< Return to Video

Chuỗi lũy thừa của arctan(2x) | Chuỗi| AP Giải tích BC | Khan Academy

  • 0:00 - 0:02
    Điều mà chúng ta sẽ làm
  • 0:02 - 0:06
    trong video này là tì m
    biểu diễn chuỗi lũy thừa
  • 0:06 - 0:11
    hoặc tìm xấp xỉ chuỗi lũy thừa
  • 0:11 - 0:14
    của artan
  • 0:14 - 0:17
    của hai x hội tụ tại 0
  • 0:17 - 0:21
    và giả sử ta có 4 số hạn đầu tiên khác không
  • 0:21 - 0:24
    của gần bằng chuỗi lũy thừa
    của arctan
  • 0:24 - 0:26
    của hai x hội tụ tại 0
  • 0:26 - 0:29
    vì vậy về cơ bản nó là
    chuỗi Maclaurin của arctan
  • 0:29 - 0:32
    của hai x, bốn số hạng đầu tiên khác không.
  • 0:32 - 0:34
    Nếu bạn có thể giải được,
  • 0:34 - 0:35
    mình khuyến khích bạn tạm dừng video
  • 0:35 - 0:37
    và thử giải nó.
  • 0:38 - 0:41
    Bạn có thể giải bài toán này
  • 0:41 - 0:42
    bằng cách lấy đạo hàm
  • 0:42 - 0:43
    cấp một.
  • 0:43 - 0:46
    Bạn có thể đã thấy rằng,
  • 0:46 - 0:50
    d trên dx của artan
  • 0:50 - 0:54
    của 2x
  • 0:54 - 0:56
    nếu bạn không nhận ra nó lần đầu tiên.
  • 0:56 - 0:58
    Nó sẽ là
    đạo hàm của arctan của x
  • 0:58 - 1:01
    là một trên một cộng x bình phương
  • 1:01 - 1:03
    vì vậy đây sẽ là
  • 1:03 - 1:06
    đạo hàm của cái này là hai
  • 1:06 - 1:09
    trên một cộng với toàn bộ điều này bình phương.
  • 1:09 - 1:14

