Epsilon Delta Limit Definition 1

Introduction to the Epsilon Delta Definition of a Limit.

Las ma joonistan funktsiooni, millest oleks huvitav

piirväärtust võtta.

Ja ma lihtsalt joonistan selle praegu, me teeme mõned

täpsemad näited natuke hiljem.

See on mu y-telg ja see on mu x-telg

Ja ütleme, et funktsioon näeb välja midagi nagu--

Ma teen selle sirgjoonjoonelise funktsiooni

--ütleme, et see on sirge, enamusjaolt.

Ütleme, et see näeb välja nagu, kuid tal on

auk mingis kohas.

x on võrdne A-ga, siis ta on määramata seal.

Las ma teen selle mustaks, siis sa näed, et

see ei ole määratud seal.

Ja see punkt seal on x on võrdne A-ga.

See on x-telg, see on y on võrde f kohal x-telg.

Ütleme lihtsalt see on y-telg.

Ja ütleme, et see on f kohal x, või see on

y on võrdne f kohal x.

Me oleme teinud hunniku videosi piirväärtuste kohta.

Ma arvan sul on nägemus selle kohta.

Kui ma ütleksin, mis on piirväärtus x-i lähenedes a-le.

Ja ütleme, et see punkt siin on L.

Me teame ome eelnevatest videodest, et--esiteks

ma saan need üles kirjutada--piirväärtus x-i lähenedes

A-le f kohal x

See tähendab, et kui me läheneme A-le mõlemalt

küljelt, kui me läheneme talle sellelt küljelt, millele

f kohal x läheneb?

Kui x on siin, f kohal x on siin.

Kui x on siin, f kohal x on seal.

Ja me näeme, et see läheneb sellele L-le siin.

Ja kui me läheneme A-le tollelt küljelt--ja me oleme teinud

piirväärtusi kus sa oled ainult lähenenud vasakult või paremalt poolt.

kuid kui tegelikult saada piirväärtust peab ta lähenema samale asjale

positiivsest suunast ja negatiivsest suunast--kuid kui

sa lähed sealt, kui sa valid selle x-i, siis see on f kohal x.

f kohal x on täpselt seal.

Kui x on siin, siis ta lähen siia, ja kui me läheme lähemele ja

lähemale A-le, f kohal x läheneb sellele punkitle L või sellele väärtusele L.

Seega me ütleme, et see piirväärtus f kohal x kui x läheneb

A-le on võrdne L-ga.

Ma arvan meil on see nägemus.

Kuid see ei ole väga, see ei ole tegelikult üldsegi range

Arvestades, et me oleme täpsed, mida me

piirväärtuse all mõtleme.

Mis ma olen seni öelnud on, et kui me läheneme, millele

f kohal x läheneb?

Selles videos ma üritan teile seletada definitsiooni

piirväärtusest, millel on natuke rohkem, või tegelikult palju

rohkem matemaatikalist karmust kui lihtsalt öelda, et sa tead kui x

läheneb sellele väärtused, millele f kohal x läheneb?

Ja viis kuidas ma mõtlen sellest: see on nagu mäng.

Definitsioon on, et see lause siin tähendab seda

Ma saan alati anda sulle selle punkit vahemiku..ja kui ma

räägin vahemikust, siis ma ei räägi sellest terve

määramispiirkonna vahemiku aspektist, ma lihtsalt räägin vahemikust nagu sa

tead, Ma saan anda sulle vahemaa A-st seni kuni

ma ei ole sellest kaugemal, Ma saan garanteerida sulle, et f kohal x

ei lähe enam kaugemale kui antud vahemaa L-st

--ja viis kuidas ma mõtlen sellest on, et seda saab vaadata

nagu väikest mängu.

Ütleme, et sa ütled, OK Sal, Ma ei usu sind.

Ma tahan näha, et sa tead, kas f kohal x saab minna ulatusse 0,5 L.

Ütleme, et sa annad mulle 0,5 ja sa ütled Sal, selle

definitsiooni järgi peaksid sa alati olema võimeline mulle andma vahemiku

A piires, mis annab f kohal x ulatuses 0,5 L õigus?

Seega väärtused f kohal x-st on alati selles

vahemikus, täpselt siin.

Ja seni kuni ma olen selles vahemikus ümber A, seni kuni ma

olen vahemikus mille sa mulle andsid, f kohal x on alati vähemalt

nii lähedal, meie piirväärtuse punktile.

Las ma joonistan selle natuke suuremalt, sest ma arvan

ma lihtsalt teen selle sama diagrammi uuesti ,

Ütleme, et see on f kohal x, see on augu punkt.

