Power series of arctan(2x) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
-
0:00 - 0:02이번 시간에는
-
0:02 - 0:06x=0 에서
arctan(2x)의 -
0:06 - 0:11멱급수 근사식
혹은 멱급수 표현식을 -
0:11 - 0:14멱급수 근사식
혹은 멱급수 표현식을 -
0:14 - 0:17구해보려고 합니다
-
0:17 - 0:21x=0 에서
arctan(2x)의 -
0:21 - 0:24멱급수 근사식의
-
0:24 - 0:260이 아닌 처음 4개 항을
구해봅시다 -
0:26 - 0:29이는 arctan(2x)의
매클로린 급수의 -
0:29 - 0:320이 아닌 처음 4개 항입니다
-
0:32 - 0:34느낌이 온다면
-
0:34 - 0:35강의를 멈추고
-
0:35 - 0:38스스로 풀어보세요
-
0:38 - 0:41한 번 시도해 보았다면
-
0:41 - 0:42먼저 도함수를 구했을 것입니다
-
0:42 - 0:43먼저 도함수를 구했을 것입니다
-
0:43 - 0:46arctan(2x)를
x에 대하여 미분하면 -
0:46 - 0:50arctan(2x)를
x에 대하여 미분하면 -
0:50 - 0:54바로 떠오르지 않는다면
-
0:54 - 0:56이로써 상기시켜 봅시다
-
0:56 - 0:58arctan(x)의 도함수는
-
0:58 - 1:011/(1+x²) 이므로
-
1:01 - 1:03이 식은
-
1:03 - 1:06분자는
2x의 도함수인 2이고 -
1:06 - 1:09분모는
1과 이 값 전체의 제곱의 합이므로 -
1:09 - 1:142/(1+4x²)가 됩니다
-
1:14 - 1:18매클로린 급수의 항을
-
1:18 - 1:20더 구할수록
-
1:20 - 1:22이 식을 여러 번
미분해야 하고 -
1:22 - 1:25그러면 엄청 복잡해지고
정신없게 됩니다 -
1:25 - 1:260이 아닌 처음 4개 항을
구한다면 말이죠 -
1:26 - 1:280이 아닌 처음 4개 항을
구한다면 말이죠 -
1:28 - 1:30아직 충분히 배우지
않은 부분에 대한 -
1:30 - 1:31이해가 필요해 보인다고
-
1:31 - 1:34깨달을 것입니다
-
1:34 - 1:36x=0을 중심으로 하는
arctan(2x)의 멱급수에서 -
1:36 - 1:39x=0을 중심으로 하는
arctan(2x)의 멱급수에서 -
1:39 - 1:40x=0을 중심으로 하는
arctan(2x)의 멱급수에서 -
1:40 - 1:430이 아닌 처음
4개항을 구할 때 말이죠 -
1:43 - 1:450이 아닌 처음
4개항을 구할 때 말이죠 -
1:45 - 1:48맞아요, 핵심적으로
간파해야 하는 부분이 있습니다 -
1:48 - 1:50그 부분은 바로
다음과 같습니다 -
1:50 - 1:52직접 미분하는 대신에
-
1:52 - 1:54멱급수 표현식에서
-
1:54 - 1:58이 식의 처음 4개 항을 구하고
-
1:58 - 2:01arctan(2x)의 멱급수를
구하기 위해 -
2:01 - 2:03이 식에 부정적분을 취합니다
-
2:03 - 2:05x=0 을 중심으로 한다는
사실을 만족하는 -
2:05 - 2:06x=0 을 중심으로 한다는
사실을 만족하는 -
2:06 - 2:11상수가 나온다는 것을
보장하기 위해서이죠 -
2:11 - 2:12무슨 생각을 하는지
알고 있습니다 -
2:12 - 2:14똑같은 문제인
것처럼 보입니다 -
2:14 - 2:15똑같은 문제인
것처럼 보입니다 -
2:15 - 2:18이 식의 멱급수 표현식을
구하고자 한다면 -
2:18 - 2:19처음 4개 항을
구하고자 한다면 -
2:19 - 2:21이 식을 힘겹게
여러 번 미분해야 했지만 -
2:21 - 2:23이 식을 힘겹게
여러 번 미분해야 했지만 -
2:23 - 2:26핵심은 여러분도
추측했다시피 -
2:26 - 2:30f(x)가 있습니다
-
2:30 - 2:32이는 arctan(2x)의 도함수인
-
2:32 - 2:33이는 arctan(2x)의 도함수인
-
2:33 - 2:352/(1+4x²) 입니다
-
2:35 - 2:392/(1+4x²) 입니다
-
2:39 - 2:43깔끔하게 만들어주는
-
2:43 - 2:44다른 함수가 있다면
-
2:44 - 2:46도함수를 구할 때
-
2:46 - 2:48지저분하지 않겠죠
-
2:48 - 2:50그 다른 함수를
g(x)라고 합시다 -
2:50 - 2:53써보지 않은 색을
쓰겠습니다 -
2:53 - 2:56g(x) = 1/(1+x) 입니다
