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L'Hopital's Rule Example 1

  • 0:01 - 0:08
    假設我們要算出當 x 趨近 0
  • 0:08 - 0:20
    (2sin x - sin 2x) 除以
  • 0:20 - 0:24
    (x - sin x) 的極限
  • 0:24 - 0:27
    現在每當我看見一道極限的問題時
  • 0:27 - 0:29
    我總是會先嘗試把 0 代入函數中
  • 0:29 - 0:34
    看看會發生什麼事情？
  • 0:34 - 0:36
    雖然可能不會發生什麼瘋狂的事
  • 0:36 - 0:37
    但還是讓我們試試看
  • 0:37 - 0:40
    當我們把 x = 0 代入時 發生什麼事了？
  • 0:40 - 0:44
    我們得到 2sin0 而這等於0
  • 0:44 - 0:46
    減去 sin(2*0)
  • 0:46 - 0:50
    嗯 這又是sin0 而又是等於 0
  • 0:50 - 0:54
    所以我們的分子等於0
  • 0:54 - 0:55
    sin 0 那是 0
  • 0:55 - 0:56
    所以我們又得到了 sin0
  • 0:56 - 0:58
    這又是等於0所以全部都是0
  • 0:58 - 1:00
    而我們的分母我們會得到
  • 1:00 - 1:03
    0減去sin0
  • 1:03 - 1:05
    好吧 這又是等於0
  • 1:05 - 1:08
    但我們就會得到一個不定式
  • 1:08 - 1:12
    我們在上個視頻談到的 0/0 的問題
  • 1:12 - 1:16
    所以我們在這或許可以用羅必達法則（L'Hopital's Rule）
  • 1:16 - 1:19
    使用羅必達法則的首要條件是
  • 1:19 - 1:22
    當 x 趨近 0 的時候 這個函數的導數除以
  • 1:22 - 1:25
    這個函數的導數必須存在
  • 1:25 - 1:28
    現在 讓我們套用羅必達法則
  • 1:28 - 1:30
    算算這些的導數 看看能不能找到極限
  • 1:30 - 1:34
    如果可以的話 這就是這題的極限
  • 1:34 - 1:39
    所以這個東西 假設它存在的話 將會是等於
  • 1:39 - 1:45
    當 x 趨近於 0，這分子的導數
  • 1:45 - 1:47
    分子
  • 1:47 - 1:48
    所以這分子的導數為何？
  • 1:48 - 1:49
    讓我換個顏色
  • 1:49 - 1:51
    綠色好了
  • 1:51 - 1:55
    嗯 2sin x 的導數是 2cos x
  • 1:58 - 2:00
    然後減掉.......sin 2x 的導數
  • 2:00 - 2:04
    是 2cos 2x
  • 2:04 - 2:07
    所以減去 2cos 2x
  • 2:07 - 2:09
    只要用連鎖律 這裏面的導數
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    等於 2
  • 2:11 - 2:12
    所以外面有個 2
  • 2:12 - 2:15
    而在外面這個的導數是 cos 2x
  • 2:15 - 2:17
    還有在這外面的負號
  • 2:17 - 2:20
    所以這是分子的導數
  • 2:20 - 2:20
    那麼分母的導數是什麼？
  • 2:22 - 2:25
    嗯 x 的導數為 1 而sin x的導數
  • 2:25 - 2:27
    等於 cos x
  • 2:27 - 2:30
    所以 1 減 cos x
  • 2:30 - 2:32
    現在讓我們嘗試計算這個極限
  • 2:32 - 2:33
    我們得到了什麼？
  • 2:33 - 2:36
    如果我們把 0 代入上面分子 我們會得到 2 乘於 cos 0
  • 2:36 - 2:40
    這等於 2——讓我這樣寫寫看
  • 2:40 - 2:43
    所以這是 2*cos 0 而 cos 0 等於 1
  • 2:43 - 2:48
    所以這等於 2 - 2 cos(2*0)
  • 2:48 - 2:49
    讓我這樣表示看看
  • 2:49 - 2:51
    其實讓我這樣做做看
  • 2:51 - 2:53
    如果我們直接計算分子和分母的極限
  • 2:53 - 2:54
    我們會得到什麼？
  • 2:54 - 2:58
    我們得到 2 cos 0 而那等於 2
  • 2:58 - 3:02
    減去 2cos(2*0)
  • 3:02 - 3:03
    裏面這項還是等於 0
  • 3:03 - 3:07
    所以減去 2*cos 0 而這等於 2
  • 3:07 - 3:16
    這些除以 1 - cos 0 而 cos 0 等於 1
  • 3:16 - 3:17
    又一次 我們得到 0/0
  • 3:22 - 3:24
    難道這意味著極限不存在嗎？
  • 3:24 - 3:27
    不 它仍可能存在
  • 3:27 - 3:29
    我們可能只是需要再次使用羅必達法則
  • 3:29 - 3:31
    讓我算這的導數
  • 3:31 - 3:31
    然後在除以這個的導數
  • 3:31 - 3:35
    然後再算極限，那羅必達法則
  • 3:35 - 3:36
    或許能幫助我們計算出那個玩意
  • 3:36 - 3:39
    所以讓我們看看它管不管用
  • 3:39 - 3:43
    這答案必須等於極限如果羅必達法則
  • 3:43 - 3:44
    適用於這
  • 3:44 - 3:46
    這答案必須等於極限
  • 3:46 - 3:50
    這必須等於當 x 趨近 0 時
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    這的導數除以那的導數的極限
  • 3:54 - 3:58
    所以 2 cos x 的導數為何？
  • 3:58 - 4:00
    嗯 cos x 的導數為 -sin x
  • 4:00 - 4:05
    所以它是 -2 sin x
  • 4:05 - 4:11
    而 cos 2x 的導數等於 -2 sin 2x
  • 4:11 - 4:14
    所以這個負號和 -2 的負號抵消
  • 4:14 - 4:17
    然後 2*2
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    所以 它等於 4 sin 2x
  • 4:22 - 4:24
    讓我檢查一下我做得對不對
  • 4:24 - 4:27
    我們在這外有 -2
  • 4:27 - 4:31
    cos 2x 的導數將是
  • 4:31 - 4:33
    2*(-sin x)
  • 4:33 - 4:34
    所以 2*2 = 4
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    -sin x 乘於——這有個負號
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    所以這是個正號
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    你得到正的 sin 所以是等於 sin 2x
  • 4:40 - 4:42
    這就是分子的導數
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    而分母
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    這只是一道導數的習題罷了