    Một cộng với bốn x bình phương
  • 1:14 - 1:18
    và sau đó khi
    tìm thêm các số hạng
  • 1:18 - 1:20
    của chuỗi Maclaurin,
  • 1:20 - 1:22
    bạn sẽ lấy
    đạo hàm hơn
  • 1:22 - 1:24
    và nó sẽ có rất phức tạp,
  • 1:24 - 1:26
    rất nhanh nếu bạn đang tìm kiếm
  • 1:26 - 1:28
    cho bốn số hạng đầu tiên khác không.
  • 1:28 - 1:30
    Nó sẽ rất khó và cần bạn
  • 1:30 - 1:31
    phải hiểu vấn đề này.
  • 1:31 - 1:34
    và mình cũng không khuyến khích việc
  • 1:34 - 1:36
    làm cho cho qua
  • 1:36 - 1:39
    mà hãy cố gắng hiểu
  • 1:39 - 1:40
    về chuỗi lũy thừa,
  • 1:40 - 1:43
    bốn số hạng đầu tiên khác không của chuỗi lũy thừa
  • 1:43 - 1:45
    hội tụ tại không artan của 2x
  • 1:45 - 1:48
    Đây là điểm mấu chốt của bài toán.
  • 1:48 - 1:50
    Cụ thể là
  • 1:50 - 1:52
    thay vì làm điều đó trực tiếp,
  • 1:52 - 1:54
    hãy xem nếu chúng ta có thể
    tìm chuỗi lũy thừa
  • 1:54 - 1:58
    đại diện, bốn số hạng đầu tiên là
  • 1:58 - 2:01
    ngay tại đây và sau đó chúng tôi
    lấy nguyên hàm
  • 2:01 - 2:03
    trong số đó để tìm chuỗi lũy thừa
  • 2:03 - 2:05
    arctan của hai x đảm bảo
  • 2:05 - 2:06
    rằng chúng ta có hằng số mà
  • 2:06 - 2:09
    hội tụ
  • 2:09 - 2:12
    tại 0.
  • 2:12 - 2:14
    Hmmm, chúng ta đang có
  • 2:14 - 2:15
    cùng một vấn đề.
  • 2:15 - 2:18
    Nếu mình muốn tìm chuỗi lũy thừa
    đại diện cho điều này,
  • 2:18 - 2:19
    thì bốn số hạng đầu tiên của nó thì
  • 2:19 - 2:21
    Ta vẫn phải lấy
    tích phân của cái này
  • 2:21 - 2:23
    nhiều lần vì vậy nó có vẻ khá khó.
  • 2:23 - 2:26
    Nhưng đây là điểm mấu chốt.
  • 2:26 - 2:29
    F của x
  • 2:30 - 2:32
    thì đạo hàm là
  • 2:32 - 2:33
    artan của 2x
  • 2:33 - 2:35
    thì là hai trên
  • 2:35 - 2:38
    một cộng với bốn x bình phương.
  • 2:39 - 2:43
    Bây giờ, nếu chúng ta có một hàm số khác
  • 2:43 - 2:44
    mà nó đơn giản hơn
  • 2:44 - 2:46
    hãy để mình viết cho nó đơn giản để
  • 2:46 - 2:48
    ta dễ dàng lấy đạo hàm.
  • 2:48 - 2:50
    Giả sử chúng ta có một hàm khác g của x,
  • 2:50 - 2:52
    Mình viết bằng màu khác nhé.
  • 2:53 - 2:56
    Giả sử rằng mình g của x
  • 2:56 - 3:00
    g của x
  • 3:00 - 3:03
    Hàm số này đơn giản hơn đúng không nào?
  • 3:03 - 3:07
    1 cộng x
  • 3:07 - 3:08
    mũ trừ một.
  • 3:08 - 3:11
    mình sẽ lấy
  • 3:11 - 3:14
    đạo hàm của nó.
  • 3:14 - 3:16
    g phẩy của x
  • 3:16 - 3:18
    bằng
  • 3:18 - 3:20
    đạo hàm một cộng với x chỉ là một
  • 3:20 - 3:23
    vì vậy nó sẽ bằng
    âm một cộng với x
  • 3:23 - 3:24
    mũ trừ hai
  • 3:24 - 3:26
    nếu mình muốn lấy
    đạo hàm cấp hai của đó.
  • 3:26 - 3:29
    thì g phẩy phẩy của x đó là
    sẽ là hai
  • 3:29 - 3:32
    nhân với một cộng x
  • 3:32 - 3:34
    mũ trừ 3
  • 3:34 - 3:38
    Nếu mình muốn lấy đạo hàm cấp 3 thì
  • 3:38 - 3:40
    đó sẽ là, hãy xem.
  • 3:40 - 3:42
    Trừ ba nhân hai là âm sáu
  • 3:42 - 3:45
    nhân với một cộng với x mũ âm bốn.
  • 3:45 - 3:46
    Tại sao chúng ta
  • 3:46 - 3:47
    cần đạo hàm đến ba bậc
  • 3:47 - 3:48
    Đây là mấu chốt
  • 3:48 - 3:50
    của bài toán
  • 3:50 - 3:52
    Chỉ cần nói một cách nhanh chóng, tôi đã có thể tìm thấy
  • 3:52 - 3:54
    ba đạo hàm đầu tiên của g của x
  • 3:54 - 3:57
    và rất dễ dàng sau đó
    tìm bốn số hạng đầu tiên
  • 3:57 - 3:59
    biểu diễn chuỗi lũy thừa của nó
  • 3:59 - 4:00
    đặc biệt là Maclaurin,
  • 4:00 - 4:01
    đó là chuỗi Maclaurin
  • 4:01 - 4:03
    nếu chuỗi lũy thừa hội tụ tại không.
  • 4:03 - 4:05
    Chúng ta chỉ phải đánh giá
    mỗi cái này bằng 0.
  • 4:05 - 4:09
    g của 0 bằng một,
  • 4:09 - 4:11
    g phẩy của 0
