-
ขอผมวาดฟังก์ชันที่น่าหา
-
ลิมิตหน่อย
-
ผมจะวาดแค่ให้เห็นภาพไปก่อน แล้วเราค่อย
-
ทำตัวอย่างแบบเจาะจงทีหลัง
-
นั่นคือแกน y และนั่นคือแกน x ของผม
-
แล้วสมมุติว่าฟังก์ชันมันหน้าตา--
-
ผมจะเลือกฟังก์ชันที่ตรงไปตรงมาหน่อย
-
-- สมมุติว่านี่คือเส้น เป็นส่วนใหญ่
-
สมมุติว่ามันออกมาหน้าตาอย่างนี้ ยกเว้นมันมี
-
รูตรงจุดนึง
-
x เท่ากับ a ซึ่งนิยามไม่ได้ตรงนี้
-
ขอผมเอาข้างในออก ให้คุณเห็น
-
ว่ามันไม่ได้นิยามตรงนั้น
-
และนั่นที่จุดที่มี x เท่ากับ a
-
นี่คือแกน x นี่คือ แกน y เท่ากับ f ของ x
-
เราบอกว่านั่นคือแกน y
-
และสมมุติว่านี่คือ f ของ x หรือ นี่คือ
-
y เท่ากับ f ของ x
-
ตอนนี้เราได้ทำวิดีโอหลายอันเกี่ยวกับลิมิตแล้ว
-
ผมว่าคุณคงพอมีสัญชาตญาณบ้างแล้ว
-
หากผมถามว่า ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ a คืออะไร
-
สมมุติว่าตรงนี้คือ L
-
เรารู้จากวิดีโอก่อน ๆ ว่า -- อย่างแรกเลย
-
ผมสามารถเขียนมันลงไป -- ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้
-
a ของ f ของ x
-
มันหมายความว่า เมื่อเราเข้าใกล้ a ไม่ว่าจาก
-
ด้านไหน เมื่อเราเข้าใกล้มันจากด้านนั้น f ของ x จะเ
-
เข้าใกล้ค่าไหน
-
ดังนั้นเมื่อ x คือตรงนี้ f ของ x อยู่ตรงนี้
-
เมื่อ x อยู่ตรงนี้ f ของ x อยู่ตรงนี้
-
และเราจะเห็นว่ามันเข้าหา L ตรงนี้
-
และเมื่อเราเข้าใกล้ a จากด้านนั้น -- เราได้หา
-
ลิมิตเเมื่อคุณเข้าหามันจากด้านซ้ายหรือด้านขวาไป
-
แต่ที่จริง ถ้าจะมีลิมิตจริง มันต้องเข้าหา
-
ค่าเดียวกันทั้งด้านบวกและด้านลบ -- แต่เมื่อ
-
เราไปจากต้านนี้ หากคุณเลือก x ค่านี้ นี่คือค่า f ของ x
-
f ของ x อยู่ตรงนี้
-
หาก x อยู่ตรงนี้ มันก็มาตรงนี้ และเมื่อเราเข้าใกล้
-
a เข้าไปเรื่อย ๆ f ของ x ก็เข้าหาจุด L นี้ หรือค่า L นี้เอง
-
ดังนั้นเราจึงบอกว่า ลิมิตของ f ของ x เมื่อ x เข้าใกล้
-
a นั้นเท่ากับ L
-
ผมคิดว่าเราพอเห็นภาพแล้ว
-
แต่นั่นไม่ใช่ มันไม่รัดกุมในการ
-
บรรยายสิ่งที่เรา
-
หมายความถึงลิมิตจริง ๆ
-
ทั้งหมดที่เราพูดตอนนี้คือ เมื่อเราเข้าใกล้
-
ค่า f ของ x จะเข้าใกล้อะไร
-
ดังนั้นในวิดีโอนี้ เราจะพยายามอธิบายนิยาม
