오일러 직선의 증명

오일러 직선의 증명 - 삼각형의 외심, 무게 중심, 수심

여기 그려진 삼각형 중에

큰 삼각형 ABC를 중심으로

증명하고자 하는 것은
이것입니다

각 변의 수직 이등분 선이 만나는

삼각형의 외심(circumcenter)과
이 삼각형에서는 점 O

삼각형의 세 중선이 만나는 중점 (centroid)
여기에서는 점 G

그리고 각 꼭지점에서 내린 수선이 만나는

수심(orthocenter), 점 I가

한 직선 위에 존재한다는 사실입니다

여기서는 OI가 한 선분을 이루고

OG와 GI가 OI를 이루는 작은 선분들인데

이 선분은 오일러 직선의 일부가 됩니다

이를 증명하기 위해
작은 삼각형을 하나 더 그렸습니다

삼각형 FED
삼각형 DEF라고 합시다

삼각형 DEF는 삼각형 ABC의
중점을 연결한 중점삼각형입니다

중점삼각형에 대해서는

이미 여러 사실들을 증명한 동영상이 있고

여러분들도 알고 있을 것입니다

한가지 확실한 것은

중점삼각형 DEF는 큰 삼각형과
닮음 관계라는 것입니다

큰 삼각형과 중점삼각형은

닮음비가 2:1인 닮음 삼각형입니다

이 사실은 매우 중요합니다

닮음비가 2대1인
두 개의 삼각형에서는

삼각형의 어떤 부분이라도
대응하는 부분의 길이의 비는

모두 2대1이 됩니다

이제 이미 증명한 다른 관계도 생각해 봅시다

이미 다른 동영상에서 증명한 바 있듯이

중점삼각형의 수심(orthocenter)은

큰 삼각형의 외심(circumcenter)과 같습니다

이 그림에서 점 O는

이미 우리가 큰 삼각형의 외심이라고 했습니다

점 O는 또한 중점삼각형의 수심이 됩니다

이미 여기에 써놨죠?

큰 삼각형의 수직 이등분선 위에 있는 점 O는

그림이 너무 지저분하게 보일 수 있어서

다른 선은 안그렸지만

큰 삼각형에서는 외심이고

중점삼각형 DEF에서는 수심이 됩니다

이 사실을 이용해서
점 O가 어떤 위치인지 생각해 봅시다

중점삼각형에서 보면

중점삼각형의 세 수선이 만나는 점은 어디일까요?

