Epsilon Delta Limit Definition 1

Introduction to the Epsilon Delta Definition of a Limit.

دعوني ارسم اقتراناً يكون مثيراً للاهتمام

لكي نأخذ نهايته

وسوف ارسمه بصرياً الآن، وسوف نقوم بحل

امثلة محدةة لاحقاً

اذاً هذا هو محور y، وهذا محور x

ودعونا نفترض ان الاقتران يبدو

--سأجعله اقتراناً مباشراً جداً--

لنفترض ان هذا خط، بالنسبة للجزء الاكبر

لنفترض انه يبدو، اقبلوا تواجد

ثقباً على نقطة ما

x = a، اذاً هو غير معرف هناك

دعوني اظلل تلك النقطة لكي تستطيعون رؤية

انها غير معرفة هناك

وتلك النقطة x = a

هذا هو محور x، وهذا محور y = f(x)

دعونا نفترض انه محور y

ولنفترض ان هذا f(x)، او ان هذا

y = f(x)

الآن قد انجزنا مجموعة من العروض على النهايات

اعتقد ان لديكم الآن البداهة لذلك

اذا اردت ان اقول ما هي نهاية اقتراب x من a

ولنفترض ان هذه النقطة هي l

نحن نعلم من العروض السابقة ان --حسناً، اولاً

يمكنني ان اكتبها-- نهاية اقتراب x

من a لـ f(x)

ما يعنيه هذا انه كلما اقتربنا من a من اي

اتجاه، كلما قربناها من ذلك الاتجاه، فمن ما

يقترب f(x)؟

اذاً عندما يكون x هنا، فإن f(x) يقع هنا

عندما يكون موقع x، فإن f(x) يقع هنا

ونرى انه اذا قارب l هذا هنا

وقاربنا a من ذلك الاتجاه --وانجزنا

النهايات حيث قاربنا من اليسار او اليمين فقط

لكن لكي نحصل على نهاية فيجب ان نقارب نفس الشيئ

من الاتجاه الموجب والاتجاه السالب --لكن كلما

انتقلت من هنا، اذا اخترت x هذه، بالتالي فإن f(x) هذا

f(x) سيقع هنا

اذا كان موقع x هنا بالتالي فإنها تقع هنا، كلما اقتربنا

من a، فإن f(x) سيقارب النقطة l هذه، او هذه القيمة l

اذاً نقول ان نهاية f(x) كلما اقترب x من

a يساوي l

اعتقد اننا قد امتلكنا هذه البداهة

لكن هذا لم يكن كثيراً، في الواقع انه ليس دقيقاً

بدلالة كوننا محددين بدليل ان ما

نعنيه هو النهاية

كل ما قلته هو اننا كل ما نقترب ، من ماذا

يقترب f(x)؟

اذاً في هذا العرض سأحاول توضيح تعريفاً

للنهاية التي لها العديد، او في الواقع بعضاً من

الصرامة الرياضية اكثر من ان نقول، كما تعلمون، كلما اقترب x

من هذه القيمة، فمن ماذا يقترب f(x)؟

وطريقة تفكيري بهذا: تعتبر لعبة نوعاً ما

التعريف هو، هذه العبارة الموجودة هنا تعني انه

يمكنني دائماً ان اعطيكم مدى حول هذه النقطة --وعندما

اتحدث عن المد فأنا لا اتحدث عنه بسياق

مدى المجال، بل اتحدث عن المدى الذي

تعرفوه، يمكنني ان اعطيكم مسافة من a طالما انني لا

ارتفع لأكثر من ذلك، يمكنني ان اعطيكم ان f(x) ذهب

سيكون اي شيئ ابعد من مسافة معينة من l

--وطريقة تفكيري في الامر، يمكن ان تعتبر

لعبة بسيطة

دعونا نفترض انكم تقولون، حسناً، لا اصدقك

اريد ان ارى انك تعرف، ما اذا كان يمكن لـ f(x) ان يقع خلال 0.5(l)

