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Os sistemas computacionais
trabalham

com o sistema binário
de numeração,

ou seja, com o sistema
de base 2,

no qual nós trabalhamos
com os algarismos 0 e 1.

Portanto, é necessário
nós fazermos as conversões

de outros valores,
de outras bases,

geralmente a base 10,
para a base 2.

Nesse processo de
conversão entre bases,

existem erros que ocorrem

principalmente quando
nós fazemos a conversão

de números decimais,
números que têm casas decimais,

como dízimas não periódicas
para a base 2.

Então, há uma perda
das casas decimais

nesse processo de conversão.

Nós chamamos esse tipo de situação
de erros em conversões de bases.

Nós temos então
um tratamento estatístico,

que tem o objetivo de
minimizar esses erros,

ou minimizar essa
margem de erro

que acontece
e que deve ser prevista.

Nós trabalhamos em computação,
de maneira geral,

com três bases, com três
sistemas de numeração:

o sistema de base 2,
sistema binário,

o sistema de base 10,
também chamado de sistema decimal,

e o sistema de base 16,
que é o sistema hexadecimal,

no qual nós trabalhamos com
os 10 algarismos do sistema decimal

e mais letras que são
utilizadas para representar

números no sistema de base 16.

O sistema de base 10 trabalha
com 10 algarismos que vão de 0 a 9.

Esses algarismos são chamados
de algarismos indo-arábicos,

em homenagem à sua origem,

e, dessa forma, nós conseguimos
converter esses valores

desse sistema de base 10
para o sistema de base 2.

Vamos ver aqui um exemplo

onde a gente compreende
um pouco mais

esse sistema de
numeração de base 10,

que é um sistema
de numeração posicional.

Isso significa que nós trabalhamos
com potências de 10

associadas a cada um
dos algarismos

que fazem parte de um
determinado número.

Veja o exemplo aqui.

Sabendo que o sistema de base 10
é um sistema posicional,

nós vamos entender
que o valor associado

a um determinado algarismo
depende da sua posição no número.

Vamos ver então
alguns exemplos aqui.

No item A,
nós temos o número 25,

que nós podemos indicar também
como 25 na base 10.

Para simplificar, a gente
costuma indicar apenas 25 assim.

E aí nós entendemos
que o primeiro algarismo aqui,

que é o algarismo 5,
multiplica um 10 elevado a 0.

Já o segundo algarismo
da direita para a esquerda é o 2,

e ele multiplica o 10
elevado ao expoente 1.

Então, é por esse motivo que nós
chamamos de sistema posicional.

Isso indica que cada algarismo
multiplica uma determinada potência,

que está associada à base do número
que você está trabalhando.

Se é um número de base 10,
são potências de 10,

se é um número
de base 2, base 3, base 5,

são potências de 2, 3 e 5.

E se você fizer
esse cálculo aqui,

você vai observar que
o resultado é exatamente 25,

porque 10 elevado a 1 é 10,
vezes 2 vai dar 20,

e 10 elevado a 0 é 1,
qualquer valor elevado a 0 é 1,

e 1 vezes 5 é 5.

Então, você vai ficar com
20 somado com 5,

gerando 25 na base 10.

Mais um exemplo aqui,
o número 2784

nós também podemos escrever
como 2784 na base 10,

para deixar evidente que se trata
de um valor da base 10.

Dessa maneira,
nós entendemos então

que o algarismo 4,
que é o algarismo das unidades,

multiplica 10 elevado a 0.

O algarismo das dezenas, que é o 8,
multiplica 10 elevado a 1.

O algarismo das centenas, que é o 7,
multiplica 10 ao quadrado.

e o algarismo da unidade
de milhar, que é o 2,

multiplica 10 ao cubo.

Então, se você
fizer esse cálculo,

você vai chegar
exatamente em 2784.

São 2 vezes 1000,
que vai dar 2000,

7 vezes 100, que são 700,
8 vezes 10, que são 80,

e 4 vezes 1, na realidade,
que vai gerar 4.

Se você fizer 2000 mais 700
mais 80 mais 4,

você vai obter 2784.

Como nós sabemos,

os computadores trabalham
com um sistema de base 2,

que é conhecido
como sistema binário.

Além disso,
nós temos uma álgebra

que envolve todo esse
processamento na base 2,

que é conhecida como
álgebra de Boole ou booleana,

em homenagem a um matemático
inglês do século XIX

de sobrenome Boole.

