CA Algebra I: Quadratic Equation

53-57, Quadratic Equation

نحن الان في المسألة رقم 53

وهي: يقوم طوني بحل هذه المعادلة عن طريق اكمال

المربع، ax^2 + bx + c = 0، حيث ان a

اكبر من 0

انها مجرد معادلة تربيعية تقليدية

ودعونا نرى ماذا فعل

اولاً، قام بطرح c من كلا الطرفين وحصل على ax^2

+ bx = -c

حسناً، هذا كافي

ثم دعونا نرى

قام بقسم كلا الطرفين على a

اجل، هذا كافي

حصل على -c/a

اي خطوة يجب ان تكون الثالثة في الحل؟

انه يكمل المربع

اذاً هو يسعى لأن تصبح مربعاً كاملاً

لذا دعونا نرى كيف يمكننا القيام بذلك

لدينا x^2 + b/a x --وسوف اترك

فراغاً صغيراً هنا-- = -c/a

وحتى تصبح مربعاً كاملاً علينا ان نضيف

شيئ ما هنا، اي علينا ان نضيف عدد ما

وقد تعلمنا من عدة عروض سابقة

واثبتناه تقريباً

وفي الواقع، لقد صممت العديد من العروض تتحدث فقط عن

اكمال المربع

عليك ان تضيف اي عدد مهما كان، قم باضافة

مربع نصفه

واذا لم يكن هذا منطقياً بالنسبة لكم، فقوموا بمشاهدة عرض خان اكاديمي

على اكمال المربع

لكن ما هو نصف b/a؟

حسناً، انه b / 2a

اذاً 1/2 × b/a = b / 2a

ثم نريد ان نضيف مربع هذا

دعونا نضيف ذلك الى طرفي هذه المعادلة

ويتبقى لدينا x^2 + b/a x

وسوف نضيف مربع هذا

+ b / 2a^2 = -c/a

اي شيئ تضيفه لجانب واحد من المعادلة، عليك ان

تضيفه للجانب الآخر

علينا ان نضيف ذلك لكلا الطرفين

+ b / 2a^2

ودعونا نرى اذا كنا سنقوم بحل المسألة

بسرعة، ما هو المطلوب منا

X، b / 2 --اجل

هذا ما فعلناه بالضبط، x^2 + b/a + b / 2a^2

ونقوم باضافته لطرفي المعادلة

اذاً D هي الاجابة الصحيحة

الآن اذا وجدتهم ان هذا مربكاً بعض الشيئ او اذا لم يكن

بديهي بالنسبة لكم، لا اريدكم ان

تحفظوا الخطوات

شاهدوا عرض خان اكاديمي حول اكمال المربع

المسألة التالية، 56

لا، 54

هذا جيد، هذه ايضاً يجب ان اقصها والصقها

هذا جيد، اربع خطوات حتى نشتق الصيغة التربيعية

تم توضيحها في الاسفل

لقد قلت في عرض سابق انه يمكنكم ان تشتقوا

الصيغة التربيعية عن طريق اكمال المربع

وفي الواقع سنفعل ذلك في عرض آخر

لا اريد ان اعطيكم الكثير من التلميح حول العروض الاخرى

لكن دعونا نرى ما هو مطلوب منا

ما هو الترتيب الصحيح لهذه الخطوات؟

اذاً الشيئ الاول الذي سوف نبدأ به هو

المعادلة التربيعية

وهذه هي الخطوة الاولى

هنا حيث بدأنا في المسألة الاخيرة

ثم ما سنفعله هو ان نضيف نصف مربع هذا الى

كلا الطرفين

اذاً سنضيف b / 2a^2 لكلا الطرفين، و

هذا ما قد قاموا به هنا

اذاً الترتيب هو I

ثم سنضع IV

هذا ما فعلناه في المسألة الاخيرة

لقد وضعنا IV

ثم من هنا، نحن نعلم ان هذه العبارة

ستساوي x + b / 2a^2