-
2:56 - 3:00g(x) = 1/(1+x) 입니다
-
3:00 - 3:03이 식은
아주 재밌는 식입니다 -
3:03 - 3:07아주 쉽고
-
3:07 - 3:08(1+x)^(-1)과 같습니다
-
3:08 - 3:11g(x)는 도함수를 구하기 쉬운
-
3:11 - 3:14재밌는 함수입니다
-
3:14 - 3:16예를 들어
g'(x)는 -
3:16 - 3:18합성함수의 미분법인
연쇄법칙을 이용하면 -
3:18 - 3:201+x의 도함수는 1이므로
-
3:20 - 3:23-1/(1+x)² 입니다
-
3:23 - 3:24-1/(1+x)² 입니다
-
3:24 - 3:26g''(x)는
-
3:26 - 3:29-2 × (-1) = 2와
-
3:29 - 3:32(1+x)^(-3)의 곱입니다
-
3:32 - 3:34(1+x)^(-3)의 곱입니다
-
3:34 - 3:38g'''(x)는
-
3:38 - 3:40g'''(x)는
-
3:40 - 3:42-3 × 2 = -6과
-
3:42 - 3:45(1+x)^(-4)의 곱입니다
-
3:45 - 3:46여러분은 이런 생각이 들 수도 있어요
-
3:46 - 3:48걱정이 되고
이렇게 해서 풀 수 있는지를요 -
3:48 - 3:50저를 믿고
잠시만 참아주세요 -
3:50 - 3:52바로 말하자면
-
3:52 - 3:54g(x)의 처음 세 번의 도함수를
구할 수 있었고 -
3:54 - 3:57멱급수 표현식의
-
3:57 - 3:59처음 4개항을
아주 쉽게 구했습니다 -
3:59 - 4:00이는 x=0을 중심으로
하는 멱급수인 -
4:00 - 4:01이는 x=0을 중심으로
하는 멱급수인 -
4:01 - 4:03매클로린 급수입니다
-
4:03 - 4:05각각에 x=0을 대입하여
계산합니다 -
4:05 - 4:09g(0) = 1
-
4:09 - 4:12g'(0) = -1
-
4:12 - 4:14g'(0) = -1
-
4:14 - 4:17g''(0)는
-
4:17 - 4:19(1+0)^(-3) = 1
-
4:19 - 4:211 × 2 = 2 입니다
-
4:21 - 4:26g'''(0) = -6
-
4:26 - 4:28g'''(0) = -6
-
4:28 - 4:33g(x)를 나타낼 수 있습니다
-
4:33 - 4:34g(x)의 근사식은
-
4:34 - 4:36처음 4개항은
-
4:36 - 4:39g(0)인 1
-
4:39 - 4:42-g'(0)x
-
4:42 - 4:48즉, -x이고
-
4:48 - 4:51g''(0) = 2
-
4:51 - 4:552/2! · x² 이며
-
4:55 - 4:572/2! = 1이므로
-
4:57 - 4:58다시 적어봅시다
-
4:58 - 5:03+ x²
-
5:03 - 5:08g'''(0) = -6
-
5:08 - 5:11-6/3! · x³
-
5:11 - 5:12-6/3! · x³
-
5:12 - 5:143! = 6이므로
-
5:14 - 5:16-6/6 = -1 입니다
-
5:16 - 5:23따라서 -x³이 됩니다
-
5:23 - 5:24여러분이 무슨 생각을 하는지
알고 있습니다 -
5:24 - 5:26어려운 문제로 시작해놓고
-
5:26 - 5:28멱급수 표현식을 구하기 위해
-
5:28 - 5:30스스로 쉬운 문제를 풀었는데
-
5:30 - 5:31이것이 어떻게
유용할지 걱정이 되겠죠 -
5:31 - 5:33이것이 지금까지
이번 강의를 통틀어서 -
5:33 - 5:35이야기한 핵심적인 부분입니다
-
5:35 - 5:40핵심적인 부분은
-
5:40 - 5:43적절한 색깔로 알려드리죠
-
5:43 - 5:45f(x)는
-
5:45 - 5:48주목하세요
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5:48 - 5:51f(x)는 2g(4x⁴) 입니다
-
5:51 - 5:55f(x)는 2g(4x⁴) 입니다
-
5:55 - 5:59x 대신 4x²을 대입합니다
-
5:59 - 6:011/(1+x⁴)이 되고
-
6:01 - 6:04전체 식에 2를 곱하면
-
6:04 - 6:06이 식이 나옵니다
-
6:06 - 6:08f(x)가 이와 같다면
-
6:08 - 6:10f(x)의 멱급수 표현식은
다음과 같습니다 -
6:10 - 6:13g(x) 혹은 처음 4개 항에
-
6:13 - 6:15멱급수를 취하고
-
6:15 - 6:17x 대신 4x²을 대입하여
-
6:17 - 6:20전체 식에 2를 곱합니다
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6:20 - 6:22한번 해봅시다
