Euler's Line Proof

Proving the somewhat mystical result that the circumcenter, centroid and orthocenter

Bu videoda yapmak istediğim ABC üçgeni üzerinden kenar ortayların kesişimi olan çevrel merkez, medyanların kesişimi olan ağırlık merkezi ve yüksekliklerin kesişimi olan yükseklik merkezinin aynı doğru üzerinde bulunduğunu kanıtlamak.

.

.

.

.

.

.

.

OI uzunluğunun bir doğru parçası olduğunu ya da OG ve GI uzunluklarının birer doğru parçası olduğunu ve bunların öklid doğrusunun bir parçası olduğunu kanıtlamak.

.

.

Ve bunu yapmak için buraya FED orta üçgenini yerleştirdim.

Ya da ABC üçgeninin orta üçgeni DEF demeliyim.

.

Orta üçgenler hakkında zaten bildiğimiz birkaç şey var.

.

Ve bunları daha önceki videolarda kanıtladık.

Biliyoruz ki DEF orta üçgeni içinde bulunduğu büyük üçgen ile benzer olacaktır.

.

.

Ve de büyük üçgenin küçük üçgene oranı 2'ye 1.

.

Ve bu kanıtlanması önemli bir şey.

İki üçgen verilen oranda benzer ise bu demektir ki iki eş parça arasındaki mesafenin oranı 2'ye 1 olacaktır.

.

.

Gösterdiğimiz başka bir ilişki ise orta üçgenin yükseklik merkezinin, büyük üçgenin çevrel merkezi ile aynı nokta olduğudur.

.

.

.

.

Başka bir deyişle O noktası, büyük üçgenin çevrel merkezi iken orta üçgenin de yükseklik merkezidir.

.

.

Aslında buraya yazdık.

O noktası dik kenar ortayın üzerinde bulunuyor.

.

.

Bu, büyük üçgenin çevrel merkezi ve de DEF orta üçgeninin yükseklik merkezi. Aslında bunu yükseklik merkezlerinin kesiştiğini kanıtlamak için kullanırız. Orta üçgenin yüksekliklerinin kesiştiği nokta ile başladık. Ve de bu yüksekliklerin büyük olan üçgenin kenar ortayları olduğunu gördük. Yani O noktası büyük üçgenin çevrel merkezi ama aynı anda DEF üçgeninin de yükseklik merkezi.

OG ve I noktalarının aynı doğruda, bu durumda aynı doğru parçasında, bulunduğunu kanıtlamak için FOG ve CIG üçgenlerinin benzerliğini kanıtlayacağım.

.

.

.

.

.

.

Eğer bunu kanıtlayabilirsem yöndeş açılar birbirine eşit olacaktır ve hangi açının hangisine eşit olduğunu söyleyebileceğiz.

.

.

.

Ve OI çapraz doğru olmak durumunda olacaktır çünkü bu iki doğrunun paralel olduğunu göreceğiz.

.

Ya da bu iki üçgen eş ise, buradaki üçgenleri hatırlayalım, bu açı ,bu açıya eşit olacaktır.

.

.

.

.

Yani bu açılar ters açılar olacaktır.

.

O zaman bu açılar gerçekten ters açı ve bu da gerçekten bir doğru olacaktır.

.

Bu taralı bölgelere ihtiyacımız yok.

Daha önceden hissettirdiğim gibi bu doğru , XC diyebiliriz, AB doğrusu gibi dik.

.

.

Bir yükseklik. Ve biliyoruz ki FY de AB'ye dik.

Dik bir açı ortay.

Yani ikisi de çapraz doğru ile aynı açıyı oluşturuyorlar.

AB'yi çapraz doğru olarak düşünebilirsiniz.

Yani paralel olmak durumundalar.

FY ve XC'nin birbirine paralel olduğunu biliyoruz.

FY doğru parçası ile XC doğru parçası birbirine paralel.

.

.

Bu işe yarar çünkü biliyoruz ki bir çapraz doğru iki paralel doğru ile kesişirse oluşan iç ters açılar eşit olur.

.

.

FC'nin AQBC üçgeninin medyanı olduğunu biliyoruz.

.

İki paralel doğruyu kesen bir doğrumuz var.

İç ters açılar birbirine eşit.

Yani bu açı, bu açıya eşit.

OFG açısı ICG açısı ile eşit.

.

.

Başka bildiğimiz bir özellik ise ağırlık merkezinin medyanı 2'ye 1 oranında ayırdığıdır.

.

.

Başka bir deyişle ağırlık merkezi medyanın 3'te 2'sinde bulunur.

.

Bunu daha önceki videoda kanıtladığımız biliyorum.

Biliyoruz ki CG=2xGF

Sanırım nereye gittiğini anlamışsınızdır.

Bu kenarın, bu kenara oranı 2'ye 1.

Bu ağırlık merkezi ve medyanların bir özelliği.

.

CI kenarının FO kenarına oranı 2'ye 1.

Karşılıklı iki kenarın oranı 2'ye 1.

.

Ve Kenar Açı Kenar özelliğini kullanarak da bu iki üçgenin benzer olduğunu gösterebiliriz.

.

CI uzunluğu büyük üçgenin yükseklik merkezi ile C noktası arasındaki mesafedir.

.

Peki FO nedir?

F, orta üçgende C ile eş olan bir noktadır.

.

F, C noktasına karşılık gelir.

FO uzunluğu, küçük orta üçgendeki F noktası ile bu üçgenin yükseklik merkezi arasındaki mesafedir.

.

Yani bu, C noktası ile büyük üçgenin yükseklik merkezi arasındaki mesafe.

.

Birbirine karşılık gelen orta üçgenin kenarı ve yükseklik merkezi arasındaki mesafe.

.

.

Bu, büyük ve orta üçgenlerdeki karşılıklı gelen mesafe.

.

Ve 2'ye 1 oranında bir benzerliğin söz konusu olduğunu da biliyoruz.

İki nokta arasında karşılıklı gelen mesafe, aynı üçgenlerde iseler aynı orana sahip olurlar.

.