Соотношение сторон в треугольнике с углами 30-60-90

В этом видео подробно рассматриваются треугольники с углами 30-60-90 градусов, соотношения их сторон и углов.
Это видео - русская версия видео "30-60-90 Triangle Side Ratios Proof" Академии Хана (http://www.khanacademy.org). Перевод и дублирование выполнены командой проекта «StudyPlanner» (http://www.studyplanner.org).
This video is a Russian dubbed version of the Khan Academy video «30-60-90 Triangle Side Ratios Proof". The translation and sampling are made by the «Study Planner» team (http://www.studyplanner.org).

Здравствуйте!

В этом видео я хочу рассмотреть специфический класс треугольников

(треугольников с углами 30-60-90°).

Думаю, вы понимаете, почему они так называются

(т.к. у них углы равны 30, 60 и 90°). Это видео, а именно знания

о соотношении сторон в треугольнике с углами 30-60-90,

будут очень полезными для всего, что вы в дальнейшем встретите

в геометрии и тригонометрии.

Допустим, что гипотенуза равна х (помните, что гипотенуза –

это сторона, противолежащая углу в 90°). И мы собираемся доказать,

что длина самой короткой стороны треугольника

(которая противолежит углу в 30°) равна х/2 ,

а длина стороны, противолежащей углу в 60°,

равна √3, умноженному на длину самой короткой стороны,

т.е. умноженной на х/2. Это я и хочу доказать в видео. Это будет очень полезно.

Давайте начнем с треугольника, с которым мы с вами очень хорошо знакомы.

Нарисую вот такой равносторонний треугольник

(нарисовать ровно всегда непросто… о, неплохо).

Назовем его АВС. Надеюсь, что он всё-таки равносторонний, давайте это запишем:

треугольник АВС равносторонний.

И это значит, что все его стороны равны между собой.

Предположим, что длина каждой стороны равна х.

Эта сторона равна х, эта – х и эта – х.

Также мы знаем (мы это учили раньше),

что все углы равностороннего треугольника равны 60°.

Т.е. этот угол равен 60°, этот и этот тоже равен 60°.

Теперь я опущу высоту из вершины В к основанию.

И по определению эта высота будет перпендикулярна основанию.

Т.е. это прямой угол, и это тоже прямой угол.

Вообще, довольно легко доказать, что это не только высота,

перпендикулярная основанию, но и то, что она делит это основание пополам

(если хотите, можете сами это сделать).

Т.е. вполне очевидно, что эти два треугольника равны.

Давайте все же докажем это. Назовем эту точку D.

Итак, у треугольников АВD и ВDС есть общая сторона,

она принадлежит им обоим. Также мы знаем, что этот угол равен этому, а этот – этому.

А мы знаем: если два угла в треугольниках равны, то и их третьи углы также будут равны,

т.е. этот угол будет равен этому.

У нас есть много разных признаков равенства треугольников.

И здесь мы можем использовать признаки, например,

«сторона-угол-сторона», «угол-сторона-угол».

Оба они говорят нам о том, что треугольник АВD равен треугольнику СВD.

Мы можем использовать либо признак «сторона-угол-сторона», либо «угол-сторона-угол»,

они доказывают, что соответствующие стороны в этих треугольниках равны.

В частности, длина стороны АD равна длине стороны СD. АD равно СD,

это соответствующие стороны. А раз они равны и в сумме дают х,

значит СD=АD =х/2.

Теперь, зная это, а также зная, что это высота, что этот угол равен этому

(и в сумме они составляют 60°), мы можем сказать, что они оба равны по 30°.

Итак, первый интересный факт о треугольнике с углами 30-60-90 в том, что гипотенуза…

(напоминаю, что высота разделила наш исходный равносторонний треугольник на два равных треугольника с углами 30-60-90°)… так вот,

если сторона, противолежащая прямому углу, равна х,

то сторона, противолежащая углу в 30°, будет равна х/2.

Здесь, слева, у нас показано то же самое.

Теперь давайте разберемся со стороной, противолежащей углу в 60°.

Стороной, противолежащей углу в 60°. Это высота, она у нас называется ВD.

И мы можем использовать здесь теорему Пифагора: ВD² плюс

DС², т.е (х/2)² равно гипотенузе в квадрате. Запишем:

ВD²+(х/2)²=х². Еще раз повторюсь, чтобы окончательно прояснить ситуацию,

чтобы мы с вами все понимали: мы рассматриваем этот треугольник и используем

теорему Пифагора (больший катет в квадрате плюс меньший катет в квадрате

равно гипотенузе в квадрате). Теперь найдем ВD.

ВD²+х²/4=х². В правой части можно написать 4х²/4,

т.к. это то же самое, что и х². Теперь, если мы вычтем

(¼)*х² из обеих частей равенства, то получим: ВD²=3х²/4,

т.к. (4/4)х²-(1/4)х²=(3/4)*х². Теперь извлечем корень из обеих частей равенства: ВD=((√3)*х)/2. А сторона ВD это и есть сторона, противолежащая углу в 60°,

вот мы и получили то, что хотели: если гипотенуза равна х,

то сторона, противолежащая углу в 30° равна х/2,

а сторона, противолежащая углу в 60°, – (√3/2)*х (или

((√3)*х)/2 – как вам больше нравится ).

На сегодня всё! До встречи на следующем уроке!