  • 4:12 - 4:14
    bằng âm một.
  • 4:14 - 4:16
    g phẩy phẩy của 0,
  • 4:18 - 4:19
    vì vậy một cộng không và
    sau đó là âm ba,
  • 4:19 - 4:21
    đó chỉ là một lần hai là bằng hai
  • 4:21 - 4:26
    và sau đó là đạo hàm bậc 3 được tính tại 0
  • 4:26 - 4:28
    bằng âm sáu.
  • 4:28 - 4:31
    Mình có thể viết g của x
  • 4:33 - 4:34
    gần bằng,
  • 4:34 - 4:36
    bốn số hạng đầu tiên là đây
  • 4:36 - 4:39
    sẽ là g của 0 là 1
  • 4:39 - 4:42
    trừ g phẩy của không nhân x.
  • 4:42 - 4:46
    Đó là trừ một lần
    x, vì vậy đó là trừ x
  • 4:48 - 4:51
    cộng g phẩy phẩy của 0
  • 4:51 - 4:55
    hai trên hai giai thừa x bình phương.
  • 4:55 - 4:57
    Đây chỉ là một nhân x bình phương
  • 4:57 - 4:58
    Mình viết ra nhé
  • 4:58 - 5:03
    Đó chỉ là cộng x bình phương
  • 5:03 - 5:08
    và sau đó chúng ta có thêm g
    ba phẩy của 0
  • 5:08 - 5:11
    là âm sáu trên ba giai thừa
  • 5:11 - 5:12
    nhân x mũ ba.
  • 5:12 - 5:14
    Ba giai thừa là sáu
  • 5:14 - 5:16
    âm sáu chia cho
    sáu là âm một.
  • 5:16 - 5:19
    Đó sẽ là trừ x mũ ba,
  • 5:20 - 5:24
    trừ x mũ ba
  • 5:24 - 5:26
    Có thể nói chúng ta bắt đầu từ một bài toán khá khó
  • 5:26 - 5:28
    và mình làm cho đề dễ hơn nhiều
  • 5:28 - 5:30
    để tìm biểu diễn chuỗi lũy thừa.
  • 5:30 - 5:31
    Vậy cái này hữu dụng là sao?
  • 5:31 - 5:33
    Dây là điểm mấu chốt
  • 5:33 - 5:35
    trong suốt video này cho đến nay.
  • 5:35 - 5:40
    Đó là gì?
  • 5:40 - 5:43
    Mình sẽ viết một màu khác nhé
  • 5:43 - 5:45
    Để thể hiện cho f của x
  • 5:45 - 5:48
    Ta thấy rằng f của x thì bằng 2 lần
  • 5:48 - 5:51
    thì bằng 2 lần
  • 5:51 - 5:55
    g của bốn x bình phương.
  • 5:55 - 5:59
    Có thể thấy rằng bạn có thể thay thế
    x với bốn x bình phương.
  • 5:59 - 6:01
    Bạn sẽ có một
    trên một cộng với bốn x bình phương
  • 6:01 - 6:03
    và sau đó bạn nhân lên
    cả biểu thức với 2,
  • 6:03 - 6:05
    bạn nhận được điều này ngay tại đây.
  • 6:06 - 6:08
    Nếu f của x bằng thì
  • 6:08 - 6:10
    thì f của x sẽ biểu diễn chuỗi lũy thừa
  • 6:10 - 6:13
    nó sẽ trở thành
    lấy chuỗi lũy thừa này
  • 6:13 - 6:15
    hoặc ít nhất là bốn số hạng đầu tiên của nó
  • 6:15 - 6:17
    sẽ được thay thế x bằng bốn x bình phương
  • 6:17 - 6:20
    và sau đó nhân
    cả hai lần,
  • 6:20 - 6:21
    vì vậy làm thôi nào.
  • 6:22 - 6:25
    Ta có thể viết
  • 6:25 - 6:26
    f của x,
  • 6:27 - 6:29
    vì vậy chúng ta có thể viết f của x
  • 6:30 - 6:32
    sẽ gần bằng
  • 6:34 - 6:37
    hai lần điều này,
  • 6:37 - 6:40
    là giá trị khi x bằng bốn x bình phương.
  • 6:40 - 6:44
    Nó sẽ là một trừ
  • 6:44 - 6:46
    bốn x bình phương
  • 6:46 - 6:49
    cộng với x bình phương được thay thế
  • 6:49 - 6:51
    bằng bốn x bình phương tất cả bình phương
  • 6:51 - 6:54
    thì sẽ bằng
  • 6:54 - 6:57
    16 x mũ bốn
  • 6:57 - 6:58
    vì vậy hãy để mình viết nó,
  • 6:58 - 7:02
    là cộng với 16 x mũ bốn
  • 7:02 - 7:04
    và cuối cùng trừ x mũ ba
  • 7:04 - 7:06
    ta thay thế x bằng bốn x bình phương
  • 7:06 - 7:10
    vì vậy nó là bốn x bình phương tất cả mũ ba
  • 7:10 - 7:13
    Đó sẽ là 64 x mũ sáu.
  • 7:13 - 7:17
    Để mình viết nó, trừ đi 64
  • 7:17 - 7:19
    x mũ sáu
  • 7:19 - 7:21
    Vì vậy
  • 7:21 - 7:23
    f của gần bằng
  • 7:23 - 7:28
    chúng ta nhân lần lượt hai vào biểu thức là hai trừ bám x bình phương
  • 7:28 - 7:31
    cộng 32 x mũ 4
  • 7:31 - 7:35
    trừ 128 x mũ 6
  • 7:35 - 7:38
    Chỉ như vậy với một chút
    một chút thay thế,
  • 7:38 - 7:41
    chúng ta đã
  • 7:41 - 7:44
    tìm bốn thuật ngữ khác không đầu tiên
  • 7:44 - 7:48
