Example 5: Using the quadratic formula | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy
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0:01 - 0:03Wir müssen folgende quadratische Gleichung lösen:
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0:03 - 0:08-3x zum Quadrat + 10x - 3 = 0
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0:08 - 0:10Und sie ist schon in der Standardform geschrieben.
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0:10 - 0:11Es gibt viele Möglichkeiten, dies zu lösen.
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0:11 - 0:14Aber speziell hier löse ich es mit der Mitternachtsformel.
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0:14 - 0:15Lasst es mich nochmal aufschreiben.
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0:15 - 0:19Wir haben: -3x zum Quadrat + 10x - 3 = 0
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0:19 - 0:21Im Prinzip löse ich sie zweimal
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0:21 - 0:23mit der Mitternachtsformel, um euch zu zeigen,
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0:23 - 0:25dass, egal wie wir sie auf zulässigem Weg verändern,
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0:25 - 0:27die Mitternachtsformel uns
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0:27 - 0:30die exakt gleichen Wurzeln beziehungsweise Ergebnisse
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0:30 - 0:31zu dieser Gleichung gibt.
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0:31 - 0:34Was sind also in dieser Form unsere ABCs?
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0:34 - 0:37Führen wir uns nochmal ins Gedächtnis, was die Mitternachtsformel
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0:37 - 0:37eigentlich ist.
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0:37 - 0:39Ein guter Punkt, um anzufangen.
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0:39 - 0:41Die Mitternachtsformel sagt uns, dass wenn wir
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0:41 - 0:43eine quadratische Gleichung der Form
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0:43 - 0:48"ax zum Quadrat + bx + c = 0", also in Standardform haben,
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0:48 - 0:52dann sind ihre Wurzeln: x = -b
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0:52 - 0:56+/- der Quadratwurzel von b
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0:56 - 1:02zum Quadrat - 4ac, das alles geteilt durch 2a.
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1:02 - 1:05Das hier wurde hergeleitet durch Beseitigen des Quadrates
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1:05 - 1:06auf normalem Weg.
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1:06 - 1:10Es ist also keine Zauberei hier, ich habe es in anderen Videos hergeleitet.
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1:10 - 1:11Aber das ist die Mitternachtsformel.
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1:11 - 1:13Sie gibt uns im Prinzip 2 Lösungen,
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1:13 - 1:15da man hier die positive Quadratwurzel
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1:15 - 1:17und hier die negative Quadratwurzel hat.
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1:17 - 1:20Lasst sie uns also für diesen Fall anwenden,
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1:20 - 1:27a = -3, b = 10
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1:27 - 1:31und c = -3.
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1:31 - 1:33Die Formel also hier angewandt,
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1:33 - 1:37erhalten wir unsere Lösungen: x = -b
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1:37 - 1:38b = 10.
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1:38 - 1:43Also ist -b = -10 +/- Quadratwurzel
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1:43 - 1:45von b zum Quadrat.
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1:45 - 1:45b =10.
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1:45 - 1:51Also ist b zum Quadrat = 100 - 4*a*c
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1:51 - 1:54Also: - (4*(-3)*(-3))
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1:54 - 1:55Schreiben wir es hin.
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1:55 - 1:59- (4*(-3)*(-3)).
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1:59 - 2:01Das alles steht unter der Wurzel.
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2:01 - 2:03Und das alles geteilt durch 2a.
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2:03 - 2:06Also 2*a = -6.
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2:06 - 2:08Das ist dann gleich -10
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2:08 - 2:15+/- Quadratwurzel von 100 minus -- (-3)*
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2:15 - 2:16(-3) ist +9.
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2:16 - 2:18+9*4 = +36.
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2:18 - 2:20Hier haben wir ein Minuszeichen.
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2:20 - 2:22Also -36.
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2:22 - 2:24Das alles geteilt durch -6.
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2:24 - 2:27Das ist gleich 100 - 36 = 64.
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2:27 - 2:32Also -10 +/- Quadratwurzel von 64.
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2:32 - 2:34Alles geteilt durch -6.
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2:34 - 2:36Die Wurzel aus 64 ist 8.
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2:36 - 2:38Wir nehmen aber die positive und negative Quadratwurzel.
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2:38 - 2:44Das ist also -10 +/- 8 geteilt durch -6.
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2:44 - 2:46Wenn wir die positive Möglichkeit nehmen,
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2:46 - 2:48sagen wir, x könnte gleich -- -10
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2:48 - 2:53+ 8 = -2 geteilt durch -6.
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2:53 - 2:55Das war also die positive Version.
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2:55 - 2:56Das ist das hier.
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2:56 - 2:59Und -2/-6 = 1/3.
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2:59 - 3:01Wenn wir die negative Quadratwurzel nehmen,
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3:01 - 3:05-10 - 8 -- Also lasst uns -10 - 8 nehmen.
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3:05 - 3:08Das wäre dann: x = -10 - 8
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3:08 - 3:10= -18.
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3:10 - 3:13Und das geteilt durch -6.
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3:13 - 3:17-18/-6 = +3.
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3:17 - 3:19Die beiden Wurzeln für diese quadratische Gleichung sind also
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3:19 - 3:22+ 1/3 und +3.
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3:22 - 3:25Und ich will euch zeigen, dass wir die gleiche Lösung erhalten,
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3:25 - 3:26selbst wenn wir das hier manipulieren.
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3:26 - 3:27Manche stört es vielleicht, dass
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3:27 - 3:30unser erster Koeffizient hier eine -3 ist.
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3:30 - 3:32Vielleicht wollen sie eine +3.
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3:32 - 3:33Um also diese -3 loszuwerden,
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3:33 - 3:37können sie beide Seiten dieser Gleichung mit -1 multiplizieren.
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3:37 - 3:39Wenn man das also tun würde, bekäme man 3x
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3:39 - 3:45zum Quadrat - 10x + 3 = 0*(-1),
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3:45 - 3:47was immer noch 0 ergibt.
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3:47 - 3:52In diesem Fall also, ist a gleich 3, b ist gleich -10
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3:52 - 3:54und c ist wieder gleich 3.
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3:54 - 3:56Und wir können die Mitternachtsformel anwenden.
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3:56 - 4:01Wir erhalten x = -b. b = -10
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4:01 - 4:02Also ist -(-10) =
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4:02 - 4:05+10 +/- Quadratwurzel
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4:05 - 4:08von b zum Quadrat, was -10 zum Quadrat ergibt,
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4:08 - 4:12was 100 ergibt, - 4*a*c.
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4:12 - 4:16a*c = 9 * 4 = 36.
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4:16 - 4:18Also -36.
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4:18 - 4:20Das alles geteilt durch 2*a.
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4:20 - 4:22Das alles geteilt durch 6.
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4:22 - 4:28Das ist also geich 10 +/- Quadratwurzel von 64,
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4:28 - 4:31das ergibt einfach nur 8.
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4:31 - 4:32Das alles geteilt durch 6.
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4:32 - 4:36Addieren wir 8 hier dazu, erhalten wir 10 + 8 = 18 geteilt durch 6.
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4:36 - 4:38Wir erhalten: x könnte gleich 3 sein.
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4:38 - 4:41Oder wenn wir hier die negative Quadratwurzel oder -8 nehmen,
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4:41 - 4:4310 - 8 =2.
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4:43 - 4:462 geteilt durch 6 ist 1/3.
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4:46 - 4:50Man bekommt auch hier wieder die identischen Lösungen.
- Title:
- Example 5: Using the quadratic formula | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy
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Fran Ontanaya edited German subtitles for Example 5: Using the quadratic formula | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy | |
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