E nesse caso, então,

nós temos uma gramática específica,
uma gramática algébrica

que trabalha com
esses algarismos 0 e 1,

que são os algarismos
do sistema binário,

e mais uma série de propriedades
e axiomas que nos permitem

desenvolver um sistema de forma
organizada, lógica e sistêmica,

atendendo uma série de condições
e propriedades dessa álgebra

que é chamada de álgebra booleana,
como eu comentei aqui.

Então, lembrando que
o sistema de base 2

também é um sistema posicional,
assim como o sistema de base 10.

Isso significa dizer o seguinte:

que cada algarismo
do sistema de base 2

está associado a uma certa
potência de base 2, justamente.

Então, nós entendemos
que o algarismo 1 aqui

multiplica 2 elevado a 0,

já esse algarismo 0
multiplica 2 elevado a 1,

e esse algarismo 1
multiplica 2 ao quadrado.

Se você fizer esse cálculo aqui,

veja que 2 ao quadrado é 4,
vezes 1 vai dar 4 mesmo,

2 elevado a 1 é 2,
vezes 0 vai dar 0,

e 2 elevado a 0 equivale a 1,
1 vezes 1 resulta em 1,

de maneira que, aqui,

você vai ficar com 4 mais 0
mais 1, resultando em 5.

Esse resultado que você
encontra aqui, que é o 5,

representa para nós a conversão
desse número para a base 10.

Portanto, o resultado 5
é 5 na base 10.

Assim, a gente diz que
o número 101 na base 2

corresponde ao número
5 na base 10.

Veja aqui mais um exemplo:
o número 1001, na base 2,

corresponde ao
número 9 na base 10.

Como a gente pode descobrir isso?

De maneira simples.

Basta lembrar, então,
que cada algarismo da base 2

está associado a uma
potência de 2,

sendo que o algarismo
aqui mais à direita

está associado a
uma potência de base 2

elevada a expoente 0.

Então, aqui é 2 elevado a 0,
2 elevado a 1, 2 ao quadrado

e 2 ao cubo.

Portanto, o algarismo 1
multiplica 2 ao cubo,

o algarismo 0
multiplica 2 quadrado,

o algarismo 0
multiplica 2 elevado a 1,

e esse último algarismo
aqui, que é 1,

multiplica 2 elevado a 0.

Agora, nós fazemos
as contas aqui.

2 ao cubo é 8,
vezes 1 vai dar 8 mesmo.

Isso aqui vai dar 0,
e isso aqui vai dar 0.

E aqui, 1 vezes 1 vai dar 1.

Então, você fica com 8
mais 0, mais 0, mais 1,

resultando em 9,
9 na base dez.

Veja outro exemplo aqui.

No caso de conversões, então,

de valores da base 2
para a base 10,

É só a gente lembrar
que cada algarismo

multiplica uma certa
potência de 2.

Então o algarismo zero
aqui mais à direita,

multiplica 2 elevado a 0,

o outro algarismo 0
já multiplica 2 elevado a 1,

e dessa maneira,

você tem esse algarismo 1
multiplicando 2 quadrado,

esse algarismo 1
multiplicando 2 ao cubo,

e esse primeiro algarismo aqui
multiplicando 2 à quarta.

Fazendo essas contas, então,
calculando a potência mesmo,

2 à quarta é 16,
vezes 1 dá 16.

2 ao cubo é 8, vezes 1 vai dar 8,
16 mais 8 é 24,

24 mais 4 é 28,
aqui e aqui é 0,

então, você tem 28 na base 10.

Veja o problema aqui.

Qual é o número
do apartamento do Bender,

que é um personagem
do desenho Futurama?

Aqui, a gente pode
dar uma consultada,

e você vai verificar que
o número que aparece no seriado

é esse número aqui: 00100100.

Esse número que aparece
lá no desenho, no seriado,

na verdade é um número
que está na base 2.

Então, nós podemos lembrar

que basta converter
esse número para a base 10.

Assim, a gente descobre
qual é o número

do apartamento do Bender
na base 10.

Na base 2 é isso aqui
mesmo, 00100100.

Então, lembrando que
cada algarismo multiplica

uma certa potência de 2,

a gente acaba ficando com
esse algarismo 0 aqui à direita,

multiplica 2 elevado a 0,

esse algarismo 0,
multiplica 2 elevado a 1,

e dessa forma 0
multiplica 2 quadrado,

esse 0 multiplica 2 ao cubo,

o 1 já vai multiplicar
aqui o 2 à quinta,

já esse 0 multiplica o 2 à sexta

e esse outro algarismo 0
multiplica 2 à sétima.

