< Return to Video

CA 代數學 I: 二次方程

  • 0:01 - 0:02
    我們現在在第53題。
  • 0:02 - 0:05
    Toni 正在用配方法來解這個方程，
  • 0:05 - 0:08
    ax方加上bx加上c等於0，
  • 0:08 - 0:09
    並且a大於0
  • 0:09 - 0:12
    這是個比較傳統的二次方程。
  • 0:12 - 0:14
    我們來看看他都做了什麽。
  • 0:14 - 0:18
    首先，他從雙側同時減去c，得到
  • 0:18 - 0:21
    ax方加上bx等於負c
  • 0:21 - 0:23
    挺公平的。
  • 0:23 - 0:23
    接著，
  • 0:23 - 0:26
    他將雙側同時除以a。
  • 0:26 - 0:28
    也很公平。
  • 0:28 - 0:29
    他得到負a分之c
  • 0:29 - 0:31
    哪步應該是這個解的第三步？
  • 0:31 - 0:32
    他在用配方法，
  • 0:32 - 0:37
    所以他希望這裡是個完全平方。
  • 0:37 - 0:40
    我們來看看他該怎麽做。
  • 0:40 - 0:47
    我們當前有x方加上a分之bx -- 我將在這裡留
  • 0:47 - 0:52
    一些空間 -- 等於負a分之c。
  • 0:52 - 0:54
    那麽如果要完全平方，我們得在這裡
  • 0:54 - 0:57
    加點什麽，加一個數。
  • 0:57 - 1:00
    我們在前幾個影片裏我們
  • 1:00 - 1:01
    差不多證明了 --
  • 1:01 - 1:04
    事實上，我有幾個專門講
  • 1:04 - 1:05
    配方法的影片。
  • 1:05 - 1:08
    你實質上只需要加這個數
  • 1:08 - 1:10
    的一半的平方。
  • 1:10 - 1:12
    如果你不太明白，看幾個Khan Academy裏
  • 1:12 - 1:14
    配方法的影片
  • 1:14 - 1:16
    但是，a分之b的一半是多少？
  • 1:16 - 1:18
    當然是2a分之b。
  • 1:20 - 1:27
    所以2分之1乘以a分之b等於2a分之b。
  • 1:27 - 1:28
    接著，我們要求這個數的平方。
  • 1:28 - 1:30
    將得數同時加到雙側。
  • 1:30 - 1:37
    所以我們有x方加上a分之bx，
  • 1:37 - 1:39
    然後我們得加這個數的平方，
  • 1:39 - 1:48
    加2a分之b方等於負a分之c。
  • 1:48 - 1:50
    任何數你加到一側，你也得
  • 1:50 - 1:51
    加到另一側。
  • 1:51 - 1:52
    所以我們得吧它加到雙側。
  • 1:52 - 1:57
    加2a分之b方。
  • 1:57 - 2:00
    看下我們到底把這個題目
  • 2:00 - 2:01
    接了嗎。
  • 2:01 - 2:03
    對了，
  • 2:03 - 2:06
    這剛好是我們的解法。x方加上a分之b加上
  • 2:06 - 2:08
    2a分之b方，當然同時加到另一側。
  • 2:08 - 2:10
    所以D就是正確答案。
  • 2:10 - 2:11
    如果你覺得這有點混亂，或者不是
  • 2:11 - 2:12
    很直觀，我不希望你
  • 2:12 - 2:13
    記下來這些步驟，
  • 2:13 - 2:18
    就去看看Khan Academy配方法的影片。
  • 2:18 - 2:20
    下一個問題，56。
  • 2:20 - 2:22
    不是，54。
  • 2:22 - 2:25
    好，這是另一個需要剪切粘貼的。
  • 2:30 - 2:32
    好了，用來獲得二次公式的四個步驟
  • 2:32 - 2:33
    如下所示。
  • 2:33 - 2:36
    我在以前的影片中說你可以通過配方法
  • 2:36 - 2:38
    來得到二次公式。
  • 2:38 - 2:39
    並且我們在另一個影片裏講解了。
  • 2:39 - 2:41
    我不想插太多別的影片。
  • 2:41 - 2:42
    但讓我們看看該做什麽。
  • 2:42 - 2:45
    這些步驟的正確順序是什麽？
  • 2:45 - 2:48
