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Example 5: Using the quadratic formula | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy

  • 0:01 - 0:03
    Wir müssen folgende quadratische Gleichung lösen:
  • 0:03 - 0:08
    -3x zum Quadrat + 10x - 3 = 0
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    Und sie ist schon in der Standardform geschrieben.
  • 0:10 - 0:11
    Es gibt viele Möglichkeiten, dies zu lösen.
  • 0:11 - 0:14
    Aber speziell hier löse ich es mit der Mitternachtsformel.
  • 0:14 - 0:15
    Lasst es mich nochmal aufschreiben.
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    Wir haben: -3x zum Quadrat + 10x - 3 = 0
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    Im Prinzip löse ich sie zweimal
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    mit der Mitternachtsformel, um euch zu zeigen,
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    dass, egal wie wir sie auf zulässigem Weg verändern,
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    die Mitternachtsformel uns
  • 0:27 - 0:30
    die exakt gleichen Wurzeln beziehungsweise Ergebnisse
  • 0:30 - 0:31
    zu dieser Gleichung gibt.
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    Was sind also in dieser Form unsere ABCs?
  • 0:34 - 0:37
    Führen wir uns nochmal ins Gedächtnis, was die Mitternachtsformel
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    eigentlich ist.
  • 0:37 - 0:39
    Ein guter Punkt, um anzufangen.
  • 0:39 - 0:41
    Die Mitternachtsformel sagt uns, dass wenn wir
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    eine quadratische Gleichung der Form
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    "ax zum Quadrat + bx + c = 0", also in Standardform haben,
  • 0:48 - 0:52
    dann sind ihre Wurzeln: x = -b
  • 0:52 - 0:56
    +/- der Quadratwurzel von b
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    zum Quadrat - 4ac, das alles geteilt durch 2a.
  • 1:02 - 1:05
    Das hier wurde hergeleitet durch Beseitigen des Quadrates
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    auf normalem Weg.
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    Es ist also keine Zauberei hier, ich habe es in anderen Videos hergeleitet.
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    Aber das ist die Mitternachtsformel.
  • 1:11 - 1:13
    Sie gibt uns im Prinzip 2 Lösungen,
  • 1:13 - 1:15
    da man hier die positive Quadratwurzel
  • 1:15 - 1:17
    und hier die negative Quadratwurzel hat.
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    Lasst sie uns also für diesen Fall anwenden,
  • 1:20 - 1:27
    a = -3, b = 10
  • 1:27 - 1:31
    und c = -3.
  • 1:31 - 1:33
    Die Formel also hier angewandt,
  • 1:33 - 1:37
    erhalten wir unsere Lösungen: x = -b
  • 1:37 - 1:38
    b = 10.
  • 1:38 - 1:43
    Also ist -b = -10 +/- Quadratwurzel
  • 1:43 - 1:45
    von b zum Quadrat.
  • 1:45 - 1:45
    b =10.
  • 1:45 - 1:51
    Also ist b zum Quadrat = 100 - 4*a*c
  • 1:51 - 1:54
    Also: - (4*(-3)*(-3))
  • 1:54 - 1:55
    Schreiben wir es hin.
  • 1:55 - 1:59
    - (4*(-3)*(-3)).
  • 1:59 - 2:01
    Das alles steht unter der Wurzel.
  • 2:01 - 2:03
    Und das alles geteilt durch 2a.
  • 2:03 - 2:06
    Also 2*a = -6.
  • 2:06 - 2:08
    Das ist dann gleich -10
  • 2:08 - 2:15