اذاً دعونا نفترض انك اعطيتني 0.5 وقلت: من خلال

التعريف يجب ان تكون قادراً دائماً على اعطائي مدى

حول a ويأخذ f(x) خلال 0.5(l)، اليس كذلك؟

اذاً قيم f(x) ستكون دائماً في

هذا المدى، هناك

وطالما انني اقع في ذلك المدى حول a، طالما انني

في المدى الذي اعطيتني اياه، f(x) سيكون دائماً على الاقل

بذلك القرب من نقطة النهاية

دعوني ارسمه بشكل اكبر بقليل، لأنني اعتقد

انني اكتب نفس الرسم البياني مرة اخرى

دعونا نفترض ان هذا f(x)، تلك هي نقطة الثقب

لا يجب ان يكون هنا نقطة ثقب، ان النهاية يمكنها ان تساوي

قيمة من الاقتران، لكن النهاية اكثر

اثارة للاهتمام عندما لا يكون الاقتران معرفاً هناك

لكن النهاية معرفة

اذاً هذه هي النقطة --تلك هي، دعوني ارسم المحاور مرة اخرى

ذلك هو محور x، محور y، هذه هي نقطة النهاية

l،وهذه هي النقطة a

اذاً تعريف النهاية، وسأعود لهذا

بسرعة لأنه الآن اكبر واريد توضيحه مرة اخرى

انه يعني --وهذا هو تعريف دلتا ابسيلون

للنهايات، وسوف نتعرض لابسيلون ودلتا بسرعة

هو بامكاني ان اعطيكم ان f(x) وتعطوني اي

مسافة تريدونها من l

وفي الواقع دعوني اسمي تلك بابسيلون

ودعونا نتعرض للتعريف

من البداية

اذاً تقول انني اريد ان لا اكون اكثر بعداً عن ابسيلون من l

ويمكن لابسيلون ان تكون اي عدد اكبر، اي عدد حقيقي

اكبر من الصفر

هذا يكون، هذه المسافة هنا هي ابسيلون

هذه المسافة هي ابسيلون

ولأي ابسيلون تعطيني اياها، اي عدد حقيقي --اذاً هذا

هو، هذا سيكون l + ابسيلون هنا، هذا

سيكون l - ابسيلون --تعريف دلتا ابسيلون

لهذا هو انه لا يهم ما هو ابسيلون 1 الذي تعطيني اياه

فيمكنني دائماً ان احدد مسافة حول a

وسأسمي ذلك بدلتا

يمكنني دائماً ان احدد مسافة حول a

اذاً دعونا نفترض ان دلتا هذه اقل من a، و

دلتا هذه اكبر من a

هذا رمز دلتا

حيث انك طالما تختار x تقع بين a + دلتا و

a - دلتا، طالما ان x تقع هنا، فيمكنني ان اعطيكم

ان f(x)، اي f(x) المطابق

سيكون ضمن المدى

واذا فكرت بهذا فإنه منطقي اليس كذلك؟

ان مضمونه، انه يمكنني ان اوصلك بالقرب كلما اردت

ان تكون نقطة النهاية --وعندما اقول بالقرب

فأنت تعرف ما تريد عن طريق اعطائي ابسيلون

هذه هي اللعبة-- ويمكنني ايصالك بالقرب كما

تريد الى نقطة النهاية تلك عن طريق اعطائك مدى حول

النقطة التي تقترب منها x

وطالما انك اخترت قيمة x بحيث تقع ضمن هذا المدى

حول a، طالما انك اخترت قيمة x ان تقع هنا، فيمكنني

ان اعطيك ان f(x) سيكون ضمن المدى

الذي تحدده

من اجل جعل هذا اكثر دقة، دعونا نفترض انك

تقول، اريد ان يكون f(x) بين 0.5 --دعونا، كما تعلمون، نجعل

من كل الاعداد دقيقة

لنفترض ان هذا العدد 2 ولنفترض ان هذا العدد 1

اذاً نقول ان نهاية اقتراب x من 1 لـ f(x)

--لم اقم بتعريف f(x)، لكنه يبدو كخط يملك ثقباً

هنا-- يساوي 2

هذ يعني انه يمكنك اعطائي اي عدد

لنفترض انك تريد ان تجربه لمجموعة من الامثلة

دعونا نفترض انك قلت اريد ان يكون f(x) خلال هذه النقطة --دعوني استخدم

لون آخر-- اريد ان يقع f(x) خلال 0.5(2)

اريد ان يكون f(x) بين 2.5 و 1.5

ثم بامكاني ان اقول، حسناً، طالما انك اخترت قيمة لـ x تقع بين

--لا اعلم، يمكنها ان تكون قريبة لكن طالما

انك اخترت x --لنفترض انها صالحة لهذا الاقتران

تقع بين، لا اعلم، 0.9 و 1.1

اذاً في هذه الحالة فإن دلتا من نقطة النهاية ستكون 0.1 فقط

طالما انك اخترت x تقع ضمن 0.1 من هذه النقطة، او 1

فيمكنني ان اعطي ان f(x) سوف

تقع في ذلك المدى

اذاً اتمنى ان تجدوا ذلك منطقي

دعوني اعرف ذلك بدلتا ابسيلون فعلية، وهذا

ما ستراه في الكتاب، ومن ثم

سنقوم بحل بعض الامثلة

وكي اكون واضحاً، كان ذلك مجرد مثال محدد

اعطيتني ابسيلون واحد واعطيك دلتا ستنجح

لكن من خلال التعريف اذ كان ذلك صحيحاً، او اذا كتب احدهم

هذ، فإنه يقول انه لا ينجح

لمثال واحد معين، بل انه ينجح لأي عدد تعطيني اياه

يمكنك ان تقول اريد ان اكون ضمن مليون من،كما تعلم، او

10^-100، كما تعلم

انه قريب جداً من الـ 2، ويمكنني دائماً ان اعطيك مدى حول هذه

النقطة حيث انه طالما اخترت قيمة لـ x ضمن ذلك المد، فإن f(x)

