Differentiating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy

Burada bizə deyilir ki,

f(x) bu sonsuz sıraya bərabərdir və

f-in 3-cü tərtib törəməsini

0 nöqtəsində tapmalıyıq.

Həmişə olduğu kimi videonu dayandırın və

özünüz etməyə çalışın.

Bunu etmək üçün 2 yol var.

Biri bunu siqmanın işarəsi ilə

törəməsini almaqdır.

Digəri isə f(x)-i genişləndirib

3 dəfə törəməsini almaqdır,

sonra da cavabı alırıq.

Gəlin ikincini yoxlayaq.

Bunu genişləndirək.

f(x) bərabərdir,

mənfi 1 üstü 0 , bu da 1 edir,

vur x üstü 0 üstəgəl 3,

bu da x üstü 3 böl 2 vur 0,

bu da 0 üstəgəl 1 faktorial edir,

bu da sadəcə böl 1 edir.

Növbəti həddə keçək, n 1-ə bərabər olduqda

mənfi 1 üstü 1,

sadəcə mənfi işarəsi alınacaq.

Mənfi olur, 2 vur 1 üstəgəl 3 olur,

x üstü 5 böl 2 vur

1 üstəgəl 1 , bu da 2 üstəgəl , yəni 3

faktorial edəcək.

x üstü 5 böl 6 edəcək.

x 2 olduqda

müsbət olacaq yenə də,

x üstü 7 böl 5 faktorial

olacaq.

Düzdür?

5 faktorial.

Gəlin 5 faktorial yazaq.

5 faktorial 120 olacaq.

5 vur 4 vur 6, 120 edir.

Sadəcə müsbət mənfini saxlayırıq,

beləcə davam edir.

Törəmələrini tapırıq.

f(x) bərabər olacaq,

üstlərin vurulması qaydasını
tətbiq edirik,

x kvadratı

çıx 6-da 5x üstü 4, üstəgəl 7

böl 5 faktorial x üstü 6,

üstlərin vurulmasını tətbiq edirik,

çıx üstəgəl, bu şəkildə davam edir.

İkinci tərtib törəmə

buna bərabər olacaq.

6x üstü 1 çıx 4 vur 5 böl 6

bunu sadəcə 6-da 20x üstü 3 yazırıq,

üstəgəl 6 vur 7, bu da 42 böl 5 faktorial

x üstü 5 edir və bu şəkildə davam edir,

çıx üstəgəl, davam edəcək,

əvvəl çıx, sonra

üstəgəl olur.

3-cü tərtib törəmədə isə

baxaq, 6x-in törəməsi 6-dır,

çıx 20 vur 3, 60 böl 6 edir,

bu da 10 edəcək, x kvadratı

üstəgəl 5 vur 42, 210 böl 5 faktorial vur

x üstü 4, çıx üstəgəl,

yenə də bu şəkildə davam edir və

0 nöqtəsində hesablayırıq.

x sıfır olanda

bu hədlərin hamısı 0 olacaq,

sadəcə 6 qalacaq burada.

3-cü tərtib törəmə 0 nöqtəsində

6-ya bərabərdir.

Bunu həll etməyin digər yolu

sadəcə siqma işarəsindən istifadə
etməkdir.

Deyək ki, f(x)-in törəməsi

sonsuz cəmə bərabərdir.

Bu f(x)-in törəməsinin
genişləndirilməsi idi,

lakin f(x)-in törəməsi n bərabər 0-dan

sonsuzluğa doğru bu cəmə

bərabərdir,

x-ə görə törəməni

tapırıq,

burada

n bizə

həddin necə dəyişdiyini göstərəcək,

burada x-ə görə törəməni tapırıq,

üstlərin vurulması qaydasından istifadə
edirik və 2n üstəgəl 3

o da mənfi 1 üstü n vur 2n üstəgəl 3,
vur x-in

qüvvətinin azaldılmış forması,

2n üstəgəl 2 böl 2n üstəgəl

1 faktorial.

2-ci tərtib törəməni tapsaq,

bununla eyni olacaq.

ikinci tərtib törəmə də

0-dan sonsuzluğa mənfi 1 üstü n-in cəminə

bərabər olur.

Bir az yer açaq,

sağa gedək.

Bu qüvvəti qarşıya çıxaraq,

2n üstəgəl 3 vur

2n üstəgəl 2, bunların hamısı

böl 2n üstəgəl 1 faktoriala bərabər olur,

bu da x üstü 2n üstəgəl 1 olacaq.

Bir az mürəkkəb oldu.

Sadəcə qüvvəti qarşıya çıxarırıq,

sonra da hasilini tapırııq və
azaldırıq.

2n üstəgəl 2 çıx 1, 2n üstəgəl 1 edir.

3-cü trətib törəməni tapsaq,

n bərabər 0-dan sonsuzluğa, mənfi 1 üstü

n-nin cəminə bərabər olacaq.

Bunun hasilini tapırıq,

2n üstəgəl 3 vur

2n üstəgəl 2 vur 2n üstəgəl 1,

bunların hamısı böl 2n üstəgəl
1 faktorial,

bu da vur

x üstü 2n edir.

Bunu x 0-a bərabər olanda hesablayaq.

n bərabər 0-dan

sonsuzluğa mənfi 1 üstü n-in cəmi.

Maraqlıdır.

Burada

2n üstəgəl 3 vur 2n üstəgəl 2

vur 2n üstəgəl 1 və bunların hamısı

böl 2n üstəgəl 1 faktorial,

vur 0 üstü 2n var.

Deyə bilərsiniz ki,

0 üstü bu qüvvətlər

0 olacaq,

lakin xatırlayın ki, n bərabər 0-dan
başlamışıq,

bura qədər n 0-a bərabər deyil,

0 üstü bu qüvvət 0-a çevriləcək və

islah olunacaq.

Burada ifadəni genişləndirdikdə görmüşdük.

Burada vacib olan hədd

n bərabər 0-dır.

Bu sadəcə 0 olur, çünki

n bərabər 1, 2, 3, 4, 5 və

sonsuzluq olduqda belə
alınacaq.

Hasili 0 olacaq.

Bunların hamısı 0 olacaq.

Bu ilk həddə qədər azalacaq,

n 0 olduqda

bu, mənfi 1 üstü 0 olacaq.

Bu da 1 edəcək.

Bura 1 yazaq.

Vur bu ifadə, 3 vur 2 vur 1

böl 1 faktorial və bu da
vur 0 üstü 0 olur,

yəni 1 edir.

Bu, 1-ə bərabərdir,
bu da 6 olacaq.

İlk yazdığımız yol daha

sadə idi,

daha rahat başa düşülən idi,

amma bunu yadda saxlayın ki,

eyni üsulu iki dəfə istifadə etdik,

burada siqma işarəsinə

daxil etdik.

Bu üsul faydalıdır, çünki məsələlərdə

bunu çox görəcəksiniz,

bu daha ümumi yoldur və

siqma işarəsindən istifadə edərək

törəməsini ala biləcəksiniz.