Доказателство на Ойлеровата права

Доказване на необикновения в известна степен резултат, че центърът на описаната окръжност, центърът на вписаната окръжност и ортоцентърът лежат на една права

В това видео искам да разгледаме
един триъгълник – ще се фокусираме

върху този по-големия триъгълник
тук, триъгълник ABC.

Искам да докажа, че центърът
на описаната окръжност...

спомни си, че центърът на описаната
окръжност е пресечната точка

на симетралите.

Центърът на тежестта
на този триъгълник и центроидът,

който е пресечната точка
на медианите му,

а ортоцентърът е пресечната
точка на височините му,

и всички те лежат на една и съща права,
т.е. това OI тук наистина е част от права.

Или това OG и GI са наистина
просто две отсечки,

които съставят тази по-голяма отсечка,
която е част от Ойлеровата права.

И за да направим това, направих
медиалния триъгълник тук,

триъгълник FED, или всъщност
трябваше да кажа триъгълник DEF,

който е медиалният триъгълник за ABC.
(върховете му са средите на страните на триъгълник АВС)

Има вече множество неща,

които знаем за
медиалния триъгълник

и ние доказахме това
в предишни клипове.

Едно от нещата, които знаем,
е, че медиалният триъгълник DEF

е подобен на по-големия триъгълник.

Триъгълникът, който
е медиален триъгълник на...

отношенията от по-големия
триъгълник към по-малкия триъгълник

са отношения 2 към 1.

И това ще бъде наистина
важно доказателството.

Когато два триъгълника са подобни
при дадено отношение,

това означава, че ако вземем разстоянието
между всеки две съответни части

на двата подобни триъгълника,
това отношение ще бъде 2 към 1.

Другата връзка,
която вече показахме,

другата връзка между
медиалния триъгълник

и триъгълника, на който
той е медиален триъгълник,

показахме,
че ортоцентърът

на медиалния триъгълник е център
на описаната окръжност на големия триъгълник.

Един начин да го разглеждаме
е, че точка O,

вече споменахме, е център на
описаната окръжност на по-големия триъгълник.

Тя е също така ортоцентър
на по-малкия триъгълник,

ние всъщност
го написахме тук.

И така, точка O – забележи,
че тя е на тази симетрала,

трябва да направя още такива
с този тъмносив цвят,

но не искам да направя
чертежа твърде объркан.

Но това е център на описаната
окръжност на по-големия триъгълник

и също ортоцентър на по-малкия
триъгълник – на DEF.

И ние всъщност използвахме този факт,
когато искахме да докажем,

че ортоцентрите се пресичат в
една точка.

Започнахме с медиалния триъгълник.
Казахме: Добре, нека помислим

къде се пресичат височините. И казахме,
че изглежда, че всички височини

са всъщност симетрали на по-големия
триъгълник, ако приемем, че това е

медиалния триъгълник на този
по-голям триъгълник.

Точка O... и това ще бъде
важно за нашето доказателство –

е център на описаната окръжност
на триъгълник ABC.

Но тя е и ортоцентър на DEF и
ние вече говорихме за това в предишните клипове.

За да докажем, че O, G и I
лежат на една и съща права

или една и съща отсечка
в този случай.

Това, което ще направя,
което искам да докажа,

ще докажа,
че триъгълник FOG,

ще докажа,
че този триъгълник FOG,

е подобен на... е подобен
на триъгълник CIG,

е подобен
на триъгълник CIG.

Защото, ако докажа това,
тогава техните съответни ъгли

ще бъдат равни.

Може да кажеш,
че този ъгъл ще бъде равен

на този ъгъл тук.

И така OI трябва
да бъде секуща,

тъй като ще видим, че тези
две прави тук са успоредни,

или ако тези два
триъгълника са подобни,

просто не забравяй, че ако
погледнеш този триъгълник тук

и този триъгълник там,

ако те наистина са подобни,
тогава този ъгъл

ще бъде равен
на този ъгъл.

Което ще означава, че

тези наистина ще бъдат
връхни ъгли

и така това наистина
ще бъде реална права.

Така че да минем към
фактическото доказателство.

Може би няма нужда
това тук да е подчертано.

Едно от нещата, което
аз подсказах вече, е

че тази права тук,
можем да наречем това XC,

знаем, че това е перпендикулярна
права на AB.

Тя е височина и ние знаем
също, че FY ето тук

е перпендикуляр на AB,
тя е симетрала.

Така че те и двете образуват един
и същ ъгъл със секущата.

Може да разглеждаш
AB като секуща.

Те трябва да бъдат успоредни.
И така, знаем, че

FY е успоредна на XC.

Отсечка FY
е успоредна на отсечка XC,

Можем да го напишем така. Този приятел
е успореден на този приятел там.