ومرة اخرى، شاهدوا عرض اكمال المربع

اذا لم يكن هذا مقنعاً بالنسبة لكم

لكن السبب الذي دفعني لأن اضيف هذا هنا هو

حتى تعلمون ذلك، حسناً، ما هما العددان اللذان عندما اذربهما

يكون الحاصل b / 2a^2، وعندما اجمعهما يكون الناتج b/a؟

حسناً، انهما وبكل وضوح b / 2a

اذا جمعناه مرتين فسوف نحصل على b / a

اذا قمنا بتربيعه، فسوف نحصل على كل هذه العبارة

نقول، اوه، ان هذا x + b / 2a^2 و

تحصل على ذلك هنا

ويساوي --ثم

قاموا بتبسيط هذا الكسر

واوجدوا مقاماً موحداً وكل ما تبقى

اذاً الخطوة التالية هي II

ثم ان كل ما تبقى هو الخطوة III

وبهذا تكون قد قمت باشتقاق معادلة تربيعية

اذاً I, IV, II, III

ذلك هو الخيار A

المسألة 55

اي من الحلول --حسناً، سوف اضع جميع

الخيارات ادناه

اي من هذه الحلول يعتبر صحيحاً للمعادلة؟

مباشرة عندما ترون جميع الخيارات، فإنها تمتلك

الجذور التربيعية تلك وكل هذا

اي ان هذا ليس بشيئ ستقوم بتحليله الى عوامله

سوف تستخدم المعادلة التربيعية هنا

دعونا نفعل ذلك

اذاً المعادلة التربيعية هي، اذا كانت Ax^2 +

Bx + C = 0

ان المعادلة التربيعية هي -b

حسناً، لقد كتبت بحروف صغيرة

+ او - الجذر التربيعي لـ b^2 - 4ac، كل

ذلك مقسوماً على 2a

وهذه مشتقة من اكمال المربع مع

هذا، لكننا قد فعلنا هذا في عرض آخر

ودعونا نعوضه هنا

ما هي قيمة b؟

b = -1، اليس كذلك؟

و - -1، هذا يساوي موجب 1

+ او - الجذر التربيعي لـ b^2

-1^2 = 1

-4 × a

a = 2

× 2

× c

c = -4

اذاً × -4

كل ذلك مقسوماً على 2a

a = 2، اذاً 2 × a = 4

ذلك يصبح 1 + او - الجذر التربيعي

اذاً لدينا 1

لدينا -4 × 2 × -4

وهذا يعادل موجب 4 × 2 × موجب 4

دعونا نأخذ الاشارة السالبة خارجاً

اذاً موجب

لا يوجد سالب هنا

ودعونا نرى، 4 × 2 = 8

× 4 = 32

+ 1 = 33

كل ذلك مقسوماً على 4

دعونا نرى، لم نصل الى هنا بعد

حسناً، السؤال هو: اي من هذه يعتبر حلاً للمعادلة؟

دعونا نرى

اذا اردت ان ابسطها --حسناً

هذا هنا

لأن لدينا 1 + او -

الجذر التربيعي لـ 33 / 4

حسناً، لقد تم كتابة واحد منهم

لقد كتب الموجب فقط

لذا C يعتبر واحداً من الحلول

والآخر اذا كان لدينا اشارة سالبة هنا

على اي حال، ننتقل الى المسألة التالية

56

وهذه ايضاً سأحتاج لقصها ولصقها

وهي: اي جملة توضح بشكل جيد سبب عدم وجود

حل حقيقي للمعادلة التربيعية؟

حسناً، علي بالفعل ان اخمن سبب

عدم وجود حل

لكن بشكل عام --حسناً، دعونا نجرب المعادلة التربيعية

قبل ان ننظر الى هذه المسألة

دعونا نحصل على البداهة

انها -b + او - الجذر التربيعي لـ b ^2

- 4ac، كل ذلك مقسوماً على 2a

سؤالي لكم الآن، متى لا يكون هذا منطقياً؟