-
ของลิมิตในแบบที่ เป็นคณิตศาสตร์มากกว่า
-
ที่เรามักพูดว่า เมื่อ x
-
เข้าใกล้ค่านี้ f ของ x จะเข้าใกล้ค่าอะไร
-
และวิธีที่ผมคิดคือว่า มันคล้าย ๆ กับเกมเกมนึง
-
นิยามคือว่า ประโยคตรงนี้หมายความว่า
-
ผมพยายามให้ช่วงใกล้ ๆ จุดนี้คุณ -- และ
-
ที่ผมพูดว่าช่วง ผมไม่ได้หมายถึงโดเมน
-
ทั้งหมด ผมพูดถึงช่วงเล็ก ๆ เช่น
-
คุณก็รู้ ผมอาจบอกระยะจากจุด a แก่คุณ ตราบใดที่
-
ไม่ไปไกลกว่านั้น ผมจะยืนยันได้ว่า f ของ x
-
จะไม่ไปไกลเกินว่าระยะหนึ่งจาก L
-
-- วิธีที่ผมคิดคือว่า เรามองมัน
-
เป็นเกมเกมนึง
-
สมมุติ คุณบอกว่า โอเค แซล ฉันไม่เชื่อคุณหรอก
-
ฉันอยากเห็นกับตาว่า f ของ x สามารถอยู่ใกล้ L ได้ไม่เกิน 0.5 หรือไม่
-
สมมุติคุณให้เลข 0.5 ผมแล้วบอกว่า แซล
-
จากนิยามนี้ ผมควรสามารถหาช่วงรอบ ๆ a
-
ที่สามารถให้ค่า f ของ x ห่างจาก L ไม่เกิน 0.5 จริงไหม
-
ดังนั้นค่าของ f ของ x จะต้องอยู่ในช่วงนี้
-
ช่วงนี้ ตรงนี้
-
และตราบใดที่ผมยังอยู่ในช่วงรอบ ๆ a ตราบใดที่
-
ผมยังอยู่ให้ช่วงที่คุณบอกมา f ของ x จะต้อง
-
อย่างน้อยอยู่ใกล้กับค่าลิมิตเท่านี้
-
ขอผมวาดมันให้ใหญ่หน่อย เพราะผมว่า
-
ผมจะต้องเขียนทับแผนภาพเดิมนี่อีกหลายรอบแน่
-
งั้นสมมุติว่านี่คือ f ของ x นี่คือจุดที่มีรู
-
มันไม่จำเป็นต้องมีรูตรงนี้ ลิมิตอาจ
-
เท่ากับค่าของฟังก์ชันก็ได้ แต่ค่าลิมิตจะน่าสนใจ
-
กว่าตอนที่ฟังก์ชันไม่ได้นิยามไว้ตรงนี้
-
แต่ลิมิตนิยามได้
-
จุดนี้ตรงนี้ -- นั่นคือ ขอผมวาดแกนอีกที
-
นี่คือ แกน x, แกน y, x, y, นี่คือจุดค่าลิมิต
-
l นี่คือจุด a
-
นิยามของลิมิต ผมจะกลับไปตรงนี้
-
หน่อยเพราะตอนนี้มันใหญ่ขึ้นแล้ว ผมเลยจะอธิบายอีกที
-
นิยามมันหมายความว่า -- นี่คือนิยาม epsilon delta
-
ของลิมิต และเราจะกลับมาเรื่อง epsilon กับ delta อีกสักครู่
-
นิยามคือว่า ผมสามารถยืนยันได้ว่าบน f ของ x นั้น คุณบอกระยะ
-
เท่าไหร่ก็ได้กับผม
-
และค่านั้นเรียกว่า epsilon
-
ทีนี้ลองตามนิยาม
-
จากตรงนี้ไป
-
คุณบอกว่า ผมอยากอยู่ไม่ไกลจาก l ไปเกิน epsilon
-
และ epsilon จะเป็นเลขอะไรก็ได้
-
จำนวนจริงใดก็ตามที่มากกว่า 0
-