    của chuỗi lũy thừa của hai
    trên một cộng với bốn x bình phương
  • 7:48 - 7:50
    là đạo hàm,
  • 7:50 - 7:51
    của chuỗi lũy thừa
  • 7:51 - 7:55
    arctan
  • 7:55 - 7:57
    của hai x.
  • 7:57 - 8:00
    Hãy viết ra nhé
  • 8:00 - 8:01
    Mình sẽ viết ra
  • 8:02 - 8:04
    vậy arctan của hai x,
  • 8:05 - 8:09
    arctan của hai x
  • 8:10 - 8:13
    tương đương với một nguyên hàm
  • 8:13 - 8:15
    f của x,
  • 8:17 - 8:21
    dx sẽ là
    bằng với đạo hàm
  • 8:21 - 8:23
    của toàn bộ biểu thức này.
  • 8:23 - 8:28
    Nguyên hàm của hai trừ tám
  • 8:28 - 8:32
    trừ tám x bình phương cộng với 32
  • 8:32 - 8:35
    x mũ bốn trừ 128
  • 8:35 - 8:36
    x mũ sáu.
  • 8:36 - 8:39
    Trên thực tế, chúng ta chỉ tính gần bằng
  • 8:39 - 8:42
    bởi vì chúng ta chỉ có thể làm gần đúng
  • 8:42 - 8:43
    với chuỗi lũy thừa.
  • 8:43 - 8:47
    Dx. Vậy cái này sẽ bằng bao nhiêu?
  • 8:47 - 8:51
    Lấy gần bằng
  • 8:51 - 8:53
    thì ta sẽ nhận được một hằng số ở đó.
  • 8:53 - 8:54
    Mình sẽ viết hằng số đầu tiên
  • 8:54 - 8:56
    bởi vì khi chúng ta viết chuỗi lũy thừa hoặc chuỗi Maclaurin thì
  • 8:56 - 8:58
    số hạng đầu tiên là số hạng không đổi.
  • 8:58 - 9:01
    Chúng ta
  • 9:01 - 9:02
    sẽ có một hằng số,
  • 9:02 - 9:04
    nếu mình dùng nguyên hàm của hai
  • 9:04 - 9:07
    đó sẽ là cộng hai x.
  • 9:07 - 9:10
    Nguyên hàm
    của x mũ ba
  • 9:10 - 9:12
    chia tám cho ba
  • 9:12 - 9:16
    vì vậy nó âm 8/3 x mũ ba.
  • 9:16 - 9:21
    sau đó cộng 32 x mũ năm
  • 9:21 - 9:23
    trên năm
  • 9:23 - 9:28
    trừ 128 x mũ 7
  • 9:28 - 9:30
    trên bảy.
  • 9:30 - 9:32
    Chúng ta đã đi đến phần cuối cùng.
  • 9:32 - 9:35
    Chúng tôi có ít nhất bốn số hạng,
  • 9:35 - 9:36
    nếu đây là số khác không
  • 9:36 - 9:38
    sẽ có năm số hạng khác
  • 9:38 - 9:39
    nhưng bây giờ hãy chắc chắn rằng
  • 9:39 - 9:41
    hằng số là
    đúngcho arctan
  • 9:41 - 9:42
    của hai x.
  • 9:42 - 9:45
    Về cơ bản, điều này được tính khi
  • 9:45 - 9:50
    hàm số này khi x bằng 0
  • 9:50 - 9:52
    Vậy arctan của không là gì?
  • 9:52 - 9:55
    Hãy nhớ là được hội tụ ở 0
  • 9:55 - 9:56
    vì vậy tốt hơn chúng ta nên làm ngay tại đó.
  • 9:56 - 9:58
    Đây là điều cơ bản nhất
  • 9:58 - 10:01
    nếu chúng ta đang làm chuỗi Maclaurin.
  • 10:01 - 10:02
    Chúng ta biết là hội không
  • 10:02 - 10:06
    vì vậy có thể ước tính gần bằng 0
  • 10:06 - 10:08
    điều này đồng nghĩa là hàm số được tính tại 0
  • 10:08 - 10:11
    arctangent của hai lần 0
  • 10:11 - 10:13
    là 0
  • 10:13 - 10:16
    và điều này khi
    bạn đánh giá nó bằng 0,
  • 10:16 - 10:18
    Vậy C
  • 10:18 - 10:20
    phải bằng không.
  • 10:20 - 10:25
    C phải bằng 0 nếu
    chúng tôi muốn điều này bằng không
  • 10:25 - 10:27
    khi X bằng không.
  • 10:27 - 10:29
    Cứ như vậy là xong.
  • 10:30 - 10:32
    Chúng ta đã có thể tìm ra được arctan đó
  • 10:32 - 10:34
    của hai x
  • 10:35 - 10:37
    gần bằng
  • 10:37 - 10:42
    hai x trừ 8/3 x mũ 3
  • 10:42 - 10:46
    cộng với 32 phần năm x mũ thứ năm
  • 10:46 - 10:51
    trừ 128 trên bảy x mũ bảy.
  • 10:51 - 10:52
    Nếu chúng ta muốn có thêm số hạng,
  • 10:52 - 10:54
    chúng tôi có thể nhận được nhiều số hạng hơn
  • 10:54 - 10:55
    bằng cách làm như những gì chúng ta vừa làm
  • 10:55 - 10:57
    điều đó cho nhiều số hạng hơn.
  • 10:57 - 11:01
    Hy vọng rằng bạn thích
    bài toán phức tạp này.
  • 11:01 - 11:04
    nhưng như bạn đã thấy nó không phải
    phức tạp như bạn nghĩ.
  • 11:04 - 11:05
    nó sẽ giải được thôi.
Title:
Chuỗi lũy thừa của arctan(2x) | Chuỗi| AP Giải tích BC | Khan Academy
Description:

