CA Algebra I: Equação Quadrática

53-57, Equação Quadrática

Estamos no problema 53.

Ele diz que Toni está resolvendo esta equação completando

o quadrado. ax ao quadrado mais bx mais c é igual a 0, onde

a é maior do que 0.

Então essa é uma quadrática tradicional.

E vejamos o que eles fizeram.

Primeiro, subtraíram c de ambos os lados e o resultado foi ax ao quadrado

mais bx é igual a menos c.

Ok, tudo bem.

E então vejamos.

Ele dividiu ambos os lados por a.

Ok, bacana.

Ele chegou a menos c sobre a.

Qual etapa deveria ser o Passo 3 na solução?

Então ele está completando o quadrado.

Então, essencialmente, ele quer que isso aqui se torne um quadrado perfeito.

Então vejamos como podemos fazer isso.

Então temos x ao quadrado mais b/a x -- e vou deixar um

espacinho aqui -- é igual a menos c sobre a.

Então para que isso vire um quadrado perfeito temos que adicionar

algo aqui, temos que somar um número.

E aprendemos de vários vídeos no passado e meio que

pseudo-provamos isso.

E na verdade, tenho vários vídeos onde simplesmente

completei o quadrado.

Basicamente você tem que somar qualquer número que seja,

somar metade dele ao quadrado.

E se isso não fizer sentido pra você, assista ao vídeo da Khan Academy

sobre completar o quadrado.

Mas o que é metade de b sobre a ?

Bom, é b sobre 2a.

Então metade de b sobre a é igual a b sobre 2a.

E então, queremos somar isso ao quadrado.

Então vamos somar isso aos dois lados da equação.

Então ficamos com x ao quadrado mais b/a x.

E queremos somar isso ao quadrado.

Mais b sobre 2a ao quadrado é igual a menos c sobre a.

Tudo o que você some a um lado da equação você precisa

somar ao outro também.

Então temos que somar isso aos dois lados.

Mais b sobre 2a ao quadrado.

E veremos se solucionamos o problema até

aqui, para o que foi pedido.

X, b sobre 2 -- certo.

É exatamente o que fizemos. x ao quadrado mais b/a mais b sobre

2a ao quadrado, e eles somaram isso a ambos os lados.

Então D é a resposta certa.

Agora, se você achou isso um pouco confuso ou se não foi

intuitivo para você chegar até aqui, não quero que

você memorize os passos.

Assista ao vídeo da Khan Academy sobre completar o quadrado.

Próximo problema, 56.

Não, 54.

Beleza, esse é outro que deve ser recortado e colado.

Tranquilo, quatro passos para derivar a fórmula quadrática

são demonstrados abaixo.

Eu disse em vídeos anteriores que você pode derivar a fórmula

quadrática completando o quadrado.

E nós realmente fizemos isso em outro vídeo.

Não quero dar muita atenção para outros vídeos,

mas vejamos o que eles querem.

Qual a ordem correta desses passos?

Então a primeira coisa que você quer pra começar é uma

equação quadrática.

E esse é o primeiro passo.

Aqui é onde começamos no último problema.

Então você quer somar metade disso ao quadrado

a ambos os lados.

Então b sobre 2a ao quadrado é o que você quer somar aos dois lados, e

é isso que eles fizeram aqui.

Então nossa ordem é I.

E agora você quer fazer o IV.

É o que fizemos no último problema.

Fizemos o IV.

E daqui, você sabe que essa expressão

aqui será igual a x mais b sobre 2a ao quadrado.

E mais uma vez, veja o vídeo completando o quadrado

se isso não fez sentido.

Mas a real razão pela qual você somou isso aqui é para que

soubesse que, ok, quais dois números, quando eu os multiplico

dão b sobre 2a ao quadrado, e quando eu os somo o resultado é igual a b sobre a?

Bom, isso é óbvio, b sobre 2a.

Se você somar isso duas vezes vai chegar a b sobre a.

Se você elevar ao quadrado, vai chegar à expressão inteira.

Então você diz, oh, isso é só x mais b sobre 2a ao quadrado e você

chega a isso aqui.

E então, é igual a - e então eles

simplificam a fração.

Acharam um denominador comum e tudo.

Então o próximo passo é o Passo II.

E então tudo o que resta é o Passo III.

E você quase que derivou a equação quadrátiva.

Então, I, IV, II, III.

Alternativa A.

Problema 55.

Qual das soluções - ok, vou colocar todas

as escolhas abaixo.

Então qual é uma das soluções da equação?

Então imediatamente quando você vê todas as escolhas, elas

têm essas raízes e tudo mais.

Não é algo que você poderia fatorar.

Você usaria uma quadrática aqui.

Então façamos isso.

Então a equação quadrática é, então se Ax ao quadrado mais

Bx mais C for igual a 0.

A equação quadrática é menos b.

Bem, eles usam minúsculas.

Mais ou menos a raiz quadrada de b ao quadrado menos 4ac, tudo

isso sobre 2a.

E isso é derivado de completar o quadrado,

mas veremos isso em outro vídeo.