มันก็เลย ระยะทางตรงนี้เลยเป็น epsilon
-
ระยะทางนี่คือ epsilon
-
และสำหรับ epsilon ใดก็ตามที่คุณให้มา จำนวนจริงใด ๆ --
-
นี่คือ นี่คือ l บวก epsilon ตรงนี้ ส่วนนี่คือ
-
I ลบ epsilon ตรงนี้ -- นิยาม epsilon delta
-
นี่บอกว่าไม่ว่าคุณจะเลือก epsilon อะไรมา ผม
-
สามารถบอกระยะห่างจาก a ได้เสมอ
-
ผมเรียกระยะนั้นว่า delta
-
ผมสามารถบอกระยะห่างจาก a
-
สมมติว่านี่คือ delta ฝั่งน้อยกว่า a ส่วนนี่
-
คือ delta ฝั่งมากกว่า a
-
นี่คือตัวอักษร delta
-
ตราบใดที่คุณเลือก x ที่อยู่ในช่วง a บวก delta และ
-
a ลบ delta ตราบใดที่ x ยังอยู่ในช่วงนี้ ผมยืนยันได้
-
ว่าค่า f ของ x ค่าฟังก์ชัน f ของ x ตรงนั้น จะ
-
อยู่ในช่วงที่กำหนดนั้น
-
หากคุณคิดดี ๆ มันก็เข้าท่า จริงไหม
-
ที่สุดแล้ว มันบอกว่า ผมให้คุณเข้าใกล้
-
ค่าลิมิตนี้เท่าไหร่ก็ได้ -- และเมื่อผมพูดว่า ใกล้เท่าไหร่ก็ได้
-
คุณก็แค่บอกสิ่งที่อยากได้ คือ epsilon สักตัว
-
ในเกม ๆ นี้ -- ผมสามารถให้ค่าที่ใกล้เท่าไหร่ก็ได้
-
เทียบกับจุดลิมิต โดยการบอกช่วง
-
รอบจุดที่ x เข้าใกล้
-
และตราบใดที่คุณลองเลือกค่า x ที่อยู่ช่วงดังกล่าว
-
รอบ a ขึ้นมา หากคุณหยิบค่า x แถวนั้นนมา
-
ผมยืนยันได้เสมอว่า ค่า f ของ x จะอยู่ในช่วง
-
ที่ตั้งไว้
-
เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น สมมุติคุณ
-
บอกว่า ฉันอยากให้ f ของ x อยู่ในช่วง 0.5 -- คุณก็รู้
-
เลือกเลขขึ้นมาให้มันชัดเจน
-
สมมุติว่านี่คือเลข 2 และสมมุตินี่คือเลข 1
-
เรากำลังบอกว่า ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของฟังก์ชัน f ของ x --
-
ผมไม่ได้นิยาม f ของ x แต่มันก็คือเส้นตรงที่มีรูตรงนี้
-
เท่ากับ 2
-
นี่หมายความว่า คุณสามารถให้เลขอะไรผมมาก็ได้
-
สมมุติว่าคุณอยากลองสักสองสามตัวอย่าง
-
สมมุติคุณบอกว่า ฉันอยากให้ f ของ x อยู่ในช่วง --
-
ขอผมใช้อีกสีนึง -- ฉันอยากให้ f ของ x อยู่ห่างจาก 2 ไม่เกิน 0.5
-
ฉันอยากให้ f ของ x อยู่ระหว่าง 2.5 กับ 1.5
-
แล้วผมก็บอกว่า โอเค ตราบใดที่คุณเลือก x ภายในช่วง --
-
ไม่รู้สิ มันอาจอยู่ใกล้แค่ไหนก็ได้
-
ตราบใดที่คุณเลือก x ที่ -- สมมุติว่ามันใช้ได้สำหรับฟังก์ชัน
