< Return to Video

Výpočet poločasu rozpadu (úvod)

  • 0:01 - 0:03
    Z předchozích videí už něco
    víme o poločasech rozpadu.
  • 0:03 - 0:06
    Viděli jsme, že se hodí,
    pokud chceme zjistit,
  • 0:06 - 0:09
    jaké množství látky nám zbude
    po jednom poločasu,
  • 0:09 - 0:11
    nebo po 2 či 3 poločasech,
  • 0:11 - 0:13
    Dělíme dvěma za každý poločas.
  • 0:13 - 0:16
    Ale není to tak užitečné,
    pokud chceme zjistit,
  • 0:16 - 0:21
    kolík látky zbylo
    po 1/2 poločasu,
  • 0:21 - 0:25
    nebo po 1 dni nebo 10 sekundách,
    nebo 10 miliardách let.
  • 0:25 - 0:28
    V předchozím videu jsem to ukázal
  • 0:28 - 0:31
    pomocí trochu
    komplikovanější matematiky.
  • 0:31 - 0:33
    A pokud ještě
    neznáte integrální počet,
  • 0:33 - 0:36
    tak to video můžete přeskočit.
  • 0:36 - 0:39
    Pro zvědavé - v tom videu
    jsme odvodili následující vzorec
  • 0:39 - 0:41
    Pro jakýkoli bod v čase,
    pokud máte
  • 0:41 - 0:46
    rozpadající se atom, nějaký prvek,
    můžeme ho popsat jako
  • 0:46 - 0:49
    množství prvku v jakémkoli čase,
    které je rovno
  • 0:49 - 0:53
    počátečnímu množství krát
    'e' na nějakou konstantu,
  • 0:53 - 0:55
    v minulém videu jsem použil lambdu,
  • 0:55 - 0:59
    teď použiji 'k' -'k' krát 't'.
  • 0:59 - 1:02
    Pak pro určitý prvek
    s daným poločasem rozpadu
  • 1:02 - 1:05
    můžeme vypočítat 'k' a dále použít
  • 1:05 - 1:06
    pro konkrétní příklad.
  • 1:06 - 1:09
    Pojďme si to ukázat, aby všechny proměnné
  • 1:09 - 1:12
    mohly být trochu konkrétnější.
  • 1:12 - 1:15
    Napišme si obecný vzorec uhlíku.
  • 1:15 - 1:18
    Uhlík-14, to je ten,
    u kterého známe poločas rozpadu.
  • 1:18 - 1:25
    Víme, že uhlík-14 má poločas rozpadu 5730 let.
  • 1:25 - 1:28
    Zkusme tuhle informaci nějakým způsobem
  • 1:28 - 1:31
    použít v této rovnici.
  • 1:31 - 1:36
    Říká nám to tedy, že po 1 poločase,
  • 1:36 - 1:39
    tedy v čase 't' = 5730
  • 1:39 - 1:46
    je 'N(5730)' rovno množství na počátku.
  • 1:46 - 1:50
    Tedy začali jsme s 'N0'
  • 1:50 - 1:54
    krát 'e' na mínus, kdekoliv vidíme 't' napíšeme
  • 1:54 - 2:01
    -5730, takže -'k' krát 5730.
  • 2:01 - 2:03
    Tedy kolik let uplynulo.
  • 2:03 - 2:07
    A poločas rozpadu nám říká,
    že po 5730 letech
  • 2:07 - 2:09
    nám zbývá polovina počátečního množství.
  • 2:09 - 2:12
    Takže polovina množství se již rozpadla.
  • 2:12 - 2:15
    Pokud se pokusíme vyřešit tuto rovnici,
  • 2:15 - 2:16
    co dostaneme pro 'k'?
  • 2:16 - 2:18
    Vydělíme obě strany 'N0'
  • 2:18 - 2:21
    Zbavíme se proměnné a zůstane tam jen
  • 2:21 - 2:28
    'e' na -5730 krát 'k',
    jen jsem je přehodil,
  • 2:28 - 2:29
    se rovná 1/2.
  • 2:29 - 2:33
    Pokud rovnici zlogaritmujeme,
    co dostaneme?
  • 2:33 - 2:35
    Dostaneme,
  • 2:35 - 2:38
    přirozený logaritmus z 'e' na 'něco'
  • 2:38 - 2:40
    je pouze to 'něco'.
  • 2:40 - 2:46
    Takže se -5730 krát 'k'
  • 2:46 - 2:49
    rovná přirozenému logaritmu z 1/2.
  • 2:49 - 2:51
    Na obou stranách rovnice jsem použil