Então vamos substituir.

O que é b?

b é menos 1, certo?

Então menos menos 1, isso é 1 positivo.

Mais ou menos a raiz quadrada de b ao quadrado.

Menos 1 ao quadrado é 1.

Menos 4 vezes a.

a é 2.

Vezes 2.

Vezes c.

c é menos 4.

Então vezes -4.

Tudo isso sobre 2a.

a é 2, então 2 vezes a é 4.

Então isso fica 1 mais ou menos a raiz quadrada.

Então temos 1.

Então temos menos 4 vezes 2 vezes menos 4.

É o mesmo que quatro vezes 2 vezes 4.

Então vamos cortar esse menos.

Então é mais.

Não tem menos aqui.

Então vejamos, 4 vezes 2 é 8.

Vezes 4 é 32.

Mais 1 é 33.

Tudo isso sobre 4.

Vejamos, não terminamos ainda.

Qual é uma das soluções para a equação?

Vejamos.

Se quisermos simplificar isto,

Ah, já está aqui!

Porque temos 1 mais ou menos a raiz quadrada

de 33 sobre 4.

Eles só escreveram um deles.

Só escreveram a soma.

Então C é uma das soluções.

A outra teria sido se tivessemos aqui um sinal menos.

Enfim, vamos ao próximo problema.

56.

Este é outro em que preciso copiar e colar.

Aqui diz, qual das afirmações explica melhor a razão de não haver

uma solução para a equação quadrática?

Ok, então eu tenho um palpite do porquê esta

não terá solução.

Mas em geral -- bem, vamos tentar a equação quadrática.

Antes mesmo de analisar o problema,

vamos usar a intuição.

É b negativo mais ou menos a raiz quadrada de b

menos 4ac, tudo isso sobre 2a.

Pergunto a você: quando isso não faz sentido?

Você sabe, isso fará sentido para qualquer b, qualquer 2a.

Mas quando a raiz quadrada não faz sentido,

pelo menos quando tratamos de números reais,

e isto é uma dica?

Então, é quando temos um número negativo aqui.

Se você acaba com um número negativo sob a raiz quadrada,

pelo menos enquanto não aprendermos números imaginários,

você não sabe o que fazer.

Não há solução real para a equação quadrática.

Então se b ao quadrado menos 4ac é menor que

0, então você tem um problema.

Não há solução real.

Você não pode calcular a raiz quadrada de um número negativo se está

trabalhando com números reais

Então provavelmente será o problema aqui.

Então vamos ver o que é b ao quadrado menos 4ac.

Você tem b igual a 1.

Então 1 menos 4 vezes a.

a vale 2

2 vezes c é 7

E com certeza, 1 vezes 4 vezes 2 vezes 7 será

menor que zero.

Então vejamos o que tem aqui.

Certo, o valor de 1 ao quadrado -- certo.

É b ao quadrado.

Bem 1 ao quadrado é o mesmo que 1.

1 ao quadrado menos 4 vezes 2 vezes 7,

com certeza é negativo.

Então está ai o porque não temos uma

solução real para a equação.

Próximo problema.

Estou realmente sem espaço.

OK, eles querem saber a conjunto solução

dessa equação quadrática.

Deixe-me copiar e colar

Então essa é essencialmente o conjunto de x que

satisfaz a equação.

E é óbvio, para qualquer valor de x que colocarmos, o lado

esquerdo será igual a zero.

Então qual x's são válidos?

E eles apenas querem que apliquemos a equação quadrática.

Então nós a escrevemos várias vezes, então vamos fazê-la

prontamente.

Então é b negativo.

b é 2.

Então é -2 mais ou menos

a raiz quadrada de b

Isso é 2 ao quadrado.

Menos 4 vezes a.

a é 8.

Vezes c, que é 1.

Tudo isso sobre 2 vezes a.

Então 2 vezes 8, que é igual a -2 mais ou menos

a raiz quadrada de 4 -- vejamos.

Escrevi isso?

b negativo mais ou menos a raiz quadrada de b ao quadrado menos

4 vezes a vezes c.

Certo.

Então temos 4 menos32.

Isso é o porque estava verificando se havia feito

isso corretamente porque teremos um número negativo aqui.

Tudo sobre 16.

E então acabaremos com o mesmo enigma que tivemos

no último. 4 menos 32, acabaremos com -2 mais

ou menos a raiz quadrada de -28 sobre 16.

E se estamos trabalhando com números reais, quero dizer não há

solução real aqui.

E no começo estava preocupado.

Pensei que havia feito um erro por descuido ou que houvesse um erro

no problema.

Mas então olhei as opções.

Eles tem opção D.

E copiarei e colarei a opção D aqui.

Opção D.

Não tem solução real.

Então esta é a resposta, porque não é possível tirar a raiz quadrada

de número negativo e continuar no conjunto dos números reais.

Vejamos, temos tempo para mais um?

Já se passaram 10 minutos.

Vamos esperar pelo próximo vídeo.

Até mais.

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Certo?

Deixe-me.... ok, está certo.

a...