E aí, fazendo as contas,

veja que a gente tem vários locais
aqui onde o resultado é 0.

Aqui vai dar 0,
aqui vai dar 0, aqui vai dar 32,

aqui é 0, aqui é 0, aqui é 4,

aqui é 0 e aqui é 0.

Então, você fica com 32 mais 4
que é 36 na base 10.

Portanto, a gente pode dizer que o
número do apartamento do Bender

na base 10, é 36.

Nós também conseguimos converter

um número da base 10
para a base 2.

Esse processo é o processo inverso,
então, de conversão,

e nós trabalhamos
com uma técnica

que é chamada de técnica
das divisões sucessivas.

Ou seja, é um processo no qual você
considera um valor da base 10,

esse valor será sucessivamente
dividido por 2,

e aí você aproveita os valores que
surgem desse processo de divisão.

Veja alguns exemplos, então.

Vamos considerar
a conversão do 35 e do 19,

que são números da base 10
para a base 2.

Então, eu vou começar aqui
dividindo 35 por 2.

O resultado dessa divisão
é 17 e sobra 1,

veja que esse 1
é o resto da divisão.

35 dividido por dois
dá 17, sobra 1.

Agora, esse 17,
que foi o resultado da divisão,

eu divido por 2 novamente.

17 dividido por 2
dá 8, sobra 1,

8 dividido por 2
dá 4 e sobra 0.

4 dividido por 2
vai dar 2 e sobra 0,

e 2 dividido por 2
dá 1 e sobra 0.

Uma vez que você obteve
aqui o algarismo 1,

que foi a última divisão aqui,
2 dividido por 2 que dá 1,

a gente aproveita
esse quociente que é 1

e os demais restos da divisão.

Então repare que, nessa técnica
de divisões sucessivas,

você considera esse
último quociente,

que foi o algarismo 1,

e os demais restos que surgiram
nas divisões sucessivas,

nesse sentido aqui,
conforme essa flecha indica.

Então, veja que esse número 35,
convertido para a base 2,

é representado como 1000011.

Veja aqui, 1000011 na base 2.

Portanto, 35 na base 2

é esse número que nós
estamos observando aqui.

Vamos ver mais um exemplo:
o 19 para a base 2

é só dividir sucessivamente por 2,

já que você quer converter
para a base 2, nesse caso aqui.

Então, 19 dividido
por 2 vai dar 9,

9 vezes dois dá 18,
para 19 sobra 1,

9 por 2 dá 4, resta 1,

4 dividido por 2 vai dar 2,
2 vezes 2 dá 4, sobra 0,

2 dividido por 2 dá 1,

1 vezes 2 é igual a 2
e vai sobrar 0.

Agora, eu vou considerar
esse último quociente

e os demais restos
nesse sentido aqui,

da direita para a esquerda.

Portanto, o número 19
convertido para a base 2

vai ficar assim: 10011,
10011 na base 2.

A gente indica esse 2
pequenininho aqui

para reforçar que se trata
de um número da base 2.

Mais uma situação aqui, 67.

Veja: é só você dividir o 67
sucessivamente por 2,

observando os restos e
o último quociente que você obteve.

Dessa maneira, então,

considerando o último quociente
e todos os restos que surgiram,

e nesse sentido aqui,
da direita para a esquerda,

você vai obter a conversão
de 67 para a base 2,

que acabou resultando em 10000,
quatro zeros, 1 e 1 na base 2.

Dessa maneira, você sabe
como fazer conversões

de números da base 10
para a base 2.

Quando nós representamos
números inteiros

em um sistema computacional,
há uma técnica que é utilizada.

que nós chamamos
de sinal de magnitude.

Nesse caso,
um bit é reservado

para você indicar
qual é o sinal do número,

se ele é positivo
ou se é negativo.

Nós utilizamos o algarismo zero
lá do sistema de base dois

para indicar que o valor é positivo
à esquerda

e indicamos um à esquerda
do número da base

dois para indicar que aquele número
é negativo.

Essa técnica então é chamada
de sinal de magnitude

para a gente informar
se o número é positivo ou negativo.

Nós temos um desafio também
que consiste

na conversão de números decimais
para base dois.

Veja como fica esse processo.

Sendo assim,

para converter números da base dez
e apresentam casas decimais,

nós primeiro inicialmente
convertemos a parte inteira

à parte que está à esquerda
da virgula para a base dez

e em seguida a gente vai
duplicando os valores que surge.

