Výpočet poločasu rozpadu (úvod)

Úvod do výpočtu polčasu rozpadu prvku

Z předchozích videí už něco
víme o poločasech rozpadu.

Viděli jsme, že se hodí,
pokud chceme zjistit,

jaké množství látky nám zbude
po jednom poločasu,

nebo po 2 či 3 poločasech,

Dělíme dvěma za každý poločas.

Ale není to tak užitečné,
pokud chceme zjistit,

kolík látky zbylo
po 1/2 poločasu,

nebo po 1 dni nebo 10 sekundách,
nebo 10 miliardách let.

V předchozím videu jsem to ukázal

pomocí trochu
komplikovanější matematiky.

A pokud ještě
neznáte integrální počet,

tak to video můžete přeskočit.

Pro zvědavé - v tom videu
jsme odvodili následující vzorec

Pro jakýkoli bod v čase,
pokud máte

rozpadající se atom, nějaký prvek,
můžeme ho popsat jako

množství prvku v jakémkoli čase,
které je rovno

počátečnímu množství krát
'e' na nějakou konstantu,

v minulém videu jsem použil lambdu,

teď použiji 'k' -'k' krát 't'.

Pak pro určitý prvek
s daným poločasem rozpadu

můžeme vypočítat 'k' a dále použít

pro konkrétní příklad.

Pojďme si to ukázat, aby všechny proměnné

mohly být trochu konkrétnější.

Napišme si obecný vzorec uhlíku.

Uhlík-14, to je ten,
u kterého známe poločas rozpadu.

Víme, že uhlík-14 má poločas rozpadu 5730 let.

Zkusme tuhle informaci nějakým způsobem

použít v této rovnici.

Říká nám to tedy, že po 1 poločase,

tedy v čase 't' = 5730

je 'N(5730)' rovno množství na počátku.

Tedy začali jsme s 'N0'

krát 'e' na mínus, kdekoliv vidíme 't' napíšeme

-5730, takže -'k' krát 5730.

Tedy kolik let uplynulo.

A poločas rozpadu nám říká,
že po 5730 letech

nám zbývá polovina počátečního množství.

Takže polovina množství se již rozpadla.

Pokud se pokusíme vyřešit tuto rovnici,

co dostaneme pro 'k'?

Vydělíme obě strany 'N0'

Zbavíme se proměnné a zůstane tam jen

'e' na -5730 krát 'k',
jen jsem je přehodil,

se rovná 1/2.

Pokud rovnici zlogaritmujeme,
co dostaneme?

Dostaneme,

přirozený logaritmus z 'e' na 'něco'

je pouze to 'něco'.

Takže se -5730 krát 'k'

rovná přirozenému logaritmu z 1/2.

Na obou stranách rovnice jsem použil

přirozený logaritmus
na obou stranách.

Vyjádříme-li 'k', vyjde nám, že se rovná

přirozenému logaritmu z 1/2 děleno -5130

To jsme viděli v minulém videu.

Ale pojďme si to vypočítat i tady,

pro ty, co ho přeskočili.

Takže, pokud máme 1/2, vezmeme přirozený
logaritmus

a potom to vydělíme 5730 s mínusem,
dostaneme 1,2 krát

10 na -4.

Výsledek je tedy 1,2 krát 10 na -4.

Takže máme obecný vzorec pro uhlík-14,
pokud známe

jeho poločas rozpadu

V jakémkoli čase po začátku,
takže řekněme,

že tohle bude pro uhlík-14, c-14,

množství uhlíku-14, které zbude je rovno

počátečnímu množství krát 'e' na -'k',
to 'k',

které jsme vypočetli.

1,2 krát 10 na -4 krát čas, který

zatím uplynul.

Toto je náš vzorec pro uhlík-14

Pokud to chceme pro nějaký
jiný prvek, musíme použít

jeho poločas rozpadu
k vyjádření množství,

které budeme mít v daném čase,

a k výpočtu hodnoty 'k'.

