Proof - Diagonals of a Parallelogram Bisect Each Other
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0:01 - 0:03好啦 现在我们有一个平行四边形在这里
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0:03 - 0:07我们想证明的是它的对角线互相平分
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0:07 - 0:10于是 我们第一件想到的事情 这些不仅仅是对角线
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0:10 - 0:12这些线是和平行线相交的线
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0:12 - 0:15所以 你也可以把他们看成是截线
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0:15 - 0:20如果我们留意DB的话 我们看到它和DC
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0:20 - 0:22AB相交 它在这里
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0:22 - 0:24我们知道这些是平行四边形
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0:24 - 0:25我们知道它们是平行的
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0:25 - 0:26这是一个平行四边形
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0:26 - 0:29内错角必须是相等的
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0:29 - 0:31所以 这个角等于这里的这个角
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0:31 - 0:33让我们在这里做个记号
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0:33 - 0:34我们把中点叫做E
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0:34 - 0:43所以 我们知道角ABE肯定等于角CDE
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0:43 - 0:50因为它们是一对平行线的截线
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0:50 - 0:52的两个内错角
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0:52 - 0:57内错角
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0:57 - 1:01如果我们看对角线AC 或者我们叫它截线AC
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1:01 - 1:03我们可以做出相同的论证
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1:03 - 1:04它和两条线相交于这里和这里
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1:04 - 1:06这两条线是平行的
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1:06 - 1:09所以 内错角肯定是相等的
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1:09 - 1:13所以 角DEC肯定 让我把这个写下来
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1:13 - 1:19角DEC肯定和角BAE相等
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1:25 - 1:27这里面的原因是完全一样的
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1:27 - 1:29现在我们有些有趣的东西
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1:29 - 1:32如果我们看这个上面的三角形和这个下面的三角形
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1:32 - 1:35有一对对应的角是全等的
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1:35 - 1:40有一对夹在对应角之间的边是相等的
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1:40 - 1:41让我把这个明确地写下来
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1:41 - 1:46我们已经知道并且已经在前面的视频里证明了
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1:47 - 1:50平行四边形的对边互相平行
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1:50 - 1:52并且相等
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1:52 - 1:54所以 我们从前面的视频可以知道这边
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1:54 - 1:55和这边是相等的
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1:55 - 1:57所以 让我回到我刚才说的话
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1:57 - 2:00我们有两对对应的全等角
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2:00 - 2:03我们有夹在中间的一对边是相等的
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2:03 - 2:05然后我们又有另一对对应的角
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2:05 - 2:06是相等的
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2:06 - 2:08所以 我们知道这个三角形全等于这个三角形
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2:08 - 2:10因为角边角
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2:12 - 2:16所以 我们知道这个三角形 我将会从蓝色
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2:16 - 2:17到橙色到最后一个
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2:17 - 2:23根据角边角定理 三角形ABE全等于蓝 橙
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2:23 - 2:30然后是最后一个 三角形CDE
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2:34 - 2:36现在这个对我们有什么帮助呢
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2:36 - 2:39我们知道当两个三角形全等的时候
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2:39 - 2:41所有他们对应的特征 特别是对应的边
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2:41 - 2:43是相等的
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2:43 - 2:48所以我们知道边EC对应着EA
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2:48 - 2:52或者我们可以说边AE
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2:55 - 2:59对应着边CE
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3:01 - 3:03它们是全等三角形的对应边
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3:03 - 3:05所以 它们的度量或者说它们的长度肯定是相同的
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3:05 - 3:09所以 AE肯定等于CE
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3:09 - 3:12让我用两划来做记号因为我在这里已经用了一划
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3:12 - 3:18现在 根据同样的逻辑我们知道DE
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3:18 - 3:24让我强调这点 我们知道BE肯定等于DE
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3:26 - 3:29我重复一遍 他们是两个全等三角形的对应边
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3:29 - 3:31所以他们肯定有相同的长度
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3:31 - 3:38所以 这是全等三角形的对应边
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3:38 - 3:43所以 BE等于DE
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3:43 - 3:44于是我们完成了我们的证明
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3:44 - 3:49我们证明了 看 对角线DB把AC分成
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3:49 - 3:51了长度相等的两段 而且反之亦然
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3:51 - 3:56AC把DB分成了长度相等的两段
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3:56 - 3:58所以 它们互相平分
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3:58 - 4:00现在 我们来进行另外一个方向
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4:00 - 4:04让我们来证明如果一个四边形的两条对角线