-
6:22 - 6:24f(x)를 적어보면
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6:24 - 6:27f(x)를 적어보면
-
6:27 - 6:30f(x)를 적어보면
-
6:30 - 6:34근사식은 다음과 같습니다
-
6:34 - 6:372 곱하기
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6:37 - 6:40x 대신 x⁴을 대입한 것이므로
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6:40 - 6:441 - 4x²
-
6:44 - 6:461 - 4x²
-
6:46 - 6:491 - 4x²
-
6:49 - 6:51(4x²)²이므로
-
6:51 - 6:54(4x²)²이므로
-
6:54 - 6:5716x⁴ 입니다
-
6:57 - 6:58적어볼게요
-
6:58 - 7:02+ 16x⁴
-
7:02 - 7:04마지막으로 -x³은
-
7:04 - 7:06x 대신 x²을 대입하면
-
7:06 - 7:10-(4x²)³이고
-
7:10 - 7:13이는 64x^6이므로
-
7:13 - 7:15적어보면
-
7:15 - 7:19-64x^6 입니다
-
7:19 - 7:21이 식을 정리하면
-
7:21 - 7:23f(x)의 근사식은
-
7:23 - 7:242를 분배하면
-
7:24 - 7:312 - 8x² +32x⁴ - 128x^6
-
7:31 - 7:352 - 8x² +32x⁴ - 128x^6
-
7:35 - 7:38치환을 이용하여
-
7:38 - 7:41지저분하지 않게
구하였습니다 -
7:41 - 7:44arctan(2x)의 멱급수의
도함수인 -
7:44 - 7:48arctan(2x)의 멱급수의
도함수인 -
7:48 - 7:502/(1+4x²)의 멱급수의
-
7:50 - 7:512/(1+4x²)의 멱급수의
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7:51 - 7:55처음 4개 항을 말이죠
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7:55 - 7:57처음 4개 항을 말이죠
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7:57 - 8:00이를 적어봅시다
-
8:00 - 8:02이를 적어봅시다
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8:02 - 8:06arctan(2x)는
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8:06 - 8:10arctan(2x)는
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8:10 - 8:13f(x)의 부정적분과 같고
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8:13 - 8:18f(x)의 부정적분과 같고
-
8:18 - 8:21이것은 이 전체 식의
부정적분과 같습니다 -
8:21 - 8:23이것은 이 전체 식의
부정적분과 같습니다 -
8:23 - 8:282 - 8x² +32x⁴ - 128x^6
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8:28 - 8:322 - 8x² +32x⁴ - 128x^6
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8:32 - 8:352 - 8x² +32x⁴ - 128x^6
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8:35 - 8:362 - 8x² +32x⁴ - 128x^6
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8:36 - 8:39근사 기호로 적어줍니다
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8:39 - 8:42멱급수를 이용하여
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8:42 - 8:43근사식을 구하고 있으니까요
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8:43 - 8:47이것은 무엇과 같을까요?