Seal ei pea olema auku; piirväärtus võib võrduda

tegelikult funktsiooni väärtusega, kuid piitväärtus on veel

põnevam kui funktsioon ei ole seal määratud, kuid

piirväärtus on.

See punkt siin--see on, las ma joonistan teljed uuesti.

See on x-telg, y-telg, x,y, see on piirväärtuse punkt

L, see on punkt A

Seega piirväärtuse definitsioon ja ma lähen selle juurde kohe

tagasi, sest nüüd see on suurem ma tahan seda uuesti seletada.

See ütleb, et see tähendab--ja see on epsiloni delta fefinitsioon

piirväärtustest, ja me puutume epsiloni ja deltaga kohe kokku,

on, ma saan garanteerida sulle, et f kohal x, sa annad mulle suvalise

vahemaa L-st, mida sa tahad.

Ja tegelikult kutsume seda epsiloniks.

Ja lähme kohe definitsiooni

juurde,

Sa ütled, et tahad olla mitte rohkem kui epsilon eemal L-st.

Ja epsion võib olla suvaline arv suurem, suvaline reaal-

arv suurem kui 0.

See oleks siis, see vahema siin on epsilon.

See vahemaa seal on epsilon.

Ja iga epsilon, mis sa mulle annad, iga reaalarv--see on

see oleks L pluss epsilon siin, see oleks

L miinus epsilon siin--epsiloni delta definitsioon

sellest ütleb, et misiganes epsiloni sa mulle annad, ma

saan alati täpsustada vahemaad ümber A.

ja ma kutsun seda deltaks.

Ma saan alati täpsustada vahemaad ümber A.

Ütleme, et see on delta vähem kui A ja see

on delta rohkem kui A.

See on delta sümbol.

Kus seni kui sa valid x, mis on vahemikus A pluss delta ja

A miinus delta, seni kuni x on selles siin, Ma saan garanteerida

sulle, et f kohal x, vastav f kohal x on alati

sinu vahemikus.

Ja kui sa mõtled sellest, siis see on loogiline, õigus?

See lõpuks ütleb, Ma saan su viia nii lähedal kui sa tahad

selle piirväärtuseni sellega--ja kui ma ütlen nii lähedale kui sa

tahad, sa defineerid mida sa tahad andes mulle epsiloni,

see on natuke mäng--Ja ma viin su nii lähedale kui

sa tahad selle piirväärtuseni, andes sulle vahemiku ümber

punkti, millele x läheneb.

Seni kuni sa valid x-i väärtuse, mis on selles vahemikus

ümber A, seni kuni sa valid x-i väärtuse sealt, Saan ma

garanteerida sulle, et f kohal x on vahemikus, mida

sa täpsustad.

Et teha seda natuke konktreetsemaks, ütleme, et sa

ütled, ma tahan, et f kohal x oleks 0.5 ulatuses--teeme

kõik konkreetseteks arvudeks.

Ütleme, et see on number 2 ja see on number 1.

Seega me ütleme, et piirväärtus x lähenedes 1-le f kohal x-st--Ma

ei ole defineerinud f kohal x-i, kuid see näheb välja nagu sirge auguga

seal, on võrdne 2-ga.

See tähendab, et sa võid anda mulle suvalise arvu.

Ütleme, et sa tahad katsetada seda paari näitega.

Ütleme, sa ütled, et ma tahan f kohal x oleks punkti ulatuses--las ma teen

teist värvi--Ma tahan, et f kohal x oleks ulatuses 0,5 2-st.

Ma tahan, et f kohal x oleks 2,5 ja 1,5 vahel.

Siis ma saaksin öelda, OK, seni kuni sa valid x-i vahemikus--Ma

ei tea, see võib olla suvaliselt lähedale kuid seni kuni

sa valid x-i, mis--ütleme töötab selle funktsiooni puhul

mis on vahemikus, ma ei tea 0,9 ja 1,1.

Seega sellel juhul delta meie piirväärtusest on ainult 0,1.

Seni kuni sa valid x-i, mis on ulatuses 0,1 sellest punktist, või 1,

ma saan garanteerida sulle, et su f kohal x saab

assetsema selles vahemikus.

Loodetavasti sa saad sellest natuke aimu.

Las ma defineerin seda tegeliku epsiloni deltaga, ja see

on see, mida sa tegelikult oma mate õpikus näed ja siis

me teeme natuke näiteid.

Ja, et olla selge, see oli lihtsalt kindel näide.

Sa andsid mulle ühe epsiloni ja ma andsin sulle delta, mis töötas.

Kuid kui definitsiooni järgi on see tõene, või kui keegi kirjutab

seda, nad ütlevad, et see lihtsalt ei tööta ühel kindlal

juhul, see töötab igal arvul, mis sa mulle annad.