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4:04 - 4:07互相平分 那么这是一个
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4:07 - 4:09平行四边形
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4:09 - 4:10好的 我们来看
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4:10 - 4:12好 我们来假设两条对角线
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4:12 - 4:13互相平分
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4:13 - 4:15所以 我们假设这个等于这个
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4:15 - 4:17然后这样 这个等于这个
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4:17 - 4:22由于我们想证的是 只是一个平行四边形
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4:22 - 4:25要做到这点我们只需提醒我们自己
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4:25 - 4:30我们只需提醒我们自己这个角将会
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4:30 - 4:31等于这个角
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4:31 - 4:34这是我们知道的第一点 因为它们是对顶角
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4:34 - 4:35所以 让我写下来
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4:35 - 4:44C 标记着这一点 角CED等于
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4:44 - 4:52或全等于这个角 角BEA
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4:52 - 4:55然后这个 这是什么 噢 这个证明了
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4:55 - 4:58这两个三角形是全等的 因为我们有两对对应边
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4:58 - 5:00和它们之间的夹角是相等的
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5:00 - 5:04所以 我们知道这个三角形 我把它弄成黄色
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5:04 - 5:20三角形AEB全等于三角形DEC 根据边角边
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5:20 - 5:28简称SAS定理
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5:28 - 5:29有道理
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5:29 - 5:32现在 如果我们知道两个三角形全等 那么我们知道
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5:32 - 5:34所有对应的边和角都大小相等
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5:34 - 5:45所以 举个例子 我们知道角CDE全等于
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5:45 - 5:48角BAE
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5:56 - 6:06而这只是全等三角形的对应角
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6:06 - 6:12现在我们有这种两条线的截线
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6:12 - 6:17如果内错角相等 那么这两条线互相平行
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6:17 - 6:18我们看到它们是的
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6:18 - 6:22这两个是候选的内错角
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6:22 - 6:24它们是相等的
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6:24 - 6:27所以 AB肯定等于CD
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6:27 - 6:32所以 AB 让我们画一个箭头 AB肯定平行于CD
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6:35 - 6:43根据平行线内错角相等
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6:43 - 6:46我只是在写缩写 而不是晦涩的全过程
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6:46 - 6:48尽管我已经 把它们说出来了
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6:48 - 6:50然后我们可以做完全一样的事 就如我们刚才证明了
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6:50 - 6:53这两条边是互相平行的 我们可以用同样的逻辑
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6:53 - 6:56来证明这两条边是互相平行的
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6:56 - 6:57我不会把它写出来
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6:57 - 7:00这个证明和刚才证这两条边相等的完全一样
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7:00 - 7:04所以 首先 我们知道这个角等于在这里的
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7:04 - 7:05这个角
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7:05 - 7:07然后我们知道 事实上让我写出来 我们知道
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7:07 - 7:19角AEC等于角DEB 我应该说
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7:23 - 7:24它们是对顶角
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7:27 - 7:29而这也是这里的原因
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7:29 - 7:32对顶角
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7:32 - 7:35接下来我们看到三角形AEC全等于
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7:35 - 7:38三角形DEB 根据边角边
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7:39 - 7:45然后我们根据SAS得出结论 三角形AEC全等于
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7:45 - 7:51三角形DEB
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7:51 - 7:54现在 我们知道对应角必须相等
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7:54 - 7:59我们证明这个角 比如说 角CAE
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8:02 - 8:11肯定全等于角BDE 这是全等三角形
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8:11 - 8:14的对应角
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8:14 - 8:18所以 CAE 让我用一种新的颜色
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8:18 - 8:26CAE肯定等于BDE
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8:28 - 8:30现在我们有一根截线
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8:30 - 8:32内错角是相等的
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8:32 - 8:35所以 这根线所截的两条线
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8:35 - 8:36肯定是互相平行的
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8:36 - 8:39所以 这个全等于这个
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8:39 - 8:44然后 我们有AC平行于BD
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8:45 - 8:48因为内错角相等
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8:51 - 8:51我们完成了
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8:51 - 8:54我们已经证明了如果对角线相互平分
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8:54 - 8:58如果我们从这个开始 我们可以到达这点
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8:58 - 9:01嘿 这个四边形的对边肯定互相平行
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9:01 - 9:05或者ABCD是个平行四边形
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