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8:47 - 8:51다음 식에 근사합니다
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8:51 - 8:53여기 상수가 있습니다
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8:53 - 8:54먼저 상수를 적어줍니다
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8:54 - 8:56멱급수나 매클로린 급수에서
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8:56 - 8:58첫 번째 항은
상수이기 때문이죠 -
8:58 - 9:01이는 함수에 0을
대입한 값입니다 -
9:01 - 9:02상수가 있고
-
9:02 - 9:042의 부정적분은
-
9:04 - 9:07+2x 이고
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9:07 - 9:10이 항의 부정적분은
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9:10 - 9:12x³, 8/3
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9:12 - 9:16따라서 -8/3 · x³ 입니다
-
9:16 - 9:21+ 32x^5/5
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9:21 - 9:23+ 32x^5/5
-
9:23 - 9:28- 128x^7/7
-
9:28 - 9:30- 128x^7/7
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9:30 - 9:32최종 단계에 도달했습니다
-
9:32 - 9:350이 아닌 처음
4개의 항을 구했습니다 -
9:35 - 9:36C가 0이 아니라면
-
9:36 - 9:380이 아닌 항이 5개 입니다
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9:38 - 9:39하지만 상수가
arctan(2x)에 적절한지 -
9:39 - 9:40하지만 상수가
arctan(2x)에 적절한지 -
9:40 - 9:42확실하게 알아봅시다
-
9:42 - 9:45이 상수값은 arctan(2x)에
-
9:45 - 9:50x=0을 대입한 값입니다
-
9:50 - 9:52arctan(0)은 무엇일까요?
-
9:52 - 9:55명심하세요
이는 0을 중심으로 하므로 -
9:55 - 9:56더 쉽게 구할 수 있습니다
-
9:56 - 9:58매클로린 급수
표현식을 구하고 있다면 -
9:58 - 10:01아주 기본적인 것이죠
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10:01 - 10:020을 중심으로 하므로
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10:02 - 10:06근사식에 x=0을 대입한 값은
-
10:06 - 10:08함수에 x=0을 대입한 것과
같아야 합니다 -
10:08 - 10:11arctan(2·0) = 0 이므로
-
10:11 - 10:13arctan(2·0) = 0 이므로
-
10:13 - 10:16x=0을 대입할 때
-
10:16 - 10:18c가 나오므로
-
10:18 - 10:23c=0 입니다
-
10:23 - 10:24x=0일 때
-
10:24 - 10:27c=0 이어야
다른 식이 0이 됩니다 -
10:27 - 10:30끝났습니다
-
10:30 - 10:32arctan(2x)는
-
10:32 - 10:35arctan(2x)는
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10:35 - 10:37다음 식에 근사합니다
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10:37 - 10:422x - 8x³/3 + 32x^5/5 - 128x^7/7
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10:42 - 10:462x - 8x³/3 + 32x^5/5 - 128x^7/7
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10:46 - 10:512x - 8x³/3 + 32x^5/5 - 128x^7/7
-
10:51 - 10:52항을 더 추가하고 싶다면
-
10:52 - 10:54위에서 했던 방식으로
-
10:54 - 10:55항을 구하면 됩니다
-
10:55 - 10:57저는 4개 항만
구한 것이구요 -
10:57 - 11:01꽤 복잡한 문제이지만
즐겁게 풀었기를 바랍니다 -
11:01 - 11:04하지만 보다시피
생각보다 복잡하지 않습니다 -
11:04 - 11:05하지만 보다시피
생각보다 복잡하지 않습니다
- Title:
- Power series of arctan(2x) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
- Description:
-
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- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 11:06
|
Daniel Hollas edited Korean subtitles for Power series of arctan(2x) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy | |
|
Fran Ontanaya edited Korean subtitles for Power series of arctan(2x) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy | |
|
|
Fran Ontanaya edited Korean subtitles for Power series of arctan(2x) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy |