-
Z předchozích videí už něco
víme o poločasech rozpadu.
-
Viděli jsme, že se hodí,
pokud chceme zjistit,
-
jaké množství látky nám zbude
po jednom poločasu,
-
nebo po 2 či 3 poločasech,
-
Dělíme dvěma za každý poločas.
-
Ale není to tak užitečné,
pokud chceme zjistit,
-
kolík látky zbylo
po 1/2 poločasu,
-
nebo po 1 dni nebo 10 sekundách,
nebo 10 miliardách let.
-
V předchozím videu jsem to ukázal
-
pomocí trochu
komplikovanější matematiky.
-
A pokud ještě
neznáte integrální počet,
-
tak to video můžete přeskočit.
-
Pro zvědavé - v tom videu
jsme odvodili následující vzorec
-
Pro jakýkoli bod v čase,
pokud máte
-
rozpadající se atom, nějaký prvek,
můžeme ho popsat jako
-
množství prvku v jakémkoli čase,
které je rovno
-
počátečnímu množství krát
'e' na nějakou konstantu,
-
v minulém videu jsem použil lambdu,
-
teď použiji 'k' -'k' krát 't'.
-
Pak pro určitý prvek
s daným poločasem rozpadu
-
můžeme vypočítat 'k' a dále použít
-
pro konkrétní příklad.
-
Pojďme si to ukázat, aby všechny proměnné
-
mohly být trochu konkrétnější.
-
Napišme si obecný vzorec uhlíku.
-
Uhlík-14, to je ten,
u kterého známe poločas rozpadu.
-
Víme, že uhlík-14 má poločas rozpadu 5730 let.
-
Zkusme tuhle informaci nějakým způsobem
-
použít v této rovnici.
-
Říká nám to tedy, že po 1 poločase,
-
tedy v čase 't' = 5730
-
je 'N(5730)' rovno množství na počátku.
-
Tedy začali jsme s 'N0'
-
krát 'e' na mínus, kdekoliv vidíme 't' napíšeme
-
-5730, takže -'k' krát 5730.
-
Tedy kolik let uplynulo.
-
A poločas rozpadu nám říká,
že po 5730 letech
-
nám zbývá polovina počátečního množství.
-
Takže polovina množství se již rozpadla.
-
Pokud se pokusíme vyřešit tuto rovnici,
-
co dostaneme pro 'k'?
-
Vydělíme obě strany 'N0'
-
Zbavíme se proměnné a zůstane tam jen
-
'e' na -5730 krát 'k',
jen jsem je přehodil,
-
se rovná 1/2.
-
Pokud rovnici zlogaritmujeme,
co dostaneme?
-
Dostaneme,
-
přirozený logaritmus z 'e' na 'něco'
-
je pouze to 'něco'.
-
Takže se -5730 krát 'k'
-
rovná přirozenému logaritmu z 1/2.
-
Na obou stranách rovnice jsem použil
-
přirozený logaritmus
na obou stranách.
-
Vyjádříme-li 'k', vyjde nám, že se rovná
-
přirozenému logaritmu z 1/2 děleno -5130
-
To jsme viděli v minulém videu.
-
Ale pojďme si to vypočítat i tady,
-
pro ty, co ho přeskočili.
-
Takže, pokud máme 1/2, vezmeme přirozený
logaritmus
-
a potom to vydělíme 5730 s mínusem,
dostaneme 1,2 krát
-
10 na -4.
-
Výsledek je tedy 1,2 krát 10 na -4.
-
Takže máme obecný vzorec pro uhlík-14,
pokud známe
-
jeho poločas rozpadu
-
V jakémkoli čase po začátku,
takže řekněme,
-
že tohle bude pro uhlík-14, c-14,
-
množství uhlíku-14, které zbude je rovno
-
počátečnímu množství krát 'e' na -'k',
to 'k',
-
které jsme vypočetli.
-
1,2 krát 10 na -4 krát čas, který
-
zatím uplynul.
-
Toto je náš vzorec pro uhlík-14
-
Pokud to chceme pro nějaký
jiný prvek, musíme použít
-
jeho poločas rozpadu
k vyjádření množství,
-
které budeme mít v daném čase,
-
a k výpočtu hodnoty 'k'.
-
Pojďme zkusit vyřešit tento problém
-
Řekněme, že začnu třeba s množstvím
-
300 g uhlíku, uhlíku-14.
