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Benvenuto alla presentazione sui triangoli 45-45-90.
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Fammelo scrivere.
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Come mai la penna --- oh, ecco qua.
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Triangoli 45-45-90.
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O potremmo dire i triangoli retti 45-45-90, ma potrebbe essere
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ridondante, perche' sappiamo che ogni triangolo che abbia un angolo
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di 90 gradi e' un triangolo rettangolo.
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E come puoi immaginare, il 45-45-90, questi sono proprio
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i gradi degli angoli del triangolo.
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Allora perche' questi triangoli sono speciali?
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Beh, se hai visto l'ultima presentazione ti ho dato
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un piccolo teorema che ti ha detto che se due degli angoli della base
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di una triangolo sono uguali --- e suppongo che sia un angolo della base solo
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se lo disegni cosi'.
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Potresti disegnarlo cosi', nel qual caso magari non e' cosi'
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ovvio che sia un angolo della base, ma sarebbe vero lo stesso.
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Se questi due angoli sono veri allora i lati che non
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condividono --- quindi questo lato e questo lato in questo esempio, o questo
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lato e questo lato in questo esempio --- allora i due lati
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saranno uguali.
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Quindi quello che e' interessante di un triangolo 45-45-90 e' che
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e' un triangolo rettangolo con questa proprieta'.
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E come sappiamo che e' l'unico triangolo rettangolo
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con questa proprieta'?
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Beh, puoi immaginare un mondo dove ti dico che
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questo e' un triangolo rettangolo.
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Questo e' 90 gradi, quindi questa e' l'ipotenusa.
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Giusto, e' il lato opposto all'angolo di 90 gradi.
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E se ti dicessi che questi due angoli sono uguali
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tra loro, come devono essere questi due angoli?
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Beh, se chiamiamo questi due angoli x sappiamo che
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la somma degli angoli e' 180 gradi.
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Quindi diremmo x piu' x piu' --- questo e' 90 --- piu'
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90 uguale 180.
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O 2x + 90 = 180.
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O 2x = 90.
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O x = 45 gradi.
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Quindi l'unico triangolo rettangolo in cui gli altri due angoli
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sono uguali e' il triangolo 45-45-90.
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Allora cosa c'e' di interessante nel triangolo 45-45-90?
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Beh, oltre a quello che ti ho appena detto --- fammelo ridisegnare.
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Lo ridisegno cosi'.
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Quindi sappiamo gia' che questo e' 90 gradi, questo e' 45 gradi,
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questo e' 45 gradi.
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E stando a quello che ti ho appena detto, sappiamo anche che
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i lati che gli angoli di 45 gradi non condividono sono uguali.
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Quindi questo lato e' uguale a questo lato.
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E se lo vediamo dal punto di vista del teorema di
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Pitagora, questo ci dice che i due lati che non sono
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l'ipotenusa sono uguali.
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Quindi questa e' l'ipotenusa.
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Quindi chiamiamo questo lato A e questo lato B.
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Sappiamo dal teorema di Pitagora --- diciamo
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che l'ipotenusa e' uguale a C --- il teorema di Pitagora ci dice che
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A^2 + B^2 = C^2.
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Giusto?
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Beh sappiamo che A = B, perche' questo e' un
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triangolo 45-45-90.
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Quindi possiamo sostituire A con B o B con A.
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Ma sostituiamo B al posto di A.
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Quindi possiamo dire B^2 + B^2 =
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C^2.
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O 2B^2 = C^2.
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O B^2 = (C^2) / 2.
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O B = radice quadrata di ((C^2)/2).
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Che e' uguale a C --- perche' prendiamo la radice quadrata del
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numeratore e la radice quadrata del denominatore --- C
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sulla radice quadrata di 2.
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E in realta', anche se questa e' una presentazione sui triangoli,
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ti daro' un'altra piccola informazione
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su una cosa chiamata razionalizzazione dei denominatori.
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Quindi questo e' perfettamente corretto.
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Siamo arrivati a B --- e sappiamo anche che A = B --- ma
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che B = C / radice di 2.
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Esce fuori che nella maggior parte della matematica, e non ho mai
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capito troppo bene perche' e' cosi', alla gente
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non piace avere radice di 2 al denominatore.
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O in generale non amano i numeri irrazionali
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al denominatore.
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I numeri irrazionali sono i numeri che hanno i decimali
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che non si ripetono e non finiscono mai.
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Quindi il modo di liberarsi dei numeri irrazionali al
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denominatore e' fare una cosa chiamata razionalizzazione
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del denominatore.
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E il modo in cui razionalizzi il denominatore --- prendiamo
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il nostro esempio di adesso.
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Se abbiamo C / radice di 2, moltiplichiamo
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il numeratore e il denominatore per
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lo stesso numero, giusto?
