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CA 대후학 I: 이차방정식

  • 0:01 - 0:02
    우리는 53번 문제에 있습니다
  • 0:02 - 0:05
    토니가 이 방정식을 완전제곱식으로 바꾼다고 하는데요
  • 0:05 - 0:08
    ax제곱 더하기 bx 더하기 c는 0
  • 0:08 - 0:09
    단 a는 0보다 크거나 같다
  • 0:09 - 0:12
    그니까 이건 그냥 정통적인 이차식이네요
  • 0:12 - 0:14
    그럼 그들이 뭘 했는지 봅시네
  • 0:14 - 0:18
    우선 그는 양변에서 c를 빼고
  • 0:18 - 0:21
    a x제곱 더하기 bx는 -c 를 얻었네요
  • 0:21 - 0:23
    그래요, 괜찮네요
  • 0:23 - 0:23
    그리고 봅시다
  • 0:23 - 0:26
    그는 양변을 a로 나누었어요
  • 0:26 - 0:28
    맞아요, 그렇게 되죠
  • 0:28 - 0:29
    마이너스 c/a 가 나왔어요
  • 0:29 - 0:31
    어떤 과정이 풀이에서 세번째가 돼야 하죠?
  • 0:31 - 0:32
    그는 완전제곱식을 만듭니다
  • 0:32 - 0:37
    결국, 그는 이게 완벽한 완전제곱식이 되길 원해요
  • 0:37 - 0:40
    그럼 우리가 어떻게 할 수 있을지 봅시다
  • 0:40 - 0:47
    우리는 x 제곱 더하기 b/a x 가 있어요
  • 0:47 - 0:52
    여기에 좀 공간을 둘게요-- 그리고 이건
    마이너스 c/a와 같죠
  • 0:52 - 0:54
    그래서 이게 완전한 제곱식이 되기 위해서는
  • 0:54 - 0:57
    뭔갈 더해야 하죠, 우리는 숫자를 더해야 해요
  • 0:57 - 1:00
    우리는 이전의 몇몇 비디오들을 통해 배웠고
  • 1:00 - 1:01
    약간 사이비로 증명했죠
  • 1:01 - 1:04
    사실, 오로지 완전제곱식만 다루는
  • 1:04 - 1:05
    제 비디오들도 있어요
  • 1:05 - 1:08
    여러분은 무슨 숫자가 됐든
  • 1:08 - 1:10
    이것의 절반의 제곱을 더해야 해요
  • 1:10 - 1:12
    만약 이게 이해가 되지않는다면, 칸아카데미 비디오 중
  • 1:12 - 1:14
    완전제곱식을 완성하는 내용을 보세요
  • 1:14 - 1:16
    b/a의 절반이 뭐죠?
  • 1:16 - 1:18
    2a분의 b죠
  • 1:20 - 1:27
    1/2 곱하기 b/a 는 b분의 a죠
  • 1:27 - 1:28
    그리고, 우리는 이것을 제곱한 것을 더해야해요
  • 1:28 - 1:30
    그럼 이 방정식의 양변에 더해볼게요
  • 1:30 - 1:37
    x제곱 더하기 b/a x가 남았네요
  • 1:37 - 1:39
    그리고 우린 이것의 제곱을 더해야해요
  • 1:39 - 1:48
    b분의 2a 제곱은 마이너스 c/a 와 같아요
  • 1:48 - 1:50
    뭐든 한 변에 더하면, 다른 한 변에도
  • 1:50 - 1:51
    더해줘야해요
  • 1:51 - 1:52
    그래서 우리는 양변에 다 더해줘야 해요
  • 1:52 - 1:57
    b 분의 2a 제곱을요
  • 1:57 - 2:00
    우리가 문제를 잘 풀었는지
  • 2:00 - 2:01
    한번 봅시다
  • 2:01 - 2:03
    x, 2분의 b--맞아요.