    所以你開頭第一件事是
  • 2:48 - 2:49
    二次方程。
  • 2:49 - 2:53
    所以這個是第一步。
  • 2:53 - 2:57
    這是在我們上一題的第一步。
  • 2:57 - 3:00
    然後你得把這個數的一半的平方加到
  • 3:00 - 3:01
    雙側。
  • 3:01 - 3:05
    所以你得把2a分之b方加到雙側，
  • 3:05 - 3:06
    同時也是他們這裡的步驟。
  • 3:06 - 3:08
    所以我們的順序是I，
  • 3:08 - 3:10
    然後是IV。
  • 3:10 - 3:14
    這就是我們上一題做的。
  • 3:14 - 3:16
    我們做的IV。
  • 3:16 - 3:19
    然後從這裡開始，你就知道右邊的表達式
  • 3:19 - 3:24
    是等於X加上b除以2a的和平方
  • 3:24 - 3:25
    然後再一次，很快能發現，配出來的平方
  • 3:25 - 3:27
    看起來沒有意義
  • 3:27 - 3:29
    但是你要添加這個數的真正理由是爲了讓你
  • 3:29 - 3:32
    知道這個，OK，這兩個數，當我把它們乘起來
  • 3:32 - 3:35
    等於b除以2a的平方，然後當我加上b/a？
  • 3:35 - 3:37
    好的，這明顯是b除以2a
  • 3:37 - 3:39
    如果你加兩次的話，你會得到b除以a
  • 3:39 - 3:41
    如果你平方，你會得到整個表達式
  • 3:41 - 3:45
    所以說，啊，這就是X加上b除以2a的和的平方，而你
  • 3:45 - 3:46
    得到這個
  • 3:46 - 3:49
    接著，這個是等於，接著，這個正是
  • 3:49 - 3:50
    簡化成這個分數
  • 3:50 - 3:52
    它們發現了一個共同的分母，接下來所有都解決了
  • 3:52 - 3:54
    所以接下來的步驟是步驟II
  • 3:54 - 3:56
    然後你所剩下的只有步驟III
  • 3:56 - 3:59
    這樣你就完美取得了方程式的等式
  • 3:59 - 4:00
    所以是I,IV,II,III
  • 4:03 - 4:05
    選擇A答案
  • 4:07 - 4:11
    第55個問題
  • 4:11 - 4:14
    哪一個是答案--OK，我將會把所有
  • 4:14 - 4:16
    的選擇弄下來
  • 4:19 - 4:21
    那麽哪一個是這個等式的解呢？
  • 4:21 - 4:23
    當你看到所有選項的時候，你立刻就會發現，它們
  • 4:23 - 4:24
    有著平方根
  • 4:24 - 4:25
    這個不是你應該考慮的因素
  • 4:25 - 4:27
    你將會在這裡運用二次方程式
  • 4:27 - 4:28
    所以讓我們這樣做
  • 4:28 - 4:35
    這個二次方程式是，如果它是A乘以X的平方加上
  • 4:35 - 4:37
    Bx加上C等於0
  • 4:37 - 4:40
    這個二次方程式是減去b
  • 4:40 - 4:41
    好的，它們是小寫
  • 4:41 - 4:47
    加或者減去 b的平方減去4ac的平方根，總的結果
  • 4:47 - 4:48
    再除以2a
  • 4:48 - 4:51
    這僅僅是從完成配方法的式子得到
  • 4:51 - 4:53
    但我們會在另外一個影片那麽做
  • 4:53 - 4:55
    然後我們把元素替代進去
  • 4:55 - 4:56
    b是什麽？
  • 4:56 - 4:58
    b是-1，對不對？
  • 4:58 - 5:02
    所以減去-1，就成了+1
  • 5:02 - 5:05
    加上或者減去平方根，裏面是b的平方
  • 5:05 - 5:08
    -1的平方是1
  • 5:08 - 5:12
    減去4倍的a
  • 5:12 - 5:14
    a是2
  • 5:14 - 5:15
    乘以2
  • 5:15 - 5:16
    乘以c
  • 5:16 - 5:18
    c是-4
  • 5:18 - 5:22
    所以乘以-4
  • 5:22 - 5:24
    得到的總結果除以2a
  • 5:24 - 5:26
    a是2，所以2乘以a是4
  • 5:26 - 5:32
    所以變成了1加上或減去這個平方根