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Perche' quando moltiplichi numeratore e denominatore
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per lo stesso numero, e' come se stessi moltiplicando per 1.
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La radi di 2 sulla radice di due e' 1.
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E come vedi la ragione per cui lo faccio e' che
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la radice di due per radice di due, quanto fa
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radice di due per radice di due?
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Giusto, fa 2.
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Giusto?
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Abbiamo detto, qualcosa per qualcosa fa 2, beh, la radice
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di 2 per la radice di 2, e' questo che fa 2.
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E poi il numeratore e' C per la radice di 2.
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Quindi nota, C per la radice di 2 su 2 e' la stessa cosa
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di C sulla radice di 2.
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Ed e' importante capirlo, perche' alle volte
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quando fai gli esami o se fai
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un test in classe, potresti ottenere una risposta fatta
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cosi', ha una radice di 2, o magari anche una radice
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di 3, o quel che e', al denominatore.
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E potresti non vedere la risposta se e' una domanda
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a risposte multiple.
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Quello che devi fare in quel caso e' razionalizzare il denominatore.
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Quindi moltiplichi il numeratore e il denominatore per la radice
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quadrata di 2 e ottiani radice quadrata di 2 su 2.
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Ma ad ogni modo, torniamo al problema.
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Allora che cosa abbiamo imparato?
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Questo e' uguale a B, giusto?
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Quindi esce fuori che B e' uguale a C per la radice
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quadrata di 2 su 2.
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Quindi fammelo scrivere.
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Quindi sappiamo che A = B, giusto?
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Ed e' uguale alla radice quadrata di 2 su 2 per C.
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Ora magari vuoi impararlo a memoria, anche se puoi sempre
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derivertelo se usi il teorema di Pitagora e
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ti ricordi che i lati che non sono l'ipotenusa in un
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triangolo 45-45-90 sono uguali tra loro.
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Ma questa e' una buona cosa da sapere.
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Perche' se, per esempio, stai facendo un SAT e hai bisogno di risolvere
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un problema velocemente e questo te lo ricordi a memoria e qualcuno ti
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da' l'ipotenusa, puoi calcolare
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i lati molto velocemente, o se qualcuno ti da' uno dei lati,
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puoi calcolare l'ipotenusa molto velocemente.
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Proviamoci.
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Cancello tutto.
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Allora abbiamo appena imparato che A e' uguale a B e' uguale a
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la radice quadrata di 2 su 2 per C.
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Quindi se ti dessi un triangolo rettangolo e ti dicessi
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che questo angolo e' di 90 gradi e questo angolo di 45 e che
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questo lato e', diciamo che questo lato e' 8.
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Voglio sapere quant'e' questo lato.
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Beh, prima di tutto, capiamo quale lao
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e' l'ipotenusa.
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Beh l'ipotenusa e' il lato opposto all'angolo retto.
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Quindi stiamo proprio tentando di calcolare l'ipotenusa.
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Chiamiamo l'ipotenusa C.
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E sappiamo anche che e' un triangolo 45-45-90, giusto?
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Perche' questo angolo e' 45, quindi anche questo deve essere 45,
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perche' 45 + 90 + 90 = 180.
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Quindi questo e' un triangolo 45-45-90 e sappiamo che uno dei lati ---
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questo lato potrebbe essere A o B --- sappiamo che 8 e' uguale alla
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radice quadrata di 2 su 2 per C.
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C e ' quello che stiamo tentando di calcolare.
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Quindi se moltiplichiamo entrambi i lati di questa equazione per 2 per
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la radice quadrata di 2 --- sto solo moltiplicando per l'inverso
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del coefficiente di C.
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Perche' la radice di 2 annulla quella radice di
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2, questo 2 si annulla con questo 2.
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Ottenuamo 2 per 8, 16 sulla radice di 2 = C.
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Che sarebbe corretto, ma come ti ho fatto vedere alla gente
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non piace avere i radicali al denominatore.
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Quindi possiamo dire che C e' uguale a 16 sulla radice quadrata di
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2 per la radice quadrata di 2 sulla radice quadrata di 2.
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Quindi questo e' uguale a 16 radice di 2 su 2.
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Che e' come dire 8 radice di 2.
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Quindi C in questo esempio e' 8 radice quadrata di 2.
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E sappiamo anche, dato che e' un triangolo 45-45-90,
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che questo lato e' 8.
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Spero che abbia senso.
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Nella prossima presentazione di mostrero' un
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tipo diverso di triangolo.
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In realta' potrei anche iniziare con un altro paio di esempi
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su questo, perche' mi sa che sono andato un po' di corsa.
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Ma comunque, ci vediamo presto nella prossima presentazione.