-
นี้ ระหว่าง ไม่รู้สิ 0.9 กับ 1.1
-
ในกรณีนี้ delta จากค่าจุดลิมิตก็คือ 0.1
-
ตราบใดที่คุณเลือกค่า x ที่อยู่ห่างจากจุดนี้ คือ 1 ไม่เกิน 0.1
-
ผมยืนยันได้เลยว่าค่า f ของ x ของคุณจะ
-
อยู่ในช่วงนั้น
-
หวังว่าคุณคงพอเข้าใจบ้างแล้ว
-
ขอผมนิยามด้วยตัว epsilon delta จริง ๆ
-
และนี่คือสิ่งที่คุณจะเห็นในหนังสือเลข
-
แล้วเราค่อยมาทำตัวอย่างกัน
-
เพื่อให้ชัดเจน ที่ผ่านมามันคือตัวอย่างเฉพาะ
-
คุณให้ epsilon ผมมาค่าหนึ่ง ผมจะให้ค่า delta ที่ใช้ได้ไป
-
แต่หากเป็นนิยาม หรือหากมีคนตั้งมันขึ้น
-
มันไม่ใช่แค่ใช้ได้กับตัวอย่างเฉพาะอันเดียว
-
มันใช้ได้กับเลขทุกตัวที่คุณเลือกให้ผม
-
คุณอาจบอกว่า ฉันอยากให้มันอยู่ห่างจาก 2 ไม่เกินหนึ่งในล้าน หรือ
-
สิบยกกำลังลบหนึ่งร้อย อะไรก็ได้
-
ที่ใกล้ 2 สุด ๆ ผมก็จะหาช่วงรอบ ๆ จุดนี้ได้
-
โดยที่ตราบใดที่คุณเลือกค่า x ในช่วงนั้น f ของ x
-
จะอยู่ในช่วงนี้ที่คุณเลือกมาเสมอ ภายใน
-
ช่วงที่คุณก็รู้ หนึ่งส่วนล้านล้านหน่วยจาก
-
จุดลิมิต
-
และแน่นอน สิ่งนึงที่ผมยืนยันไม่ได้คือ
-
สิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อ x เท่ากับ a
-
ผมแค่บอกว่า ตราบใดที่คุณเลือกค่า x ที่อยู่ภายใน
-
ช่วงของผม แต่ไม่ใช่ a มันจะใช้ได้เสมอ
-
ค่า f ของ x จะออกมาอยู่ในช่วงที่คุณเลือก
-
และเพื่อนิยามให้ถูกต้อง -- ที่ผ่านมาผม
-
พูดโดยใช้แต่คำธรรมดามาตลอด -- นี่คือสิ่งที่เราจะพบ
-
ในหนังสือ มันบอกว่า คุณบอกค่า epsilon ใด ๆ
-
ที่มากกว่า 0 ให้ผม
-
นี่คือนิยาม จริงไหม
-
หากมีคนเขียนมันขึ้น มันก็หมายความว่า คุณสามารถให้
-
ค่า epsilon อะไรก็ตามที่มากกว่า 0 เขาก็จะให้ค่า delta คุณ --
-
จำไวว้่า epsilon คือค่าที่บอกว่าคุณอยากให้ f ของ x
-
เข้าใกล้ค่าลิมิตแค่ไหน จริงไหม
-
มันคือช่วงของค่า f ของ ป -- แล้วเขาจะบอกค่า delta
-
ให้คุณ ซึ่งคือช่วงรอบ ๆ a ถูกไหม
-
ขอผมเขียนอย่างนี้แล้วกัน
-
ลิมิตเมื่อเข้าใกล้ a ของ f ของ x เท่ากับ l
-
เขาจะให้ delta คุณ โดยที่ตราบใดที่ x ยังไม่
-
ห่างไปเกิน delta -- นั่นคือ ระยะระหว่าง x กับ a หากเราเลือก
-