ستكون دائماً ضمن هذا المجال الذي تحدده، ضمن ذلك

كما تعلم، على بعد تريليون من

نقطة النهاية

وبالطبع، الشيئ الذي لا يمكنني ان اعطيه هو ما

يحدث عندما x = a

انني اقول انه طالما انك تختار x يقع ضمن

المدى الذي لدي، لكن ليس على a، فسينجح

f(x) سيظهر ليقع ضمن المدى الذي حددته

ولكي تجعل الرياضيات واضحاً --لأنني

اتحدث بكلمات سريعة-- وهذا ما نراه في

الكتا، يثول انظر، تعطيني ابسيلون

اكبر من 0

على اي حال، هذا تعريف، اليس كذلك؟

اذا كتب احدهم هذا فإنه يعني انه يمكنك اعطاؤهم اي

ابسيلون اكبر من 0، وبالتالي اعطيك دلتا

--تذكر ان ابسيلون تعبر عن مدى ارادتك لقرب f(x)

من نقطة لنهاية، اليس كذلك؟

انه مدى حول f(x) --هذا سيعطيكم دلتا

تكون عبارة عن مدى حول a، اليس كذلك؟

دعوني اكتب هذا

اذاً نهاية الاقتراب من a(f(x)) تساوي l

اذاً ستعطون دلتا طالما ان x ليست اكثر

من دلتا --اذاً المسافة بين x و a، فاذا اخترنا

x هنا --دعوني استخدم لون آخر-- اذا اخترنا x هنا

فإن المسافة بين تلك القيمة و a، طالما انها

اكبر من 0، بالتالي x لا تظهر فوق a

لأنه اقترانه ربما لا يكون معرفاً على تلك النقطة

لكن طالما ان المسافة بين x و a اكبر

من 0 واقل من مدى x بالتالي فإنها تعطيك

انها اقل من دلتا

اذاً طالما انك اخذت x، فأنت تعلم انه اذا اردت ان تقوم بتكبير

محور x هنا --هذه a وبالتالي فإن هذه المساحة

ستكون دلتا، وهذه المسافة ستكون

دلتا-- طالما انك اخترت ان تقع قيمة x هنا-- اذاً

طالما انك اخترت قيمة x هذه او قيمة x هذه او قيمة x هذه

--طالما انك اخترت قيم x تلك، فيمكنني ان اعطيك

ان المسافة بين الاقتران الذي لديك ونقطة النهاية

اذاً المسافة بين، كما تعلمون، عند اخذ واحد من

قيم x هذه وتقييم f(x) على تلك النقطة، حيث ان

المسافة بين f(x) ذلك ونقطة النهاية

ستكون اقل من العدد الذي اعطي لكم

واذا فكرتم بهذا، فإنه يبدو معقداً جداً، وانا لدي

مشاعر مختلطة حيال مكان وجود هذا في معظم

مناهج التفاضل والتكامل

انه موجود في، تعلمون، الاسبوع الثالث قبل

ان تتعلموا المشتقات، وهو نوعاً ما

شيئ رياضي ودقيق لتفكروا به، وتعلمون انه يشكل

عرقلة لبعض الطلاب ولا اعتقد ان بعض الناس

يملكون البداهة الكافية حيال ذلك، لكنه

دقيق رياضياً

واعتقد انه قيم جداً عندما تدرسون

التفاضل والتكامل الاكثر تقدماً او بالنسبة للاشخاص الذين يختصون بالرياضيات

لكن بهذا، فإن هذا ليس منطقي

بالشكل البديهي، اليس كذلك؟

لأنه قبل ان كنا نتحدث عنه، كان بامكاني ان انقلكم

بجانب اقتراب x من هذه القيمة، اي f(x)، سوف

يقترب من هذه القيمة

وطريقة تعريفنا لهذا رياضياً، هي ان تقول

اريد ان اكون قريباً للغاية

اريد ان تكون المسافة f(x)

واريدها ان تكون 0.000000001، بالتالي يمكنني دائماً ان

اعطيكم مسافة حول x بحيث يكون هذا صحيحاً

وقد استهلكت جميع الوقت لهذا العرض

في العرض التالي سأقوم بحل بعض الامثلة حيث سأثبت

النهايات، حيث اثبت بعض عبارات النهايات باستخدام

هذا التعريف

واتمنى انكم تعلمون، انه عندما نستخدم بعض الاعداد الملموسة، فإن هذا

التعريف سيجعل الامور منطقية

اراكم في العرض التالي