  • 2:51 - 2:56
    přirozený logaritmus
    na obou stranách.
  • 2:56 - 3:01
    Vyjádříme-li 'k', vyjde nám, že se rovná
  • 3:01 - 3:08
    přirozenému logaritmu z 1/2 děleno -5130
  • 3:08 - 3:09
    To jsme viděli v minulém videu.
  • 3:09 - 3:13
    Ale pojďme si to vypočítat i tady,
  • 3:13 - 3:16
    pro ty, co ho přeskočili.
  • 3:16 - 3:21
    Takže, pokud máme 1/2, vezmeme přirozený
    logaritmus
  • 3:21 - 3:30
    a potom to vydělíme 5730 s mínusem,
    dostaneme 1,2 krát
  • 3:30 - 3:33
    10 na -4.
  • 3:33 - 3:39
    Výsledek je tedy 1,2 krát 10 na -4.
  • 3:39 - 3:42
    Takže máme obecný vzorec pro uhlík-14,
    pokud známe
  • 3:42 - 3:43
    jeho poločas rozpadu
  • 3:43 - 3:48
    V jakémkoli čase po začátku,
    takže řekněme,
  • 3:48 - 3:53
    že tohle bude pro uhlík-14, c-14,
  • 3:53 - 3:56
    množství uhlíku-14, které zbude je rovno
  • 3:56 - 4:01
    počátečnímu množství krát 'e' na -'k',
    to 'k',
  • 4:01 - 4:02
    které jsme vypočetli.
  • 4:02 - 4:07
    1,2 krát 10 na -4 krát čas, který
  • 4:07 - 4:08
    zatím uplynul.
  • 4:08 - 4:12
    Toto je náš vzorec pro uhlík-14
  • 4:12 - 4:14
    Pokud to chceme pro nějaký
    jiný prvek, musíme použít
  • 4:14 - 4:17
    jeho poločas rozpadu
    k vyjádření množství,
  • 4:17 - 4:19
    které budeme mít v daném čase,
  • 4:19 - 4:20
    a k výpočtu hodnoty 'k'.
  • 4:20 - 4:22
    Pojďme zkusit vyřešit tento problém
  • 4:22 - 4:27
    Řekněme, že začnu třeba s množstvím
  • 4:27 - 4:35
    300 g uhlíku, uhlíku-14.
  • 4:35 - 4:39
    A rád bych věděl, kolik mi ho zbude,
    dejme tomu třeba
  • 4:39 - 4:43
    po 2000 letech?
  • 4:43 - 4:45
    Kolik budu mít?
  • 4:45 - 4:47
    Stačí jen dosadit hodnoty do vzorečku.
  • 4:47 - 4:55
    N(2000) je rovno počátečnímu množství,
  • 4:55 - 5:04
    300 gramů krát 'e' na -1,2 krát 10 na -4
  • 5:04 - 5:08
    krát 't', které je 2000.
  • 5:08 - 5:10
    Kolik to je?
  • 5:10 - 5:13
    Od minulého výpočtu
    už tu mám 1,2 krát 10 na -4.
  • 5:13 - 5:19
    Takže řekněme krát 2000 se rovná,
    a samozřejmě, z tohoto
  • 5:19 - 5:21
    nám vyjde záporné číslo, takže tady
  • 5:21 - 5:22
    napíšu mínus.
  • 5:22 - 5:23
    Máme tu záporné číslo.
  • 5:23 - 5:25
    A já na něj umocním 'e'
  • 5:25 - 5:27
    Výsledek je 0,241.
  • 5:27 - 5:31
    Tomu se tedy rovná N(2000).
  • 5:31 - 5:34
    Množství látky,
    které budu mít po 2000 letech
  • 5:34 - 5:43
    je tedy 300 krát 'e' na -0,2419.
  • 5:43 - 5:48
    Vidíme,
    že moje kalkulačka neumí umocnit 'e'
  • 5:48 - 5:51
    Takže vezmu jen 'e'.
  • 5:51 - 5:52
    Musím si pořídit lepší kalkulačku.
  • 5:52 - 5:54
    Měl bych se vrátit k té vědecké.
  • 5:54 - 5:58
    Ale napíšeme, že 'e' je řekněme 2,71
    a mohl bych přidat další desetinná místa,
  • 5:58 - 6:05
    ale stačí 2,71 umocněné na -0,24
    a to se rovná
  • 6:05 - 6:14
    0,78, krát počáteční množství,
    tedy krát 300,
  • 6:14 - 6:22
    což vychází 236 gramů.
    Zbude mi tedy 236 gramů.
  • 6:22 - 6:24
    A přesně takhle, použitím tohoto
