arctan(2x) 幂级数 | 级数 | AP Calculus BC | Khan Academy 可汗学院

通过将 arctan(2x) 的导数表示为幂级数并对该级数积分的方式，我们可以将 arctan(2x) 表示为幂级数。你不得不承认这是非常巧妙的。

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[讲师] 在这个视频中，

我想要和大家一起来找到

以零点为中心的arctan(2x)

的幂级数表达式，

或者说是幂级数近似。

或者我们说，要找到以零点为中心的

arctan(2x)的幂级数近似的

前四个非零项。

所以实际上就是

arctan(2x)的麦克劳林 (Maclaurin) 级数的前四个非零项。

如果你觉得有信心的话，

我鼓励你暂停视频，

试试看你能不能独立找到答案。

现在也许你已经自己尝试了一下，

并且求出了

一阶导数。

你可能注意到了，

arctan(2x)对于x的导数

等于... 这里是一个知识点，

也许你第一次没有注意到，

arctan(x)的导数

等于1加x^2分之1，

所以这里的

导数就等于

1加这项的平方分之2，

所以它就是1加4x^2，

然后，当你试着找到接下来的

麦克劳林级数项时，

你会继续对它求解导数，

这个过程很快会变得非常复杂，

尤其是当你需要

找到前四个非零项时。

这时候估计你会意识到：

哦，也许这里有什么

我还没有学到的知识点，

因为我只能

硬着头皮

去找幂级数，

去找到在零处的arctan(2x)

的幂级数的前四个非零项。

如果你这么想那就对了，这里确实有一个关键知识点。

这个关键知识点是，

与其直接找导数，

让我们来看看能不能找到

这个式子的幂级数的前四项，

然后我们可以求它的反导数，

这样来找到

arctan(2x)的幂级数，

并且确认我们的常数正确，

符合我们以零为中心的条件。

我大概猜到你在想什么了，

也许是觉得这样看起来会让我们

遇到同样的问题。

如果我想找到这个式子的幂级数的

前四项，

我还是需要多次对它求导，

这不是和之前一样麻烦吗？

但是这里的关键知识点是这样的，

让我们说有函数f(x)

等于arctan(2x)

的导数，

也就是2，除以

1加4x^2。

如果我们有另一个函数

可以稍微简化它额话，

我们求导的时候

就不用遇到这些复杂的部分了。

那么让我们设另一个函数g(x)，

--让我用一个没用过的颜色--

设我们有函数g(x)

等于1，除以1加x。

这是一个很有意思的式子，因为他非常简单，

它和

(1+x)^-1是一样的。

g(x)很有趣，因为对它

求导是非常简单的。

例如，g’(x)

等于... 根据链式法则，

1加x的导数就只是等于1，

所以它的导数就等于

-(1+x)^-2。

然后如果我想找它的二阶导数，

g''(x)，就等于... 这里就是负2

乘以负1，所以它就等于

2(1+x)^-3,。

然后如果我想要找到三阶导数，

它就等于...我们看看...

负3乘以2，等于负6，

所以就是-6(1+x)^-4。

这里你可能会说：‘’老师，

我们要想的不是这个式子吗？

为什么在算另一个？”

先跟着我的思路来一下。

在很短的时间里，

我找到了g(x)的一二三阶导数，

这样一来，找到它的

幂级数的前四项就很简单了，

尤其是麦克劳林

级数，也就是在

x等于零时的幂级数，

我们只需要将它们每一个在x等于零处求值。

那么g(0)就等于1，

g'(0)

就等于负1，

g''(0)

就等于1加零的负3次方，

也就是1，再乘以2，就等于2。

然后，三阶导数在x等于零时

等于负6。

所以我就可以写，g(x)，

约等于...

在这里我只写出前四项，

也就是g(0)，就是1，

减去g'(0)乘以x，

负1乘以x，所以就是减x，

加g''(0)，

2除以2!乘以x^2，

也就是1乘以x^2，

让我这样来写。

所以这里就是加x^2,

然后，加g'''(0)，

也就是负6除以3!

乘以x^3。

3!等于6，

所以负6除以6就等于负1，

所以这里就是减去x^3。

我知道你在想什么，

你在想：“我们开始的时候有一个复杂的问题，

这里又提了一个简单的问题，

我们找到简单问题的幂级数，

这又有什么用呢？”

其实这就是我在这个视频里

一直在承诺的关键知识点。

这个我们期待已久的知识点...

--让我找一个适合关键知识点的颜色--

就是我们可以将f(x)改写为...

这里注意了，f(x)其实就是

2，乘以

g(4x^2)。

注意，将x替换为4x^2，

你就会得到1除以1加4x^2，

然后如果你将整式乘以2，

你就会得到这里的这个式子。

所以，如果f(x)等于它，

那么f(x)的幂级数表达式

就等于取这个幂级数，

或者说至少是它的前四项，

然后将x全部替换为4x^2，

然后将整式乘以2。

那么现在我们来这样做。

我们可以写

f(x)...

我们可以写f(x)

约等于

2乘以这个式子

在x等于4x^2时的值。

所以，这里就是1减去

4x^2，

加x^2，但是替换后

就是4x^2的平方，

所以就是4x^2的平方，

也就等于16x^4，

让我这样写。

所以这里就是，加上16x^4。

最后，要减去x^3，

但是现在我们的x等于4x^2,

所以就是减去4x^2的三次方。

那么它等于64x^6，

所以让我写成减去

64x^6。

然后我们就可以写

f(x)约等于...

让我们来分配这个2，2减去8x^2，

加32x^4，

减128x^6,。

就像这样，利用一点替换的方法，

我就能以一种相对简单的方式

找到2/(1+4x^2)的

幂级数的前四个非零项。

最后得到的

也就是

arctan(2x)的幂级数

的导数。

那么让我们写下来，

我要写...

arctan(2x)...

arctan(2x)

等于

f(x)dx的反导数，

也就等于这个式子的

反导数。

也就是

2减8x^2，

加32x^4，减去

128x^6。

让我把它改成约等于符号，

因为我们是在用

幂级数求近似值。

dx。所以这个式子又等于什么呢？

约等于...

等一下，这里我将会有一个常数，

让我先把常数写出来，

因为当我们写幂级数或者麦克劳林级数时，

第一项是常数项，

是我们函数在零处的值。

所以我将会有一个常数。

然后当我取2的反导数，

我会得到2x。

这一项的反导数... x的三次方，

8除以3，

就得到-8/3x^3，

然后加上32x^5

除以5，

减去128x^7

除以7。

我们就快结束啦。

我们至少已经有四个非零项了，

如果这个也不是零，

我们就有五个非零项。

现在让我们确认

我们的常数是符合

arctan(2x)的。

简单来说，这就是

x等于零时，arctan(2x)的值。

所以arctan(0)等于多少呢？

要记得这是以零为中心的，

所以我们最好在这里得到正确的结果，

这是进行麦克劳林级数表示

时最基本的要求。

我们以零为中心，

所以我们在零处的近似值

应该与函数在零点时的值相同。

2乘以0

就等于0，

所以，求这个式子在零处的值时，

这个式子就等于C，

所以C必须等于零。

x等于零时，如果我们想让整式等于零，

C必须等于零。

就像这样，我们就结束啦。

我们找到了

arctan(2x)

约等于

2x减8x^3

加32/5x^5

减128/7x^7。

如果我们想要更多项，

也通过我们

刚才的方法

找到更多项。

希望你喜欢这个相对复杂的问题，

不过就像你在视频中看到的，

它并没有想象中那么复杂。