  • 2:03 - 2:06
    저희가 한건, x제곱 더하기 b/a 더하기 2a 분의 b 제곱
  • 2:06 - 2:08
    그리고 방정식 양 변에 더해주죠
  • 2:08 - 2:10
    그러니까 D가 정답이죠
  • 2:10 - 2:11
    혹시 이게 살짝 헷갈리거나
  • 2:11 - 2:12
    이해하기 어려웠다면
  • 2:12 - 2:13
    이 과정들을 외우기를 원하진 않아요
  • 2:13 - 2:18
    완전제곱식 완성에 대한 칸 아카데미 비디오를
    시청하세요
  • 2:18 - 2:20
    다음, 56번
  • 2:20 - 2:22
    아니 54번이요
  • 2:22 - 2:25
    이건 또다른 잘라서 붙여야 되는 문제네요
  • 2:30 - 2:32
    이차 근의공식을 유도하는 4개의 과정이
  • 2:32 - 2:33
    밑에 나와있네요
  • 2:33 - 2:36
    이전의 비디오들에서 제가 완전제곱식 변환을 통해
  • 2:36 - 2:38
    근의 공식을 유도할 수 있다고 했었죠
  • 2:38 - 2:39
    다른 비디오들에서는 그걸 직접 해봐요
  • 2:39 - 2:41
    다른 비디오들에 너무 집중하고 싶진 않지만
  • 2:41 - 2:42
    그들이 뭘 원하는지 봅시다
  • 2:42 - 2:45
    이 과정들의 바른 순서가 뭘까요?
  • 2:45 - 2:48
    먼저 짚고 넘어가고 싶은건
  • 2:48 - 2:49
    이차방정식이죠
  • 2:49 - 2:53
    그리고 이게 첫번째 단계에요
  • 2:53 - 2:57
    지난번 문제에서 여기서 출발했죠
  • 2:57 - 3:00
    그 다음은 이것의 2/1을 제곱한 것을
  • 3:00 - 3:01
    양변에 더하는거죠
  • 3:01 - 3:05
    그니까 2a 분의 b를 양변에 더하고
  • 3:05 - 3:06
    여기서도 그렇게 했어요
  • 3:06 - 3:08
    I가 첫번째가 돼요
  • 3:08 - 3:10
    다음에는 IV를 해야죠
  • 3:10 - 3:14
    지난번 문제에서 이렇게 했죠
  • 3:14 - 3:16
    우리가 IV를 했어요
  • 3:16 - 3:19
    여기서, 여기 이 표현이
  • 3:19 - 3:24
    x 더하기 2a분의 b 제곱과 같다는 걸 알죠
  • 3:24 - 3:25
    그리고 다시 한번, 이해가 되지 않았다면
  • 3:25 - 3:27
    완전제곱식 영상을 보길 바라요
  • 3:27 - 3:29
    여기다 이걸 더한 이유는 오로지
  • 3:29 - 3:32
    어떤 두 숫자에다가
  • 3:32 - 3:35
    2a분의 b 제곱을 곱하고 b/a를 더해주면
  • 3:35 - 3:37
    당연히, 2a분의 b죠
  • 3:37 - 3:39
    그리고 두번 더하면 a분의 b가 되죠
  • 3:39 - 3:41
    제곱하면 이 전체를 얻게 될거에요
  • 3:41 - 3:45
    이건 그냥 x 더하기 2a분의 b를 더한거고
  • 3:45 - 3:46
    여기서 이해가 됐죠
  • 3:46 - 3:49
    그리고 이건,
  • 3:49 - 3:50
    그냥 이 분수를 약분하죠
  • 3:50 - 3:52
    공통인수를 찾고 남은 것들이요
  • 3:52 - 3:54
    그러니까 다음단계는 II 단계고
  • 3:54 - 3:56
    남은 건 III 단계 뿐이네요
  • 3:56 - 3:59
    그리고 당신은 사실상 이차 근의공식을 유도해냈어요
  • 3:59 - 4:00
    그러니까 I, IV, II, III 순서에요
  • 4:03 - 4:05
    보기 A가 되네요
  • 4:07 - 4:11
    55번 문제
  • 4:11 - 4:14
    어떤 보기가-- 모든 보기를
  • 4:14 - 4:16
    조금 내릴게요
  • 4:19 - 4:21
    어떤 것이 이 방정식의 해 중 하나인가?