    +/- Quadratwurzel von 100 minus -- (-3)*
  • 2:15 - 2:16
    (-3) ist +9.
  • 2:16 - 2:18
    +9*4 = +36.
  • 2:18 - 2:20
    Hier haben wir ein Minuszeichen.
  • 2:20 - 2:22
    Also -36.
  • 2:22 - 2:24
    Das alles geteilt durch -6.
  • 2:24 - 2:27
    Das ist gleich 100 - 36 = 64.
  • 2:27 - 2:32
    Also -10 +/- Quadratwurzel von 64.
  • 2:32 - 2:34
    Alles geteilt durch -6.
  • 2:34 - 2:36
    Die Wurzel aus 64 ist 8.
  • 2:36 - 2:38
    Wir nehmen aber die positive und negative Quadratwurzel.
  • 2:38 - 2:44
    Das ist also -10 +/- 8 geteilt durch -6.
  • 2:44 - 2:46
    Wenn wir die positive Möglichkeit nehmen,
  • 2:46 - 2:48
    sagen wir, x könnte gleich -- -10
  • 2:48 - 2:53
    + 8 = -2 geteilt durch -6.
  • 2:53 - 2:55
    Das war also die positive Version.
  • 2:55 - 2:56
    Das ist das hier.
  • 2:56 - 2:59
    Und -2/-6 = 1/3.
  • 2:59 - 3:01
    Wenn wir die negative Quadratwurzel nehmen,
  • 3:01 - 3:05
    -10 - 8 -- Also lasst uns -10 - 8 nehmen.
  • 3:05 - 3:08
    Das wäre dann: x = -10 - 8
  • 3:08 - 3:10
    = -18.
  • 3:10 - 3:13
    Und das geteilt durch -6.
  • 3:13 - 3:17
    -18/-6 = +3.
  • 3:17 - 3:19
    Die beiden Wurzeln für diese quadratische Gleichung sind also
  • 3:19 - 3:22
    + 1/3 und +3.
  • 3:22 - 3:25
    Und ich will euch zeigen, dass wir die gleiche Lösung erhalten,
  • 3:25 - 3:26
    selbst wenn wir das hier manipulieren.
  • 3:26 - 3:27
    Manche stört es vielleicht, dass
  • 3:27 - 3:30
    unser erster Koeffizient hier eine -3 ist.
  • 3:30 - 3:32
    Vielleicht wollen sie eine +3.
  • 3:32 - 3:33
    Um also diese -3 loszuwerden,
  • 3:33 - 3:37
    können sie beide Seiten dieser Gleichung mit -1 multiplizieren.
  • 3:37 - 3:39
    Wenn man das also tun würde, bekäme man 3x
  • 3:39 - 3:45
    zum Quadrat - 10x + 3 = 0*(-1),
  • 3:45 - 3:47
    was immer noch 0 ergibt.
  • 3:47 - 3:52
    In diesem Fall also, ist a gleich 3, b ist gleich -10
  • 3:52 - 3:54
    und c ist wieder gleich 3.
  • 3:54 - 3:56
    Und wir können die Mitternachtsformel anwenden.
  • 3:56 - 4:01
    Wir erhalten x = -b. b = -10
  • 4:01 - 4:02
    Also ist -(-10) =
  • 4:02 - 4:05
    +10 +/- Quadratwurzel
  • 4:05 - 4:08
    von b zum Quadrat, was -10 zum Quadrat ergibt,
  • 4:08 - 4:12
    was 100 ergibt, - 4*a*c.
  • 4:12 - 4:16
    a*c = 9 * 4 = 36.
  • 4:16 - 4:18
    Also -36.
  • 4:18 - 4:20
    Das alles geteilt durch 2*a.
  • 4:20 - 4:22
    Das alles geteilt durch 6.
  • 4:22 - 4:28
    Das ist also geich 10 +/- Quadratwurzel von 64,
  • 4:28 - 4:31
    das ergibt einfach nur 8.
  • 4:31 - 4:32
    Das alles geteilt durch 6.
  • 4:32 - 4:36
    Addieren wir 8 hier dazu, erhalten wir 10 + 8 = 18 geteilt durch 6.
  • 4:36 - 4:38
    Wir erhalten: x könnte gleich 3 sein.
  • 4:38 - 4:41
    Oder wenn wir hier die negative Quadratwurzel oder -8 nehmen,
  • 4:41 - 4:43
    10 - 8 =2.
  • 4:43 - 4:46
    2 geteilt durch 6 ist 1/3.
  • 4:46 - 4:50
    Man bekommt auch hier wieder die identischen Lösungen.
Title:
Example 5: Using the quadratic formula | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy
Description:

This is a great example of converting a fraction to a decimal. Use a scratch pad so you can follow along.

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
04:51

German subtitles

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