중점삼각형의 모든 수선은 큰 삼각형의

수직 이등분 선 위에서 만납니다

이 삼각형이 큰 삼각형의 중점삼각형이라고

가정을 했으니 당연한 일입니다

따라서 우리의 증명에 따르면

점 O는 삼각형 ABC의 외심인 동시에

삼각형 DEF의 수심이 됩니다

이제 점 O, G, I가
한 직선상에 있는지

이 그림에서는 한 선분상에 있는지를
증명해 봅시다

그러기 위해서 증명할 것은

삼각형 FOG가 삼각형 CIG와

닮음이라는 사실입니다

삼각형 FOG가 삼각형 CIG와
닮음이라는 사실입니다

이 사실을 증명할 수 있다면

두 삼각형의 대응각이 같다는 뜻이고

그렇다면 각 GOF가 각 GIC와 같고

OI는 평행한 두 선분을 가로지르는 선분이 됩니다

아니면 두 삼각형이 닮음인 경우

그림상에서 두 삼각형은
이렇게 나타나는데

두 삼각형이 정말 닮음이라면
이 각과 마주보는 각이 같게 됩니다

그렇다면 맞꼭지각이 되겠죠

OI는 한 선분을 이루고 있다고 말할 수 있습니다

그럼 증명을 한 번 해봅시다

영역을 표시해 놓은 선은 지우겠습니다

이미 힌트가 된 사실을 하나 말하자면

여기 있는 선분 XC는

변 AB와 수직으로 만납니다

큰 삼각형의 수선이기 때문이죠

그리고 여기 있는 FY도
변 AB에 수직입니다

수직 이등분선이기 때문입니다

따라서 이 두 선분은 모두
변 AB와 직각으로 만납니다

그러므로 두 선분은 평행합니다

선분FY와 선분XC는

평행하고

이 선분과 이 선분은 평행합니다

이 사실은 매우 유용합니다

왜냐하면 평행선을 한 직선이 지날 때

엇각 위치에 있는 각들은
크기가 같기 때문입니다

우리는 이미 FC가 직선이라는 것을
알고 있습니다

FC는 삼각형 ABC의 중선이고

두 평행선을 지나는 직선이 됩니다

두 엇각의 크기가 같으니

이 각의 크기가
여기 있는 각의 크기와 같습니다

그러므로 각 OFG는 각 ICG와 크기가 같습니다

또 하나 알 수 있는 사실은

삼각형의 중선에 관한 성질인데

중점은 중선의 길이를
2대 1로 나눈다는 것입니다

중점은 중선의 길이를
2대 1로 나눈다는 것입니다

다르게 말하면

중점은 중선의 2/3 지점에 있습니다

이것도 이미 이전 동영상에서
증명한 바 있습니다

따라서 CG의 길이는 GF의 길이의 두 배가 됩니다

다음으로는 무엇을 해야 할까요?

우리는 크기가 같은 각을 알고 있고

이 변과 이 변의 길이의 비가 2대 1이라는 사실을
중선의 성질을 이용해서 보여주었습니다

이제 CI와 FO의 길이가 2대 1이라는 것을 보여주면

두 변의 길이의 비가 2대1이고
두 변 사이의 끼인각의 크기가 같다는 것을 알고 있으니

두 삼각형의 SAS 닮음 조건이 됩니다

한 번 생각해 봅시다

CI는 큰 삼각형에서
꼭지점 C와 수심 사이의 거리입니다

I가 큰 삼각형의 수심이니까요

FO는 어떤가요?

F는 중점 삼각형에서
큰 삼각형의 꼭지점 C에 대응하는 점입니다

닮음 관계에서도 알 수 있듯이

F는 C에 대응하는 점입니다

그러므로 FO는 중점 삼각형의 꼭지점에서

수심까지의 거리입니다

따라서 이 거리는 큰 삼각형의 꼭지점에서
수심까지의 거리이고

여기는 큰 삼각형에 대응하는 점에서

중점 삼각형의 수심까지의 거리입니다

이 두 선분은 큰 삼각형과 중점 삼각형에서

대응하는 부분이고

우리는 이미 두 삼각형의 닮음비가
2대 1이라는 것을 알고 있습니다

닮은 두 삼각형의 대응변의 길이는

모두 닮음비가 같으므로

두 도형은 닮음 관계이므로

CI의 길이는 FO의 길이의 두 배가 됩니다

C가 F의 대응점이라는 사실이 중요합니다

그리고 두 삼각형에서

I는 큰 삼각형의 수심이고

O는 작은 삼각형의 수심입니다

큰 삼각형에서 꼭지점에서 수심까지의 거리와

작은 삼각형에서 꼭지점에서 수심까지의 거리는

서로 대응관계입니다

두 삼각형의 닮음비가 2대1이므로

이 두 변의 길이의 비도 2대 1이 됩니다

이 변과 이 변의 길이의 비가

2대 1이라는 사실을 알고 있고

이 변과 이 변의 길이의 비도 2대 1

그리고 두 변 사이의 끼인각의 크기가

엇각으로 같으니

이 두 삼각형은 SAS 닮음입니다

SAS 닮음 조건에 따라서

삼각형 FOG와 삼각형 CIG는 합동이 아니라
닮음입니다

두 삼각형의 대응하는 각의 크기가 같으므로

각 CIG와 대응하는 각FOG가

크기가 같습니다

또한 각 CGI와 각 OGF도 대응각으로
크기가 같습니다

이제 다른 관점에서 이 각들을 보면

이 각들이 크기가 같으므로

OI가 두 평행선을 가로지르는
한 직선으로 볼 수 있고

따라서 OI는 한 직선 위에 있다고
말할 수 있습니다

아니면 이 두각의 크기가 같으므로

두 각은 맞꼭지 각의 관계가 되어

OI를 한 직선으로 볼 수도 있습니다

중점 쪽으로 가까이 오는 이 각이

반대쪽으로 멀어지는 각과 같으므로

OI는 확실하게 한 직선 상에 있습니다

다시 한 번 말하지만
이것은 아주 간단한 증명입니다

확실한 사실을 기반으로

삼각형의 외심과 중점과 수심이
하나의 직선 위에

마법같은 오일러 직선 위에
있다는 것을 증명할 수 있습니다