-
A rád bych věděl, kolik mi ho zbude,
dejme tomu třeba
-
po 2000 letech?
-
Kolik budu mít?
-
Stačí jen dosadit hodnoty do vzorečku.
-
N(2000) je rovno počátečnímu množství,
-
300 gramů krát 'e' na -1,2 krát 10 na -4
-
krát 't', které je 2000.
-
Kolik to je?
-
Od minulého výpočtu
už tu mám 1,2 krát 10 na -4.
-
Takže řekněme krát 2000 se rovná,
a samozřejmě, z tohoto
-
nám vyjde záporné číslo, takže tady
-
napíšu mínus.
-
Máme tu záporné číslo.
-
A já na něj umocním 'e'
-
Výsledek je 0,241.
-
Tomu se tedy rovná N(2000).
-
Množství látky,
které budu mít po 2000 letech
-
je tedy 300 krát 'e' na -0,2419.
-
Vidíme,
že moje kalkulačka neumí umocnit 'e'
-
Takže vezmu jen 'e'.
-
Musím si pořídit lepší kalkulačku.
-
Měl bych se vrátit k té vědecké.
-
Ale napíšeme, že 'e' je řekněme 2,71
a mohl bych přidat další desetinná místa,
-
ale stačí 2,71 umocněné na -0,24
a to se rovná
-
0,78, krát počáteční množství,
tedy krát 300,
-
což vychází 236 gramů.
Zbude mi tedy 236 gramů.
-
A přesně takhle, použitím tohoto
vzorce na výpočet rozpadu
-
jsem schopný zjistit,
kolik mi zbude uhlíku
-
v jakémkoli zvoleném čase, nejen
-
v čase odpovídající poločasu.
-
Pojďme zkusit ještě jeden příklad.
-
Zkusíme jít jinou cestou.
-
Řekněme, zamyslím se...
-
Řekněme, že začnu s...
-
400 gramy uhlíku-14.
-
A chci zjistit, chci vypočítat
-
množství času, za jak dlouho budu mít
-
350 gramů uhlíku-14.
-
Můžeme tedy říct, že konečné množství
-
je 350 gramů.
-
Je to rovno počátečnímu množství,
tedy 400 gramům
-
krát 'e' na -'k'.
-
'k' je -1,2 krát 10 na -4 krát čas.
-
A chceme vypočítat čas.
-
Jak ho vyjádříme?
-
Můžeme vydělit
obě strany 400.
-
Kolik je 350 děleno 400?
-
350 děleno 400
-
je 7/8.
-
Takže 0,875.
-
Tedy 0.875 se rovná 'e' na -1,2 krát
-
10 na -4 krát 't'.
-
Zlogaritmujeme obě strany.
-
Dostaneme, že se
přirozený log z 0,875 rovná,
-
přirozený logaritmus z 'e' na 'něco'
je právě to 'něco', takže
-
se to rovná -1,5 krát 10 na -4 krát 't'.
-
Pak 't' se rovná tomuhle vydělenému
1,2 krát 10 na -4.
-
Takže přirozený
log 0,875 děleno -1,2
-
krát 10 na -4 se rovná času,
během kterého poklesne
-
množství látky z 400 gramů na 350.
-
Zvoní mi mobil, vypnu ho...
-
...na 350...
-
Teď použiji trochu matematiky
-
Máme číslo 0,875
a chceme jeho přirozený logaritmus.
-
To pak vydělíme -1,2 exp -4,
-
tedy krát 10 na -4.
-
Celé je to záporné číslo.
-
Já to nejdřív vydělím a potom vezmu
-
zápornou hodnotu.
-
Takže tomuhle se to rovná
a já chci zápornou hodnotu
-
Takže se to rovná 1112 rokům,
než se dostaneme z 400 na 350
-
gramů mojí látky.
-
Může se to zdát trochu komplikované,
ale v podstatě
-
jde jen o jednu věc a tou je
-
zapamatování si vzorečku.
-
Jeho odvození najdete
v předchozím videu.
-
Pro každý prvek můžeme zjistit
hodnotu 'k'.
-
Pak už jen dosadíme, co známe
a dopočítáme,
-
co neznáme.
-
V příštím videu se tomu
ještě budu věnovat.
Daniel Hollas
Prvních 12 revizí je slovensky, přesunuto do slovenského jazyka.