A parte decimal.

A gente vai multiplicando
sucessivamente por dois, duplicando

até que a gente
não tenha mais a parte decimal.

Essa parte fracionária.

Observando o exemplo
aqui vai ficar um pouco mais claro.

Por exemplo,
eu tenho um número 0,1875

e esse número está na base dez
e um número decimal.

Mesmo aqui convencional, 0,1875.

E eu quero converter esse número
para a base dois.

Então esse número
ele corresponde a um certo X na base

dois, digamos assim, para isso.

Então a gente vai observar

que a parte inteira aqui, a parte
que está à esquerda da vírgula,

é zero.

Então, como a parte que está
à esquerda da vírgula é zero

na parte de na parte
que fica à esquerda da vírgula,

na base dois,
a gente também vai ter zero.

Se nós tivéssemos um outro valor
aqui,

à esquerda da vírgula,
nós iríamos utilizar o método

das divisões sucessivas
para determinar

como ficaria esse número
na base dois.

E aí, feita a conversão, eu deixaria
aqui à esquerda da vírgula

o valor que corresponde
a parte inteira aqui convertido

para a base dois, justamente aqui
à esquerda da vírgula.

Agora, como no caso é zero,
então a gente manteve o zero

à esquerda da vírgula.

O desafio é converter
esse, esse 18 75

que a casa decimal aqui para a base
dois para isso.

Então a gente multiplica por dois.

Veja que o resultado dá 0,3750.

Agora a gente segue com essa parte
decimal,

que é O3750 ou 0,3750,
também multiplicado por dois.

Mais uma vez a parte decimal,

que é o 0,75002750 D750
multiplica por dois.

Veja que o resultado vai dar
1,5 1,5 1,50.

Na próxima etapa
eu vou levar só a parte decimal,

que é o 0,50, não 1,50.

Repare só, só o 0,50 vem
pra cá e você multiplica por dois

e veja que o resultado vai dar
um número inteiro da um.

Então, como aqui
eu cheguei em um valor inteiro

a gente para o processo
de duplicação de multiplicação

por dois,
e aí basta a gente considerar então

esses algarismos que nós destacamos
aqui na cor laranja.

Veja que nós consideramos esse valor
que está à esquerda de zero

zero à esquerda da vírgula,
melhor dizendo,

que é O001 e um.

Então esses quatro algarismos aqui

eles representam os quatro
algarismos da parte decimal.

Portanto, a parte inteira
aqui desse número na base dez é zero

e a parte inteira na base dois
acabou ficando zero também.

A parte decimal desse número da base
dois é 18 75

e convertendo esse 18 75
para a base dois, a gente acabou

encontrando esse zero zero
um na base dois.

Veja então que é dessa forma
que a gente faz a conversão

de um número decimal da base
dez para base dois.

Vamos ver um segundo exemplo,
onde esse processo de conversão

de um número decimal para base
dois acaba gerando, por exemplo,

uma situação de indefinição
do número de casas decimais

e, consequentemente,
um tipo de erro em computação.

Logo após esse processo,
então, de multiplicação sucessiva

por dois, nós encontramos
então esses algarismos que ficaram

aqui destacados na cor laranja.

Vamos então

aproveitar justamente
esses algarismos que vão representar

a parte decimal do número
na base dois,

assim como 18 75
representa a parte decimal

do número na base dez

+11001

representa a parte decimal do número

na base dois,

então observe que nesse caso,

para a conversão de números decimais

para base dois,
nós utilizamos esse método

de duplicação sucessiva
da parte decimal do número.

É um processo então,
que nos permite fazer esse tipo

de conversão de decimais na base
dez para base dois.

Vamos ver um outro exemplo
onde essa conversão

de um número decimal da base
dez para base dois

acaba gerando
uma indefinição de casas decimais

e, consequentemente,
um tipo de erro em computação.

Nesse exemplo dois
Nós vamos considerar então

o número 0,1 vez um decimal
muito comum em termos percentuais,

isso aqui seria 10%, por exemplo,
a famosa taxa percentual de 10%.

Bem, 0,1
pra ser bem preciso na base dez

eu quero saber como é que fica 0,1,

que é o número da base
dez na base dois.

Então o processo é esse aqui.

A parte inteira é zero mesmo
e a parte decimal

é o 0,1 e o vírgula um que fica aqui
à direita da vírgula.

Esses 0,1 eu multiplico por dois,
o que vai gerar 0,2.