И това е полезно, защото знаем,
че вътрешните кръстни ъгли

на секущата, когато секущата
пресича две успоредни прави,

тези ъгли са еднакви.

Така че знаем, че този ъгъл...
знаем, че FC е права,

е медиана на този по-голям
триъгълник, триъгълник ABC.

Така че имаш права, пресичаща
две успоредни прави,

вътрешните кръстни
ъгли са равни.

Така че този ъгъл ще бъде
равен на този ъгъл.

Можеш да кажеш, че ъгъл
OFG е равен на ъгъл...

това е OFG – той е равен
на ъгъл ICG.

Другото нещо, което знаем,

това е свойството
на медианите, че

медианите се разделят... или би трябвало
да кажа, че центърът на вписаната окръжност,

разделя медианите на две отсечки
с дължини в отношение 2 към 1.

Или друг начин да разглеждаме това е,
че центърът на вписаната окръжност

е на 2/3 от дължината
на медианата.

Ние знаем това, доказахме го
в предишно видео.

Знаем, че CG е равно
на 2 по GF.

Мисля, че виждаш накъде отиваме.

Имаме ъгъл, показах ти,
че отношението на тази страна

към тази страна е 2 към 1
и това е просто свойството

на центъра на вписаната
окръжност и медианите.

И сега, ако можем да покажем, че отношението
на тази страна CI към FO е 2 към 1,

ще имаме две съответни страни,
където отношението е 2 към 1,

и имаме, че ъгълът между
тях е равен...

можем да използваме първи признак за подобие,
за да покажем, че тези два триъгълника

са всъщност подобни. Така че
нека всъщност помислим върху това.

CI е разстоянието между
точка C от по-големия

триъгълник и неговия ортоцентър,
ортоцетърът на по-големия триъгълник.

А колко е FO?

F е съответна точка
на точка C в медиалния триъгълник

и да се уверим, че определяме
подобието с правилните...

F съответства на точка C.

FO е разстоянието между F
на по-малкия триъгълник

и ортоцентъра на по-малкия
медиален триъгълник.

Така че това е разстоянието
между C

и ортоцентъра на
по-големия триъгълник.

Това е разстоянието
между съответните

страни на
медиалния триъгълник

и ортоцентъра на по-малкия триъгълник.

Така че това е същото
съответстващо разстояние

на по-големия триъгълник
и на медиалния триъгълник.

А ние вече знаем, че те са подобни
в отношението 2 към 1.

Така че съответстващите разстояния
между всеки две точки

на двата еднакви триъгълника
ще имат едно и също отношение.

Поради това подобие,
поради подобието,

знаем, че CI ще бъде равно
на 2 по FO.

Искам да наблегна на това;
C е съответстващата точка на F,

когато погледнем и двата от тези
подобни триъгълници,

I е ортоцентър на
по-големия триъгълник,

O е ортоцентър на
по-малкия триъгълник.

Вземаш съответните точки

на ортоцентъра
на по-големия триъгълник,

съответните точки на по-малкия триъгълник
към неговия ортоцентър.

Триъгълниците са подобни
в отношението 2 към 1.

Така че отношението на тази дължина
към тази дължина ще бъде 2 към 1.

Показахме,
че отношението

на тази страна към
тази страна е 2 към 1.

Показахме, че отношението на тази страна
към тази страна е също 2 към 1.

Показахме, че ъгълът
помежду им е...

ъгълът между тях
е еднакъв.

Така че ние доказахме
първи признак на подобие –

нека превъртя това малко надолу – и така,
по първи признак за подобие,

не еднаквост, а подобие, ние доказахме,
че триъгълник FOG

е подобен на CIG.

И така знаем, че съответните
триъгълници са подобни,

знаем, че ъгъл CIG съответства
на ъгъл FOG.

Така че тези ще бъдат подобни
и знаем също, че ъгъл CGI,

ъгъл CGI... нека направя
това с нов цвят –

ъгъл CGI съответства
на ъгъл OGF.

Така че те също
ще бъдат равни.

Може да разглеждаш по различни начини,
че този ъгъл

и този ъгъл са равни. Може също
да разглеждаш OI

като истинска права, като секуща
на тези две успоредни прави.

Така че това ти позволява да знаеш,
че това е една права,

или може да разгледаш
тези две тук,

да видиш, че тези два ъгъла
са еквивалентни.

Така че това трябва
да са връхни ъгли,

това всъщност трябва
да бъде същата права.

Ъгълът, който това достига,
тази,

тази медиана е същият ъгъл,
който остава.

Така че тези всичките са определено
на една и съща права.

Това е много просто доказателство,
още веднъж,

от много дълбока идея –
ортоцентърът,

центърът на вписаната окръжност
и медианата на всеки триъгълник

всички лежат на тази магическа
Ойлерова права.