Sa võid öelda, ma tahan olla ühes miljonis , või

kümme kuni negatiiviivne sajandik astmes 2, üli

lähedale 2-le, ja ma võin alati anda sulle vahemiku ümber selle

punkti kus, seni kuni sa valid x-i selles vahemikus, f kohal x on siis

alati selles vahemikus, mida sa täpsustad, vahemikus

üks miljondik ühikut eemal

piirväärtuse punktist.

Ja muidugi, üks asi, mida ma ei saa garanteerida on, mis

juhtub kui x on võrdne A-ga.

Ma lihtsalt ütlen seni kuni sa valid x-i, mis on minu

vahemikus, kuid mitte A-s, siis ta töötab.

Sinu f kohal x näitab ennast selles vahemikus, mida sa täpsustasid.

Ja, et teha matet selgemaks--sest ma olen

rääkinud seni ainult sõnades--ja see on, mis me näeme

õpikus: see ütleb, sa annad mule suvalise epsiloni

suurema kui 0.

Igatahes on see definitsioon, õigus?

Kui keegi kirjutab seda, siis nad mõtlevad, et sa võid anda neile suvalise

epsiloni suurem kui 0, ja siis nad annavad sulle delta.

Jäta meelde, su e epsilon on nii lähedal kui sa tahad, et f kohal x oleks

sinu piirväärtuse punktini, õigus?

See on vahemik ümber f kohal x-i--nad annavad sulle delta,

mis on vahemik ümber A, nõus?

Las me kirjutan selle.

Piirväärtus x-i lähenedes A f kohal x-le on võrde L-ga.

Nad annavad sulle delta kus seni kuni x ei ole rohkem

kui delta--Siis vahemaa x ja A vahel , siis kui me valime

x-i siit--las ma teen teist värvi--kui me valime x-i siit,

vahemaa see väärtuse ja A vahel, seni kuni üks, mis on

suurem kui 0 nii, et x ei ilmu A kohale,

sest selle funktsioon võib olla määramata selles punktis.

Kuid seni kuni vahemaa x ja A vahel on suurem

kui 0 ja vähem kui selle x-i vahemik, mis nad sulle andsid,

on see vähem kui delta.

Seni kuni sa võtad x-i, kui ma suurendaksin

x-telge siin--see on A ja seega see vahemaa siin

oleks delta ja see vahemaa siin oleks

delta--seni kuni sa valid x-i väärtuse, mis kuulub siia--siis seni

kuni sa valid tolle x-i väärtuse või selle x-i väärtuse või selle x-i väärtuse

--seni kuni sa valid ühe neist x-i väärtustest, saan ma garanteerida

sulle, et vahemaa sinu funktsiooni ja piiirväärtuse punkti vahel,

siis vahema kui sa võtad ühe

nende x-i väärtustest ja sa väärtustad f kohal x-i selles punktis, siis

vahemaa selle f kohal x-i ja piirväärtuse punkti vahel saab

olema väiksem kui arv, mis sa neile annad.

Ja kui sa mõtled sellest, tundub see väga keeruline ja ma olen

seganud tundeid, kus see on kaasaarvatud enamus

arvutusõppekavades

See on kaasaarvatud kuskil nagu kolmandal nädalal enne kui sa

isegi õpid tuletisi ja see on üsna väga matemaatiline

ja karm asi, millest mõelda, ja see kipub

rööbastelt maja jooksutama paljusid õpilasi ja inimesi, kes minu arvates ei

saa palju nägemusi selle kohta, kuid see on

matemaatiliselt. karm

Ja ma arvan see on väga väärtuslik kui sa õpid seda, sa tead rohkem

keerulisemaid arvutusi või saab sust mate ekspert.

Kuid öeldes seda, siis see annab aimu

intuitiivselt, õigus?

Enne kui me räägime sellest, sa tead, ma võin saada

su nii lähedale kui x läheneb sellele väärtusele f kohal x läheneb

sellele väärtusele.

Ja viis kuidas me matemaatiliselt selle defineerime, sa ütled Sal,

ma tahan olla ülilähedal.

Ma tahan, et vahemaa oleks f kohal x [arusaamatu].

Ja ma tahan, et see oleks 0.000000001, siis ma saan alati

anda sulle vahemaa ümber x-i, kus see on tõene.

Ja mul on aeg otsas sellel videol.

Järgmises videos ma teen mõned näited, kus ma tõestan

piirväärtusi, kus ma tõestan mõned piirväärtuse väited kasutades

seda definitsiooni.

Ja loodetavasti sa tead, kui me kasutame mõningaid käegakatsutavaid arve, siis see

definitsoon saab rohkem selgemaks.

Näeme järgmises videos.