Pojďme zkusit vyřešit tento problém

Řekněme, že začnu třeba s množstvím

300 g uhlíku, uhlíku-14.

A rád bych věděl, kolik mi ho zbude,
dejme tomu třeba

po 2000 letech?

Kolik budu mít?

Stačí jen dosadit hodnoty do vzorečku.

N(2000) je rovno počátečnímu množství,

300 gramů krát 'e' na -1,2 krát 10 na -4

krát 't', které je 2000.

Kolik to je?

Od minulého výpočtu
už tu mám 1,2 krát 10 na -4.

Takže řekněme krát 2000 se rovná,
a samozřejmě, z tohoto

nám vyjde záporné číslo, takže tady

napíšu mínus.

Máme tu záporné číslo.

A já na něj umocním 'e'

Výsledek je 0,241.

Tomu se tedy rovná N(2000).

Množství látky,
které budu mít po 2000 letech

je tedy 300 krát 'e' na -0,2419.

Vidíme,
že moje kalkulačka neumí umocnit 'e'

Takže vezmu jen 'e'.

Musím si pořídit lepší kalkulačku.

Měl bych se vrátit k té vědecké.

Ale napíšeme, že 'e' je řekněme 2,71
a mohl bych přidat další desetinná místa,

ale stačí 2,71 umocněné na -0,24
a to se rovná

0,78, krát počáteční množství,
tedy krát 300,

což vychází 236 gramů.
Zbude mi tedy 236 gramů.

A přesně takhle, použitím tohoto
vzorce na výpočet rozpadu

jsem schopný zjistit,
kolik mi zbude uhlíku

v jakémkoli zvoleném čase, nejen

v čase odpovídající poločasu.

Pojďme zkusit ještě jeden příklad.

Zkusíme jít jinou cestou.

Řekněme, zamyslím se...

Řekněme, že začnu s...

400 gramy uhlíku-14.

A chci zjistit, chci vypočítat

množství času, za jak dlouho budu mít

350 gramů uhlíku-14.

Můžeme tedy říct, že konečné množství

je 350 gramů.

Je to rovno počátečnímu množství,
tedy 400 gramům

krát 'e' na -'k'.

'k' je -1,2 krát 10 na -4 krát čas.

A chceme vypočítat čas.

Jak ho vyjádříme?

Můžeme vydělit
obě strany 400.

Kolik je 350 děleno 400?

350 děleno 400

je 7/8.

Takže 0,875.

Tedy 0.875 se rovná 'e' na -1,2 krát

10 na -4 krát 't'.

Zlogaritmujeme obě strany.

Dostaneme, že se
přirozený log z 0,875 rovná,

přirozený logaritmus z 'e' na 'něco'
je právě to 'něco', takže

se to rovná -1,5 krát 10 na -4 krát 't'.

Pak 't' se rovná tomuhle vydělenému
1,2 krát 10 na -4.

Takže přirozený
log 0,875 děleno -1,2

krát 10 na -4 se rovná času,
během kterého poklesne

množství látky z 400 gramů na 350.

Zvoní mi mobil, vypnu ho...

...na 350...

Teď použiji trochu matematiky

Máme číslo 0,875
a chceme jeho přirozený logaritmus.

To pak vydělíme -1,2 exp -4,

tedy krát 10 na -4.

Celé je to záporné číslo.

Já to nejdřív vydělím a potom vezmu

zápornou hodnotu.

Takže tomuhle se to rovná
a já chci zápornou hodnotu

Takže se to rovná 1112 rokům,
než se dostaneme z 400 na 350

gramů mojí látky.

Může se to zdát trochu komplikované,
ale v podstatě

jde jen o jednu věc a tou je

zapamatování si vzorečku.

Jeho odvození najdete
v předchozím videu.

Pro každý prvek můžeme zjistit
hodnotu 'k'.

Pak už jen dosadíme, co známe
a dopočítáme,

co neznáme.

V příštím videu se tomu
ještě budu věnovat.