x ตรงนี้ -- ขอผมใช้อีกสีนึง -- หากเราเลือกค่า x ตรงนี้
-
ระยะห่างระหว่างค่านั้นกับ a ตราบใดที่มัน
-
มากกว่า 0 โดยที่ x ไม่ได้ทับบน a
-
เพราะฟังก์ชันอาจไม่ได้นิยามที่จุดนั้น
-
ตราบใดที่ระยะระหว่าง x กับ a นั้นมากกว่า
-
0 และน้อยกว่าช่วงของ x ที่กำหนดไว้
-
คือน้อยกว่า delta
-
ตราบใดที่คุณเลือก x ขึ้นมาตัวนึง คุณก็รู้หากผมซูมแกน x
-
ส่วนนี้ -- นี่คือ a และระยะห่างตรงนี้
-
คือ delta และระยะทางตรงนี้ก็คือ
-
delta เหมือนกัน -- ตราบใดที่คุณเลือกค่า x ที่อยู่ตรงนี้
-
-- ตราบใดที่คุณเลือกค่า x ตรงนี้ หรือตรงนี้ หรือ ตรงนี้
-
-- ตราบใดที่คุณเลือกค่า x ในนี้ ผมยืนยันได้
-
ว่าระยะห่างระหว่างค่าฟังก์ชันกับค่าลิมิต
-
นั่นคือระยะห่างระหว่าง คุณก็รู้ เมื่อ
-
คุณเลือค่า x และหาค่า f ของ x ณ จุดนั้น
-
ระยะระหว่าง f ของ x กับค่าลิมิต
-
จะออกมาน้อยกว่าเลขที่คุณให้มา
-
และหากคุณคิดว่า มันอาจจะงง ๆ หน่อย ผม
-
ไม่แน่ใจว่าเรื่องนี้มันอยู่ที่ไหน
-
ในหลักสูตรแคลคูลัส
-
มันอยู่ในส่วน คุณก็รู้ สัปดาห์ที่สามก่อนที่คุณ
-
จะเรียนเรื่อง derivatives และมันเป็นเรื่องที่ต้อง
-
คิดเป็นคณิตศาสตร์อย่างรัดกุม และคุณก็รู้ ว่ามัน
-
ทำให้นักเรียนหลายคนชะงัก และผมว่าคนส่วนใหญ่
-
ไม่เข้าใจแนวคิดเบื้องหลัง แต่นี่คือ
-
การนิยามทางคณิตศาสตร์ที่รัดกุม
-
ผมคิดว่ามันมีค่ามากเมื่อคุณเรียน อย่างเช่น
-
แคลคูลัสชั้นสูงหรือเรียนเอกคณิตศาสตร์
-
ไม่ว่ายังไง คุณคงพอเข้าใจหลักพื้นฐาน
-
อยู่บ้างนะ จริงไหม
-
เพราะอย่างที่ได้พูดไป ดูตรงนี้ ผมสามารถ
-
ให้ x เข้าใกล้ค่านี้ f ของ x จะ
-
เข้าใกล้ค่านี้
-
และวิธีที่จะนิยามเป็นคณิตศาสตร์คือว่า คุณบอกว่า แซล
-
ฉันอยากเข้าใกล้สุด ๆ
-
ฉันอยากให้ระยะห่างถึง f ของ x
-
ให้มันเป็น 0.000000001 ผมก็จะสามารถ
-
บอกระยะรอบ ๆ x ที่ทำให้นี่เป็นจริงได้เสมอ
-
ผมใช้หมดเวลาแล้วในวิดีโอนี้
-
ในวิดีโอหน้า ผมจะยกำตัวอย่างที่ผมจะ
-
พิสูจน์ลิมิต คือ ผมจะพิสูจน์ประโยคเกี่ยวกับลิมิต
-
โดยใช้นิยามอันนี้
-
หวังว่า คุณก็รู้ เมื่อเราใช้เลขที่จับต้องได้ นิยามนี้
-
จะเข้าใจได้ง่ายขึ้น
-
แล้วเจอกันในวิดีโอหน้าครับ