  • 5:32 - 5:33
    所以我們有了1
  • 5:33 - 5:36
    然後我們得到了-4乘以2乘以-4
  • 5:36 - 5:40
    這相當於加上4乘以2乘以4
  • 5:40 - 5:41
    讓我們把減號去掉
  • 5:41 - 5:42
    所以變成了加法
  • 5:42 - 5:45
    這裡是沒有減號的
  • 5:45 - 5:48
    讓我們看看，4乘以2是8
  • 5:48 - 5:49
    再乘以4是32
  • 5:49 - 5:52
    加上1是33
  • 5:52 - 5:54
    再除以4
  • 5:54 - 5:56
    看，我們還沒找到相同的
  • 5:56 - 5:59
    好吧，它們會說，哪一個是這個等式的解
  • 5:59 - 6:00
    所以讓我們來看
  • 6:00 - 6:03
    如果我們想簡化這個解--好的，
  • 6:03 - 6:05
    這裡有一個相同的
  • 6:05 - 6:07
    因爲我們有1加上或者減去33的平方根
  • 6:07 - 6:08
    再除以4
  • 6:08 - 6:09
    而它們只寫了其中的一個
  • 6:09 - 6:11
    它們只寫了那個加法的
  • 6:11 - 6:13
    所以C是其中一個解
  • 6:13 - 6:15
    如果你這裡有個減號，另外一個解也會存在
  • 6:15 - 6:18
    就這樣，下一個問題
  • 6:18 - 6:25
    --
  • 6:25 - 6:27
    那是我需要複製和黏貼的另外一個問題
  • 6:30 - 6:33
    它問，哪個描述是最好的解釋，關於爲什麽
  • 6:33 - 6:36
    這個二次方程式沒有真根
  • 6:36 - 6:40
    OK，我已經有一個猜想，知道爲什麽
  • 6:40 - 6:41
    它沒有一個解
  • 6:41 - 6:44
    但通常--好的，讓我們來嘗試解二次方程式
  • 6:44 - 6:45
    在開始審視這個問題前，
  • 6:45 - 6:45
    讓我們用直覺來分析一下
  • 6:45 - 6:49
    這是一個-b加上或者減去那個平方根，裏面是b的
  • 6:49 - 6:56
    平方減去4ac，得到的結果再除以2a
  • 6:56 - 6:59
    我給你的問題是，什麽時候這個是沒有意義的呢？
  • 6:59 - 7:02
    你知道，任何b和任何的2a都有意義
  • 7:02 - 7:05
    但是什麽時候這個平方根符號真的沒有意義，
  • 7:05 - 7:07
    至少是當我們處理實數的時候，
  • 7:07 - 7:08
    這是一個提示嗎？
  • 7:08 - 7:12
    好的，當你有一個負數在這裡面的時候，它就沒有意義了
  • 7:12 - 7:14
    如果你最好得到的是一個負數在平方根的裏面
  • 7:14 - 7:16
    至少在我們還沒有學到虛數之前，
  • 7:16 - 7:18
    你是不知道怎麽做的
  • 7:18 - 7:20
    這個二次方程式沒有實數解
  • 7:20 - 7:25
    所以如果b的平方減去4ac是少於
  • 7:25 - 7:27
    0的話，你就有麻煩了
  • 7:27 - 7:29
    這是沒有實數解的
  • 7:29 - 7:30
    你不能處理一個負數的平方根，
  • 7:30 - 7:32
    你是在實數範圍內的話
  • 7:32 - 7:35
    所以我們可能找到了問題所在
  • 7:35 - 7:37
    然後讓我們看看b的平方減去4ac是什麽
  • 7:37 - 7:38
    你可以得到b是1
  • 7:38 - 7:44
    所以1減去4乘以a
  • 7:44 - 7:46
    a是2
  • 7:46 - 7:49
    2乘以c，c是7
  • 7:49 - 7:52
    所以可以肯定，1減去4乘以2乘以7
  • 7:52 - 7:53
    是少於0的
  • 7:53 - 7:56
    所以讓我們看看選項是怎麽說的
  • 7:56 - 7:58
    好的，1平方……啊，這個是對的。
  • 7:58 - 7:59
    這是b的平方
  • 7:59 - 8:01
    好的，1的平方，等於1
  • 8:01 - 8:03
    1的平方減去4乘以2乘以7
  • 8:03 - 8:04
    能夠肯定是負數
  • 8:04 - 8:06
