявам степенния показател.

Значи (2n + 2 – 1) е равно
на (2n + 1).

За да намерим третата
производна,

тя е сумата за n
от 1 до безкрайност,

от –1^n.

Взимаме това, изнасяме го,
умножаваме,

става (2n + 3)

по (2n + 2) по (2n + 1),

всичко това е върху (2n + 1)!

и след това по х^2n.

Сега да сметнем това,
когато х е равно на 0.

f"(0) е равно на сумата
за n от нула до безкрайност

от –1^n.

Това е интересно.

Ще имаме всичко това тук,

(2n + 3) по (2n + 2)

по (2n +1), всичко това

върху (2n + 1)!

по 0 на степен 2n.

Може би се изкушаваш
да кажеш, че

ако имаме нула на всички
тези степени,

може би всичко е нула,

но си спомни, че ние
започваме с n = 0,

така че за всички n,
които не са нула,

това 0 на тази степен
ще е нула,

и този член ще изчезне,

както видяхме, когато
развивахме това.

Единственият член,
който има значение,

е тук, когато n е равно на 0.

Така че това просто
ще бъде равно на...

понеже n е равно на 1, 2, 3, 4, 5,

и така до безкрайност,
това нещо ще е определящо.

по него умножаваме,
а то ще бъде 0.

И всичко става нула.

Така че всичко се свежда
до първия член,

когато n е равно на 0,
и когато n е равно на 0,

ще бъде –1 до 0.

Това ще бъде, това е просто 1.

Ще го напиша заедно.

По, това е 3 по 2 по 1,

върху 1!, и после по нула
на степен нула,

което е равно на 1.

Значи това е равно на 1,
и това е равно на 6.

И по двата начина, мисля че
първият начин беше

малко по-лесен,

малко по-логичен,
по-близко до това,

което вече ти е познато,
но е важно

да разбереш, че направихме
едно и също нещо и двата пъти,

просто тук запазихме
знака за сума,

ето тук отдясно.

Този начин е удобен, защото
ще го виждаш често

в математиката, когато
искаш нещата да станат

по един по-общ начин,
и затова може да е полезно

да се намират производните,
докато се запазва знака за сума.