  • 4:21 - 4:23
    당신이 보기들을 보자마자
  • 4:23 - 4:24
    모두 루트나 그런것들이 있죠
  • 4:24 - 4:25
    이건 당신이 고려해야 될 게 아니에요
  • 4:25 - 4:27
    여기서 근의 공식을 쓸 수 있겠죠
  • 4:27 - 4:28
    해봅시다
  • 4:28 - 4:35
    근의 공식은, 만약에 ax 제곱 더하기
  • 4:35 - 4:37
    bx 더하기 c가 0이라면
  • 4:37 - 4:40
    근의 공식은 마이너스 b죠
  • 4:40 - 4:41
    보통 소문자로 해요
  • 4:41 - 4:47
    플러스 혹은 마이너스 루트 b제곱 빼기 4ac
  • 4:47 - 4:48
    이 모든것을 2a로 나눈것이죠
  • 4:48 - 4:51
    이건 그저 완전제곱식을 만든데서
  • 4:51 - 4:53
    나왔지만, 다른 비디오에서 하는 거죠
  • 4:53 - 4:55
    그걸 참고해봅시다
  • 4:55 - 4:56
    b는 뭔가요?
  • 4:56 - 4:58
    b는 -1이죠?
  • 4:58 - 5:02
    -(-1) 이니까 +1이 되네요
  • 5:02 - 5:05
    플러스 혹은 마이너스 루트 b제곱 빼기 4ac
  • 5:05 - 5:08
    -1의 제곱은 1
  • 5:08 - 5:12
    -4 곱하기 a가 되죠
  • 5:12 - 5:14
    a는 2에요
  • 5:14 - 5:15
    곱하기 2
  • 5:15 - 5:16
    곱하기 c
  • 5:16 - 5:18
    c는 마이너스 4죠.
  • 5:18 - 5:22
    그러니까 곱하기 마이너스 4.
  • 5:22 - 5:24
    이 모든 걸 2a로 나누면
  • 5:24 - 5:26
    a가 2니까 2곱하기 a는 4가되죠
  • 5:26 - 5:32
    1 플러스 혹은 마이너스 루트가 되죠
  • 5:32 - 5:33
    우리는 1이있고
  • 5:33 - 5:36
    마이너스 4 곱하기 a 곱하기 마이너스 4가 있죠
  • 5:36 - 5:40
    4 곱하기 2 곱하기 4와 같은거죠
  • 5:40 - 5:41
    그러니까 그냥 마이너스를 없애면
  • 5:41 - 5:42
    플러스가 되죠
  • 5:42 - 5:45
    여기에는 마이너스가 없게 돼요
  • 5:45 - 5:48
    그럼 봅시다, 4 곱하기 2 는 8이고
  • 5:48 - 5:49
    여기다 4를 곱하면 32죠
  • 5:49 - 5:52
    1을 더하면 33이 되고요
  • 5:52 - 5:54
    이 모든걸 4로 나누면
  • 5:54 - 5:56
    봅시다, 아직 다 안됐어요
  • 5:56 - 5:59
    여기에 이 방정식에 대한 해 중 하나인 것은?