E aí agora
eu considero a parte decimal

destaque para o zero aqui,
a esquerda da vírgula

e a parte decimal que é zero dois,
eu multiplico por dois novamente,

o que vai gerar 0,4.

Destaque para o zero.

A parte decimal quer 0,4.

Eu duplico novamente, gerando 0,8.

Duplico novamente gerando 1,6.

Agora repare que o que eu levo
para a próxima etapa não é 1,6.

O que eu levo
para a próxima etapa de duplicação

é só a parte decimal,
que é o 0,6 vezes dois.

Isso aqui vai gerar 1,2.

Novamente, repare que
para a próxima etapa de duplicação,

o que eu levo é a parte decimal.

Mantém o algarismo
um aqui e leva o 0,2

para ser duplicado, gerando o 0,4.

Entretanto, quando chega aqui,
eu acabo percebendo que nós voltamos

para essa etapa,
onde já tinha aparecido 0,4.

Isso significa que daqui para frente

esse processo vai ficar
se repetindo indefinidamente.

Então, na

conversão de 0,1 para a base dois,

acaba ocorrendo
esse tipo de situação aqui.

Nós dizemos
então que o número que corresponde

a 0,1 na base dois, ele acaba
ficando com esse aspecto aqui.

Veja só zero zero zero

já indicamos aqui
zero zero zero à direita da vírgula.

Depois nós temos o um e O111

e depois o processo
começa a se repetir novamente.

Aí a gente acaba
recomeçando o processo.

+1001001

Então você tem uma dízima periódica
na base dois.

Veja, é um número decimal
e um decimal exato na base dez.

E no momento de fazer a conversão
para a base dois,

eu acabo me deparando aqui
com uma dízima periódica.

E aí nós temos a questão
da limitação do número

de casas decimais que o computador
que nós estamos utilizando

pode oferecer.

Como nós temos um número finito
de casas decimais a disposição,

nós então vamos acabar por trabalhar
com apenas algumas casas decimais

dessa conversão de 0,1 para base
dois.

Um teste que nós podemos fazer aqui
é o processo inverso,

onde eu considero aquele número da
base dois que nós acabamos de obter

convertido para a

base dez, ou seja,
nós convertemos o 0,1

que estava na base
dez para a base dois.

Encontramos aquele resultado,
aquela dízima periódica.

Perfeito!

Agora eu vou considerar aquela
dízima periódica que está na base.

Dois.

Nós somos convém ter para base dez.

Veja como fica então o resultado
nesse tipo de conversão.

Se nós considerarmos
então o número 0,1 que está na base

dez, convertido para a base dois,
nós encontramos esse número aqui.

Vimos o processo no slide anterior,

agora,
fazendo a transformação inversa.

Se nós convertermos esse número
da base dois para base dez,

veja aqui, a gente acaba
encontrando esse valor aqui

de 0,099601937500.

Veja que esse valor
ele fica próximo do 0,1

na realidade, porque 0,099
está muito próximo de 0,1.

Entretanto,
já não é mais exatamente 0,1,

então dependendo do número
de casas decimais que utilize aqui

no processo inverso de conversão
para a base dez,

veja que o número
já não volta mais para 0,1,

por exemplo.

Nesse caso aqui,
se você fizer 0,1 menos esse valor.

Para você ver
qual é a diferença aqui você vai ver

que nós temos aqui
um erro absoluto de 0,0039.

Esse erro aqui é um erro absoluto
e a diferença direta

entre o número que está na base dez,
o número original

e o número que a gente obteve
após essa transformação inversa.

E esse tipo de situação então gera
um problema, gera um tipo de erro

no processo de trabalho,
com números que estão na base

dez e serão convertidos
para a base dois e vice versa.

Sendo assim,

é necessário fazer a previsão
no sistema desses tipos de erros.

Nós temos informações
que ficam disponíveis nos sistemas,

deixando claro
então quais são os erros

que essas conversões entre bases
estão gerando.

Nós temos
inclusive uma área muito grande na

no tratamento de erros,
que é representada pelas normas.

Nós temos diferentes tipos de normas
que estabelecem quais são essas,

essas margens de erros envolvidas
nessas conversões de base.

Um exemplo que nós trouxemos aqui
é justamente essa conversão

de números decimais
que estão na base dez

para números decimais
que ficam na base dois,

onde nós podemos notar
esses erros que vão ocorrer

e daí a importância de se fazer
essa previsão dos erros,

buscando sempre
a minimização desses erros e.