حسناً، كما تعلمون، فإن هذا سينجح لأي قيمة لـ b، ولأي قيمة لـ 2a

لكن متى يسقط رمز الجذر التربيعي على

الاقل عندما نتعامل مع اعداد حقيقية؟

وهذا مفتاح للحل

حسناً، عندما يكون لدينا عدد سالب تحت الجذر

اذا انتهى بنا المطاف الى عدد سالب تحت رمز الجذر التربيعي

على الاقل اذا لم نكون قد تعلمنا الاعداد الوهمية بعد

انتم لا تعرفون ماذا تفعلون

لا يوجد حل حقيقي للمعادلة التربيعية

اذا كان b^2 - 4ac اقل من

0، نكون في مشكلة

لا يوجد حل حقيقي

لا يمكنك ان تأخذ الجذر التربيعي لعدد سالب اذا كنت

تتعامل مع اعداد حقيقية

هذه ستكون المشكلة هنا

لذا دعونا نرى ما هو ناتج b^2 - 4ac

لدينا b = 1

اذاً 1 - 4 × a

a = 2

2 × c = 7

وبالطبع فإن هذا كافي، 1 × 4 × 2 × 7

اقل من 0

لذا دعونا نرى ماذا لدينا هنا

اجل، قيمة 1^2 --اوه، صحيح

انه b^2

حسناً، 1^2، يساوي 1

1^2 - 4 × 2 × 7

بالطبع ان هذا سالب

لهذا السبب لا يوجد لدينا

حل حقيقي لهذه المعادلة

المسألة التالية

انني افقد المساحة

حسناً، المطلوب منا ان نعرف مجموعة الحل

لهذه المعادلة التربيعية

سوف انسخها والصقها

اذاً تلك هي مجموعة x التي

تحقق هذه المعادلة

وبكل وضوح، فإن لأي قيمة x تضعها هنا، فإن الجانب الايسر

سوف يساوي 0

اذاً ما هي مجموعة x الصالحة؟

والمطلوب منا ان نطبق المعادلة التربيعية

لقد قمنا بكتابتها لعدة مرات لكن دعونا نحلها

مباشرة

انها -b

b = 2

انها -2 + او -

الجذر التربيعي لـ b^2

حسناً، هذا يساوي 2^2

-4 × a

a = 8

× c، اي 1

كل ذلك مقسوماً على 2 × a

اي 2 × 8، ما يساوي -2 + او -

الجذر التربيعي لـ 4 --دعونا نرى

هل كتبت هذا؟

-b + او - الجذر التربيعي لـ b^2 -

4 × a × c

اجل

نحصل على 4 - 32

لهذا السبب كنت اتأكد مرتين لكي ارى اذا فعلت ذلك

لأنني سوف احصل على عدد سالب هنا

كل ذلك مقسوماً على 16

ولذلك سوف ينتهي بنا المطاف الى نفس اللغز الذي كان لدينا

في النهاية، 4 - 12، سوف ينتهي بنا المطاف الى -2 +

او - الجذر التربيعي لـ -28 / 16

واذا كنا نتعامل مع اعداد حقيقية، اعني انه لا يوجد

حل حقيقي هنا

وقد كنت قلقاً في البداية

لقد اعتقدت انني ارتكبت خطأ غير مقصود او انه يوجد خلل ما

في المسألة

لكن نظرت لاحقاً الى الخيارات

حيث انه يوجد الخيار D

وسوف انسخ والصق الخيار D هنا

الخيار D

لا يوجد حل حقيقي

تلك هي الاجابة، لأنه لا يمكنك ان تأخذ جذر تربيعي

لعدد سالب وتبقى في مجموعة الاعداد الحقيقية

دعونا نرى، هل لدي بعض الوقت لحل مسألة اخرى؟

لقد تجاوزت الـ 10 دقائق

سوف انتظر حتى العرض التالي

اراكم عما قريب

.

.

.

.

.

.

.

I, IV, II, III

اليس كذلك؟

هذا جيد