    이라고 돼있는데
  • 5:59 - 6:00
    그럼 봅시다
  • 6:00 - 6:03
    이걸 간단히 하면,
  • 6:03 - 6:05
    아 여기있네요
  • 6:05 - 6:07
    왜냐하면 우리는 1 플러스 혹은 마이너스 루트 33
  • 6:07 - 6:08
    나누기 4가 나왔으니까요
  • 6:08 - 6:09
    이 중 하나를 여기 써놨네요
  • 6:09 - 6:11
    플러스만 써놨어요
  • 6:11 - 6:13
    C가 해 중의 하나가 되겠죠
  • 6:13 - 6:15
    마이너스가 있었다면 다른 하나가 여기 있을 뻔했죠
  • 6:15 - 6:18
    어쨌든 다음문제
  • 6:18 - 6:25
    56번
  • 6:25 - 6:27
    잘라서 붙여야 되는 또다른 문제에요
  • 6:30 - 6:33
    어떤 문장이 왜 이 이차방정식에 실근이 없는지를
  • 6:33 - 6:36
    가장 잘 설명해주는가? 라고 돼있는데
  • 6:36 - 6:40
    그래요, 전 이미 왜 해가 없는지
  • 6:40 - 6:41
    예상이 되는데요
  • 6:41 - 6:44
    하지만 일반적으로--이차방정식을 시도해 봅시다
  • 6:44 - 6:45
    문제를 보기도 전에
  • 6:45 - 6:45
    직관을 가져 봅시다
  • 6:45 - 6:49
    마이너스 b 플러스 혹은 마이너스
  • 6:49 - 6:56
    루트 b 제곱 빼기 4ac, 이 모든 것을 a로 나눈것이죠
  • 6:56 - 6:59
    제 질문은, 이 식이 말이 안되는 경우는 언제인가요
  • 6:59 - 7:02
    아시다시피, 어떤 b와 어떤 2a에도 적용되는데
  • 7:02 - 7:05
    하지만 제곱근 기호를 없애게 되면
  • 7:05 - 7:07
    최소한 우리가 실수를 다룰 때는
  • 7:07 - 7:08
    단서가 무엇이 되나요?
  • 7:08 - 7:12
    이 기호 아래 음수를 갖게 될 때죠
  • 7:12 - 7:14
    만약 제곱근 기호 밑에 음수로 마무리 된다면
  • 7:14 - 7:16
    우리가 복소수를 아직 배우지 않은 한
  • 7:16 - 7:18
    뭘 해야 할지 모르죠
  • 7:18 - 7:20
    그러니까 이 이차방정식에 대한 해는 없게 돼요
  • 7:20 - 7:25
    그러니까 만약 b 제곱 빼기 4ac가
  • 7:25 - 7:27
    0보다 작으면 곤란하게 되는거죠
  • 7:27 - 7:29
    실근이 없어요
  • 7:29 - 7:30
    음수의 제곱근을 쓸 수가 없어요
  • 7:30 - 7:32
    실수를 사용할 때에는요.
  • 7:32 - 7:35
    그게 여기서 문제가 될겁니다
  • 7:35 - 7:37
    그럼 b 제곱 뺴기 4ac가 뭔지 봅시다
  • 7:37 - 7:38
    b가 1이라는 건 알죠
  • 7:38 - 7:44
    그러니가 1 빼기 4 곱하기 a
  • 7:44 - 7:46
    a는 2죠
  • 7:46 - 7:49
    2곱하기 c가 7이에요
  • 7:49 - 7:52
    당옇니 1 곱하기 4 곱하기 2 곱하기 7은
  • 7:52 - 7:53
    0보다 작게 되겠죠
  • 7:53 - 7:56
    그럼 여기 뭐가 있는지 봅시다
  • 7:56 - 7:58
    맞아요, 1의 제곱의 값은
  • 7:58 - 7:59
    b의 제곱이죠
  • 7:59 - 8:01
    1 제곱은 1과 같죠
  • 8:01 - 8:03
    1제곱 빼기 4 곱하기 2 곱하기 7
  • 8:03 - 8:04
    당연히 음수가 되죠
  • 8:04 - 8:06
    그렇기 때문에 이 방정식에 대한
  • 8:06 - 8:09
    실근이 없는겁니다
  • 8:09 - 8:10
    다음 문제
  • 8:10 - 8:11
    사실은 공간 밖에 있네요
  • 8:16 - 8:17
    이 이차방정식에 대한 두 해를
  • 8:17 - 8:18
    알고 싶어 하네요
  • 8:18 - 8:20
    복사해서 붙여넣기 하겠습니다
  • 8:23 - 8:25
    그러니까 이 식을 만족하는 x의 쌍을
  • 8:26 - 8:28
    말하는거죠
  • 8:28 - 8:30
    당연히 어떤 x든 여기 대입하면
  • 8:30 - 8:32
    좌변은 0이 될거에요
  • 8:32 - 8:33
    그럼 어떤 x가 가능할까요?
