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Euler's Line Proof

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    我在这个视频中要讲的内容是关于三角形的
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    我们来看这个较大的三角形ABC
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    我要证明三角形的外心
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    回顾一下 外心是三边
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    垂直平分线的交点
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    是这个三角形的外心和重心
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    重心是三条中线的交点
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    以及垂心 三条高的交点
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    这三个点是共线的 或者说OI是一条线段
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    或者说OG和GI是两条线段
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    这两条线段共线 都是欧拉线的一部分
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    为了证明 我画了一个中点三角形
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    三角形FED 说三角形DEF更顺一些
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    这是三角形ABC的中点三角形
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    我们已经知道了很多关于
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    中点三角形的知识
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    这些我们都在之前的视频里面证明过
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    其中的一点是 三角形DEF
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    相似于大三角形ABC
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    并且 这个三角形
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    大三角形和这个三角形的相似比
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    是2比1
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    这对后面的证明很重要
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    如果两个三角形相似且相似比已知
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    那意味着两个三角形对应部分的长度
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    其比例也是等于相似比的 这里是2比1
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    除了刚才那个性质
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    中点三角形和大三角形还有一些关系
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    和大三角形有些特殊共点
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    中点三角形的垂心
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    就是大三角形的外心
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    从图上看就是点O
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    我们已经提到它是大三角形的外心
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    它同时也是中点三角形的垂心
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    我们把它写在这里
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    所以注意点O在这条垂直平分线上
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    我应该要做很多很多这种深灰色标记
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    但是我不想让这张图看上去太杂乱
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    但是你们要知道这是大三角形的外心
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    现在为了要证明OGI三点共线
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    或者共线段
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    我将要证明
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    我要证明三角形FOG
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    我要证明三角形FOG
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    相似于三角形CIG
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    对 三角形CIG
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    因为如果我可以证得 那么它们的对应角
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    都是相等的
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    我们可以说因为这些角要和
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    那些角相等
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    所以OI必须是一条连贯的线段
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    我们看到如果这两条线是平行的
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    或者这两个三角形是相似的
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    这边这个三角形
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    和那一个
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    如果它们真的是相似的 那么这个角
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    和那个角是相等的
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    这意味着
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    这两个角是对顶角
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    所以这必然是一条直线
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    现在让我们开始正式的证明
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    或许我没有必要在这里强调
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    我已经提示过的一件事
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    这条线 我们叫他XC
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    是垂直于AB的
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    这是一条高 并且我们还知道FY
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    垂直于AB 是一条垂直平分线
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    所以它们和水平线的夹角是相同的
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    我们可以把AB看成一条水平线
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    所以它们一定是平行的 所以FY
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    平行于XC
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    线段FY平行于XC
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    线段FY平行于线段XC
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    现在让我们标记一下 这根和那根是平行的
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    这很有用 因为我们知道当一条直线
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    与两条平行线相交 所形成的内错角
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    是相等的
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    我们知道FC是
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    大三角形ABC的一条中线
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    所以有一条线和两条平行线相交
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    内错角相等
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    所以这个角等于那个角
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    也就是说 角OFG等于
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    角ICG
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    我们还知道一件事
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    这是中线的一个性质
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    中线分开了或者说重心
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    将每一条中线分成长度比为2比1的两段
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    另一种说法就是重心
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    在中线上三分之二处
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    我们在之前的视频里证明过这个
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    现在我们知道CG的长度是GF的两倍
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    我想大家应该能看出来接下来做什么
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    我们已经得到一组等角 并且已证得这条边
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    和这条边的比例是2比1 根据重心和
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    中线的性质
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    现在只要能证明边CI和FO是2比1的关系
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    那样我们就有两组对应边成2比1的比例
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    以及它们的夹角相等
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    根据边角边判定准则 这两个三角形
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    是相似的 所以让我们来想办法
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    CI是大三角形中
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    点C和垂心I之间的距离
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    那么FO是什么呢
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    F点是点C在中点三角形上的对应点
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    我们需要确保找对了点F
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    对应着点C
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    所以FO是中点三角形上的点F
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    到其垂心的距离
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    所以这是点C
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    和大三角形垂心的距离
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    这是中点三角形上
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    的对应点
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    到其垂心的距离
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    所以这和大三角形上的那段距离
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    是对应的
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    我们已经知道大小三角形的相似比是2比1
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    所以两点之间对应距离的比
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    应该和相似比是一致的
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    所以由于相似性
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    CI就是FO的两倍
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    我想要强调这一点 C是F的对应点
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    当我们看这两个相似三角形时
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    I是大三角形的垂心
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    O是小三角形的垂心
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    我们选取的是
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    大三角形垂心
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    在小三角形上的对应点
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    三角形的相似比是2比1
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    所以这段长度和那段的比也是2比1
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    所以我们已经证明
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    这组边的比是2比1
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    我们也已经证得这组边的比也是2比1
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    我们也已经得到两组边的夹角
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    是相等的
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    所以我们根据边角边相似判定规则
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    让我说慢一点 根据边角边相似判定规则
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    注意不是全等 是相似 我们已经证明三角形FOG
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    相似于三角形CIG
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    然后我们知道对应角是相等的
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    于是角CIG对应着角FOG
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    这两个角相等 同时角CGI
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    让我换一种颜色
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    角CGI对应角OGF
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    所以它们也是相等的
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    所以现在换个方式看这些角
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    这两个角相等所以现在可以认为OI
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    是这两条平行线的一条横贯线
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    所以它们是共线的
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    或者看这两个角
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    这两个角是相等的
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    所以它们是对顶角
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    所以这一定是同一条线
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    这条中线进入的角度
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    和离开的角度是一样的
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    所以这些一定是共线的
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    这又是一个相当简单的证明
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    却证明了一个很深刻的理论 任何三角形的垂心
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    重心以及一条中线
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    都落在这条神奇的欧拉线上
Title:
Euler's Line Proof
Description:

Proving the somewhat mystical result that the circumcenter, centroid and orthocenter
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Video Language:
English
Duration:
09:50
chezisu1988 added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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