Chúng ta có thể biểu diễn arctan (2x) với một chuỗi lũy thừa bằng cách biểu diễn đạo hàm của nó dưới dạng một chuỗi lũy thừa và sau đó tích phân chuỗi đó. Đây sẽ là một cách tối ưu nhất đấy.

Hãy tự luyện bài này trên KhanAcademy.org ngay bây giờ: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series/e/creating-power-series-from-geometric -series-using-difference-and-integration? utm_source = YT & utm_medium = Desc & utm_campaign = APCalculusBC

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series/v/power-series-using-integration?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series/v/rep- Chức-with-geometric-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

AP Calculus BC trên Khan Academy: Tìm hiểu AP Calculus BC - mọi thứ từ AP Calculus AB cùng với một vài tính năng bổ sung, chẳng hạn như chuỗi Taylor, để chuẩn bị cho Bài kiểm tra AP

Về Khan Academy: Khan Academy cung cấp những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập theo từng cá nhân nhằm cho phép người dùng độc lập về thời gian và không gian trong quá trình học tập bên ngoài lớp học. Chúng tôi tự hào mang đến các chương trình dạy về Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Các nhiệm vụ trong phần Toán học hướng dẫn học sinh trình độ Mẫu giáo sử dụng và làm quen với phép toán bằng những công nghệ tiên tiến để tìm ra được những điểm mạnh, và bù vào lỗ hổng kiến thức của các em nhỏ. Chúng tôi cũng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và học viện MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
11:06

Vietnamese subtitles

Incomplete

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.