  • 8:33 - 8:35
    그리고 이차방정식을 적용하기를 요구하고 있네요
  • 8:35 - 8:38
    우리는 이미 몇번 써봤지만, 그냥 해봅시다
  • 8:38 - 8:38
    바로요
  • 8:38 - 8:40
    그러니까 마이너스 b네요
  • 8:40 - 8:41
    b는 2가 되죠
  • 8:41 - 8:44
    그러니까 마이너스 2 플로스 혹은 마이너스
  • 8:44 - 8:46
    루트 b제곱이 되는거죠
  • 8:46 - 8:48
    그건 2의 제곱이니까
  • 8:48 - 8:52
    마이너스 4 곱하기 a
  • 8:52 - 8:53
    a는 8이죠
  • 8:53 - 8:56
    곱하기 c, c는 1이고
  • 8:56 - 8:59
    이 모든걸 2 곱하기 a로 나누죠
  • 8:59 - 9:04
    그러니까 2 곱하기 8, 즉 마이너스 2
    플러스 혹은 마이너스
  • 9:04 - 9:11
    4의 제곱근--봅시다
  • 9:11 - 9:13
    이걸 제가 썼던가요?
  • 9:13 - 9:21
    마이너스 b 플러스 혹은 마이너스
  • 9:24 - 9:24
    b제곱 빼기 4 곱하기 a 곱하기 c
  • 9:24 - 9:29
    맞아요
  • 9:29 - 9:31
    그러니까 4 빼기 32가 나오죠
  • 9:31 - 9:32
    이렇기 때문에 제가 검산을 한거에요
  • 9:32 - 9:35
    여기서 음수가 나오는지 보기 위해서요
  • 9:35 - 9:37
    이 모든걸 16으로 나누죠
  • 9:37 - 9:39
    이렇게 우리가 지난번에 했던 것과 같은
    난문제를 끝내게 되네요
  • 9:39 - 9:44
    4 빼기 32, 우리는 마이너스 2 플러스 혹은 마이너스
  • 9:44 - 9:46
    16분의 루트 마이너스 28 이 나오게 됩니다
  • 9:46 - 9:47
    그리고 만약 우리가 실수를 다룬다면
  • 9:47 - 9:48
    실근이 없게 되네요
  • 9:48 - 9:50
    맨 처음에 걱정이 됐어요
  • 9:50 - 9:50
    제가 부주의한 실수를 했거나 문제에
  • 9:50 - 9:52
    오류가 있는 줄 알았거든요
  • 9:52 - 9:53
    그러다가 보기를 보니까
  • 9:53 - 9:56
    보기 D에 있네요
  • 9:56 - 9:57
    보기 D를 복사해서 붙여넣기 할게요
  • 9:57 - 9:58
    보기 D.
  • 9:58 - 10:01
    실근이 없다
  • 10:01 - 10:06
    그게 정답이죠, 왜냐하면 음수의 제곱근으로
  • 10:06 - 10:08
    실수 사이에 있을 수는 없으니까요
  • 10:08 - 10:10
    봅시다, 다른 하나를 더 할 시간이 되나요?
  • 10:10 - 10:11
    10분을 넘겨 버렸네요
  • 10:11 - 10:13
    다음 비디오를 기약합니다
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Title:
CA 대후학 I: 이차방정식
Description:

53-57, 이차방정식
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Video Language:
English
Duration:
10:14

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