Prova (Parte 4) Minimizando a soma dos quadrados residuais para regressão linear

Prova (Parte 4) Minimizando a soma dos quadrados residuais para regressão linear
Este é o último vídeo da série de deduções para chegar à fórmula utilizada para realizar minimização dos quadrados residuas em regressão linear.

Se você chegou até aqui

deve estar ansioso para descobrir
a linha ótima

que minimiza a soma dos quadrados
residuais de todos estes pontos.

Então vamos lá:

vamos resolver a equação para
m e b ótimos.

Baseado no que já aprendemos

existem duas soluções

conhecemos dois pontos

contidos nesta reta

e assim podemos:
(1) encontrar a inclinação da reta

e o ponto em que a reta
intercepta o y

ou (2) podemos dizer que esta é a solução
deste sistema de equações

Na verdade, os dois modos
são equivalentes

Então vamos começar pelo m. Para
encontrarmos o m,

precisamos cancelar os "b"s.

Então vamos reescrever a equação superior
aqui embaixo:

temos m multiplicado pela média

dos quadrados de x mais b

multiplicado pela média dos...
Na verdade, podemos fazer ainda

melhor que isto.

Baseados no que aprendemos no último vídeo

podemos simplesmente
subtrair a equação inferior

da equação superior.

Então vamos lá:

Multiplicamos a equação
inferior por menos 1.

Então isto é negativo,
isto também

e isto é negativo

O que temos aqui?

m multiplicado pela média dos "x"s
menos a média de x ao quadrado

sobre a média de x.

O b positivo e negativo se cancelam

e o resultado é igual a média dos
"y"s menos a média dos "xy"s

sobre a media dos "x"s.

Agora podemos dividir os dois lados
da equação por isto.

E então temos m igual à média dos "y"s
menos a

média dos "xy"s sobre a média dos "x"s
sobre isto:

a média dos "x"s menos a média
dos quadrados de x

sobre a média dos "x"s.

Note que isto é exatamente o mesmo que
você teria

se você encontrasse a inclinação
entre este dois pontos aqui.

Uma modificação em y, então
a diferença entre este y e este y

representado aqui

sobre a mudança nos "x"s.

A mudança neste x menos este x
é exatamente esta aqui.

Agora, para simplificar, podemos
multiplicar o numerador

e o denominador pela média dos "x"s.

Vou fazer isto para não termos
este denominador

nos dois lados

Então, se multiplicarmos o numerador
pela média dos "x"s,

temos a média dos "x"s multiplicados
pela média dos "y"s menos,

este e este se cancelam

menos a média dos "xy"s

tudo isto sobre: média dos "x"s multiplicados pela média dos "x"s

resulta na média dos "x"s ao quadrado, menos

a média do quadrado de x

e isto é igual a m!

Se nós quisermos resolver para b,
basta substituir

este m em qualquer das equações.
Vamos fazer a substituição na

equação roxa que é mais simples.

Agora, como nós queremos resolver para o b
nesta equação,

podemos resolver para b
em relação à m.

Para isto basta subtrair m multiplicado
pela média dos "x"s em ambos os lados.

Daí temos que b é igual à média dos "y"s
menos m multiplicados pela

média dos "x"s.

O que fizemos foi: a partir de
um conjunto de pontos,

encontramos a média dos "x"s,
a média dos "y"s

a média dos "xy"s e a média dos
quadrados dos "x"s,

encontramos o m.

Uma vez tendo encontrado o m,
substituimos ele de volta

para encontrar o b.

Então temos nossa linha ótima.

E finalizamos.

Então esta são as duas grandes
fórmulas prontas

para encontrar a linha ótima.

No próximo vídeo,

se alguém não estava acompanhando,

este é o ponto onde você deve
voltar a acompanhar

pois nele vamos usar as fórmulas
deduzidas até aqui

para encontrarmos a chamada

linha de tendência.

Pelo menos, quando você mede o erro
pelo quadrado das distâncias

dos pontos.

Nós usaremos estas fórmulas para encontrar a

linha de tendência para alguns dados.

Legendado por [José Irigon]
Revisado por [Cainã Perri]