    這就是爲什麽我們找不到一個
  • 8:06 - 8:09
    實數解給這個等式
  • 8:09 - 8:10
    下一個問題
  • 8:10 - 8:11
    我要退出這個空間
  • 8:16 - 8:17
    OK，它們想知道那個二次方程式
  • 8:17 - 8:18
    的解
  • 8:18 - 8:20
    我需要複製和黏貼
  • 8:23 - 8:25
    所以這個需要設定X的值來
  • 8:25 - 8:28
    滿足這個等式
  • 8:28 - 8:30
    很明顯，對於你給予的任何的X的值，這個左邊
  • 8:30 - 8:32
    的值都等於0
  • 8:32 - 8:33
    那麽什麽樣的X是合適的呢？
  • 8:33 - 8:35
    它們僅僅是想我們應用二次方程式
  • 8:35 - 8:38
    雖然我們已經寫了很多次，不過還是讓我們
  • 8:38 - 8:38
    直接寫下來吧
  • 8:38 - 8:40
    這是-b
  • 8:40 - 8:41
    b是2
  • 8:41 - 8:44
    這就是-2加上或者減去
  • 8:44 - 8:46
    平方根，b的平方
  • 8:46 - 8:48
    是2的平方
  • 8:48 - 8:52
    減去4乘以a
  • 8:52 - 8:53
    a是8
  • 8:53 - 8:56
    乘以c，c是1
  • 8:56 - 8:59
    得到的總結果除以2乘以a的積
  • 8:59 - 9:04
    也就是2乘以8，然後等於-2加上或者減去
  • 9:04 - 9:11
    4的平方根--讓我們來看下
  • 9:11 - 9:13
    我是不是應該寫下來
  • 9:13 - 9:21
    -b加上或減去平方根，裏面是b的平方減去
  • 9:21 - 9:24
    4乘以a乘以c
  • 9:24 - 9:24
    好的
  • 9:24 - 9:29
    所以你得到4減去32
  • 9:29 - 9:31
    這就是爲什麽我再三檢查，以確定我這樣做是否正確
  • 9:31 - 9:32
    因爲我將會在這裡得到一個負數
  • 9:32 - 9:35
    總的結果除以16
  • 9:35 - 9:37
    然後我們在最後得到一個難解的謎題
  • 9:37 - 9:39
    4-32，我們將要用到-2加上
  • 9:39 - 9:44
    或減去-28的平方根，再除以16
  • 9:44 - 9:46
    如果我們是在實數範圍內求解，我說過
  • 9:46 - 9:47
    這個是沒有實數解的
  • 9:47 - 9:48
    所以一開始我就擔心這一點
  • 9:48 - 9:50
    我認爲我犯了一個粗心的錯誤，或者這個問題本身
  • 9:50 - 9:50
    有錯誤
  • 9:50 - 9:52
    但是我看一下選項
  • 9:52 - 9:53
    它們是選項D
  • 9:53 - 9:56
    我要把選項D複製和黏貼在這裡
  • 9:56 - 9:57
    選項D
  • 9:57 - 9:58
    沒有實數解
  • 9:58 - 10:01
    這個就是答案，因爲你不能得到一個
  • 10:01 - 10:06
    負數的平方根，在一個實數的集合裏面
  • 10:06 - 10:08
    讓我們看下，我是否還有時間來看另一個問題
  • 10:08 - 10:10
    我已經超過10分鍾了
  • 10:10 - 10:11
    我期待著下一個影片
  • 10:11 - 10:13
    再見
  • Not Synced
    --
  • Not Synced
    --
  • Not Synced
    --
  • Not Synced
    --
  • Not Synced
    --
  • Not Synced
    --
  • Not Synced
    --
  • Not Synced
    --
  • Not Synced
    對吧？
  • Not Synced
    開始
Title:
CA 代數學 I: 二次方程
Description:

53-57, 二次方程
more » « less
Video Language:
English
Duration:
10:14

Chinese, Traditional subtitles

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.