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    所以分母的導數為何？
  • 4:47 - 4:49
    1 的導數為 0
  • 4:49 - 4:53
    而 -cos x 的導數為——嗯
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    這只是 sin x
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    所以讓我們來看這一極限
  • 4:58 - 5:00
    所以這將等於——嗯 如果
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    把 x = 0 代入分母 我知道
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    sin 0 等於 0
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    所以讓我們看看分子為何
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    -2 sin 0
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    這等於 0
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    然後 4sin 20
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    嗯......仍然是 sin 0 所以還是等於 0
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    又一次我們又得到了不定式
  • 5:19 - 5:20
    這就完了嗎？
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    我們得放棄嗎？
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    羅必達法則不管用了？
  • 5:23 - 5:27
    通通不是 因為這可能是我們第一個極限問題
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    而如果這是我們第一個極限問題
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    瞧 我們可能就直接用羅必達法則
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    因為我們得到一個不定式
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    當 x 趨近 0 的時候,分子和分母都趨近 0
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    所以讓我再算導數多一次
  • 5:40 - 5:43
    所以這等於——如果極限存在的話——
  • 5:43 - 5:46
    當 x 趨近 0 時的極限
  • 5:46 - 5:48
    讓我們算算分子的導數
  • 5:48 - 5:51
    -2 sin x 的導數為
  • 5:51 - 5:54
    - 2 cos x
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    然後，加上 4 sin 2x 的導數
  • 5:58 - 6:02
    嗯，它是 2*4 = 8
  • 6:02 - 6:04
    乘於 cos 2x
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    乘於 cos 2x
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    而這個 2 會乘於 4
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    等於 8
  • 6:12 - 6:17
    而分母的導數是什麼呢？
  • 6:17 - 6:19
    sin x 的導數為 cos x
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    所以讓我們算算這個
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    看起來我們進展了不少
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    或者說我們能停止使用洛必達法則
  • 6:27 - 6:30
    因為我們將計算當 x 趨近 0 時 cos x 的值
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    這就是 1
  • 6:31 - 6:33
    所以我們絕對不會得到不定式了
  • 6:33 - 6:36
    上次算到 的 0/0
  • 6:36 - 6:38
    讓我們看看分子為何
  • 6:38 - 6:42
    我們得到 -2 cos 0
  • 6:42 - 6:46
    嗯 這只是 -2 因為 cos 0 為 1
  • 6:46 - 6:50
    加上 8 cos 2x
  • 6:50 - 6:54
    假使 x 為 0 這將是 cos 0 等於 1
  • 6:54 - 6:55
    所以這等於 8
  • 6:55 - 6:57
    所以 -2 + 8
  • 6:57 - 7:00
    嗯這個東西 -2 + 8 = 6
  • 7:00 - 7:01
    6 除以 1
  • 7:01 - 7:03
    這整個東西等於 6
  • 7:03 - 7:07
    所以羅必達法則 它適用在這最後一步
  • 7:07 - 7:10
    所以如果我們是需要作答這個問題
  • 7:10 - 7:14
    當我們嘗試計算極限
  • 7:14 - 7:15
    這分子趨近 0
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    這分母也趨近 0
  • 7:20 - 7:22
    當我們把分子的導數除以分母的導數
  • 7:22 - 7:26
    答案是存在的 而這等於 6
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    所以這極限一定等於 6
  • 7:29 - 7:32
    所以如果這極限等於 6 同理可證
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    這個極限也將等於 6
  • 7:33 - 7:36
    同理可證這個極限
  • 7:36 - 7:40
    也將等於 6
  • 7:40 - 7:42
    這題解出來了
Title:
L'Hopital's Rule Example 1
Description:

L'Hopital's Rule Example 1
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Video Language:
English
Duration:
07:43
nccu101701009 edited Chinese, Traditional subtitles for L'Hopital's Rule Example 1
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nccu101701009 added a translation

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