    vzorce na výpočet rozpadu
  • 6:24 - 6:28
    jsem schopný zjistit,
    kolik mi zbude uhlíku
  • 6:28 - 6:31
    v jakémkoli zvoleném čase, nejen
  • 6:31 - 6:33
    v čase odpovídající poločasu.
  • 6:33 - 6:35
    Pojďme zkusit ještě jeden příklad.
  • 6:35 - 6:36
    Zkusíme jít jinou cestou.
  • 6:36 - 6:39
    Řekněme, zamyslím se...
  • 6:39 - 6:45
    Řekněme, že začnu s...
  • 6:45 - 6:49
    400 gramy uhlíku-14.
  • 6:49 - 6:53
    A chci zjistit, chci vypočítat
  • 6:53 - 6:56
    množství času, za jak dlouho budu mít
  • 6:56 - 7:00
    350 gramů uhlíku-14.
  • 7:00 - 7:02
    Můžeme tedy říct, že konečné množství
  • 7:02 - 7:04
    je 350 gramů.
  • 7:04 - 7:08
    Je to rovno počátečnímu množství,
    tedy 400 gramům
  • 7:08 - 7:11
    krát 'e' na -'k'.
  • 7:11 - 7:15
    'k' je -1,2 krát 10 na -4 krát čas.
  • 7:15 - 7:18
    A chceme vypočítat čas.
  • 7:18 - 7:20
    Jak ho vyjádříme?
  • 7:20 - 7:23
    Můžeme vydělit
    obě strany 400.
  • 7:23 - 7:25
    Kolik je 350 děleno 400?
  • 7:25 - 7:27
    350 děleno 400
  • 7:27 - 7:30
    je 7/8.
  • 7:30 - 7:32
    Takže 0,875.
  • 7:32 - 7:38
    Tedy 0.875 se rovná 'e' na -1,2 krát
  • 7:38 - 7:40
    10 na -4 krát 't'.
  • 7:40 - 7:43
    Zlogaritmujeme obě strany.
  • 7:43 - 7:46
    Dostaneme, že se
    přirozený log z 0,875 rovná,
  • 7:46 - 7:49
    přirozený logaritmus z 'e' na 'něco'
    je právě to 'něco', takže
  • 7:49 - 7:55
    se to rovná -1,5 krát 10 na -4 krát 't'.
  • 7:55 - 8:01
    Pak 't' se rovná tomuhle vydělenému
    1,2 krát 10 na -4.
  • 8:01 - 8:07
    Takže přirozený
    log 0,875 děleno -1,2
  • 8:07 - 8:10
    krát 10 na -4 se rovná času,
    během kterého poklesne
  • 8:10 - 8:15
    množství látky z 400 gramů na 350.
  • 8:15 - 8:17
    Zvoní mi mobil, vypnu ho...
  • 8:17 - 8:20
    ...na 350...
  • 8:20 - 8:22
    Teď použiji trochu matematiky
  • 8:22 - 8:29
    Máme číslo 0,875
    a chceme jeho přirozený logaritmus.
  • 8:29 - 8:37
    To pak vydělíme -1,2 exp -4,
  • 8:37 - 8:38
    tedy krát 10 na -4.
  • 8:38 - 8:41
    Celé je to záporné číslo.
  • 8:41 - 8:43
    Já to nejdřív vydělím a potom vezmu
  • 8:43 - 8:44
    zápornou hodnotu.
  • 8:44 - 8:47
    Takže tomuhle se to rovná
    a já chci zápornou hodnotu
  • 8:47 - 8:55
    Takže se to rovná 1112 rokům,
    než se dostaneme z 400 na 350
  • 8:55 - 8:57
    gramů mojí látky.
  • 8:57 - 9:01
    Může se to zdát trochu komplikované,
    ale v podstatě
  • 9:01 - 9:03
    jde jen o jednu věc a tou je
  • 9:03 - 9:05
    zapamatování si vzorečku.
  • 9:05 - 9:07
    Jeho odvození najdete
    v předchozím videu.
  • 9:07 - 9:12
    Pro každý prvek můžeme zjistit
    hodnotu 'k'.
  • 9:12 - 9:15
    Pak už jen dosadíme, co známe
    a dopočítáme,
  • 9:15 - 9:16
    co neznáme.
  • 9:16 - 9:19
    V příštím videu se tomu
    ještě budu věnovat.
Title:
Výpočet poločasu rozpadu (úvod)
Description:

Úvod do výpočtu polčasu rozpadu prvku

more » « less
Video Language:
English
Duration:
09:19
  • Prvních 12 revizí je slovensky, přesunuto do slovenského jazyka.

Czech subtitles

Revisions