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洛必达法则 例题 1

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    假设我们要算出当 x 趋近 0 时
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    2sin x - sin 2x 整项除以
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    x - sin x 的极限
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    现在 每当我看见一道极限的问题时
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    我总是会先尝试把 0 代入函数中
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    看看什么事情会发生？
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    可能不会发生什么疯狂的事
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    所以让我们试试看
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    当我们把 x = 0 代入时 发生什么事了？
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    我们得到 2 sin 0 而这等于0
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    减去 sin 2*0
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    嗯 这又是 sin 0 而又是等于 0
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    所以我们的分子等于 0
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    sin 0 那是 0
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    所以我们又得到了 sin 0
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    这又是等于 0 所以全部都是 0
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    而我们的分母 我们会得到
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    0 减去 sin 0
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    好吧 这又是等于 0
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    但我们就会得到一个未定式
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    我们在上个视频谈到的 0/0 的问题
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    所以我们在这或许可以用洛必达法则（L'Hopital's Rule）
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    使用洛必达法则的首要条件是
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    当 x 趋近 0 的时候 这个函数的导数除以
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    这个函数的导数必须存在
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    现在 让我们套用洛必达法则
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    算算这些的导数 看看能不能找到极限
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    如果可以的话 这就是这个的极限
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    所以这个东西 假设它存在的话 将会是等于
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    当 x 趋近于 0，这分子的导数
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    是什么
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    所以这分子的导数为何？
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    让我换个颜色
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    绿色好了
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    嗯 2 sin x 的导数是 2 cos x
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    然后 减掉。。。sin 2x 的导数
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    是 2 cos 2x
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    所以减去 2 cos 2x
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    只要用链式法则 这里面的导数
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    等于 2
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    所以外面有个 2
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    而在外面这个的导数是 cos 2x
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    还有在这外面的负号
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    所以这是分子的导数
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    那分母呢？
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    它的导数是什么？
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    嗯 x 的导数为 1 而sin x 的导数
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    等于 cos x
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    所以 1 减 cos x
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    现在让我们尝试计算这个极限
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    我们得到了什么？
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    如果我们把 0 代入上面这儿 我们会得到 2 乘于 cos 0
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    这等于 2——让我这样写写看
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    所以这是 2*cos 0 而 cos 0 等于 1
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    所以这等于 2 - 2 cos(2*0)
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    让我这样表示看看
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    其实让我这样做做看
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    如果我们直接计算分子和分母的极限
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    我们会得到什么？
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    我们得到 2 cos 0 而那等于 2
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    减去 2cos(20)
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    里面这项还是等于 0
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    所以减去 2*cos 0 而这等于 2
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    这些除以 1 - cos 0 而 cos 0 等于 1
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    又一次 我们得到 0/0
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    难道这意味着极限不存在吗？
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    不 它仍可能存在
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    我们可能只是需要再次使用洛必达法则
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    让我算这的导数
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    然后在除以这个的导数
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    然后再算极限，那洛必达法则
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    或许能帮助我们计算出那个玩意
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    所以让我们看看它管不管用
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    如果我们在这套用洛必达法则
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    这答案必须等于极限
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    我们不是百分百确定
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    这必须等于当 x 趋近 0 时
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    这的导数除以那的导数的极限。
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    所以 2 cos x 的导数为何？
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    嗯 cos x 的导数为 -sin x
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    所以它是 -2 sin x
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    而 cos 2x 的导数等于 -2 sin 2x
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    所以这个负号和 -2 的负号抵消
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    然后 2*2
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    所以 它等于 4 sin 2x
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    让我检查一下我做得对不对
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    我们在这外有 -2
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    cos 2x 的导数将是
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    2*-sin x
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    所以 2*2 = 4
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    -sin x 乘于——这有个负号
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    所以这是个正号
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    你得到正的 sin 所以是等于 sin 2x
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    这就是分子的导数
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    而分母。。
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    这只是一道导数的习题罢了
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    所以分母的导数为何？
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    1 的导数为 0
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    而 -cos x 的导数为——嗯
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    这只是 sin x
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    所以让我们来看这一极限
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    所以这将等于——嗯 如果
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    把 x = 0 代入分母 我知道
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    sin 0 等于 0
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    所以让我们看看分子为何
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    -2 sin 0
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    这等于 0
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    然后 4sin 20
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    嗯。。。仍然是 sin 0 所以还是等于 0
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    又一次我们又得到了未定式
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    这就完了吗？
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    我们得放弃吗？
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    洛必达法则不管用了？
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    统统不是 因为这可能是我们第一个极限问题
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    而如果这是我们第一个极限问题
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    瞧 我们可能就直接用洛必达法则
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    因为我们得到一个未定式
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    当 x 趋近 0 的时候
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    分子和分母都趋近 0
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    所以让我再算导数多一次
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    所以这等于——如果极限存在的话——
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    当 x 趋近 0 时的极限
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    让我们算算分子的导数
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    -2 sin x 的导数为
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    - 2 cos x
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    然后，加上 4 sin 2x 的导数
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    嗯，它是 2*4 = 8
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    乘于 cos 2x
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    sin 2x 的导数为 2 cos 2x
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    而这个 2 会乘于 4
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    等于 8
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    而分母的导数是什么呢？
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    sin x 的导数为 cos x
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    所以让我们算算这个
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    看起来我们进展了不少
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    或者说我们能停止使用洛必达法则
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    因为我们将计算当 x 趋近 0 时 cos x 的值
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    这就是 1
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    所以我们绝对不会得到未定式了
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    上次算到 的 0/0
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    让我们看看分子为何
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    我们得到 -2 cos 0
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    嗯 这只是 -2 因为 cos 0 为 1
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    加上 8 cos 2x
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    假使 x 为 0 这将是 cos 0 等于 1
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    所以这等于 8
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    所以 -2 + 8
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    嗯这个东西 -2 + 8 = 6
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    6 除以 1
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    这整个东西等于 6
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    所以洛必达法则 它适用在这最后一步
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    所以如果我们是需要作答这个问题
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    当我们尝试计算极限
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    这分子趋近 0
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    这分母也趋近 0
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    当我们把分子的导数除以分母的导数
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    答案是存在的 而这等于 6
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    所以这极限一定等于 6
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    所以如果这极限等于 6 同理可证
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    这个极限也将等于 6
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    同理可证这个极限
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    也将等于 6
  • 7:40 - 7:42
    这题解出来了
Title:
洛必达法则 例题 1
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洛必达法则 例题 1
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Video Language:
English
Duration:
07:43
Kin Guan Wee edited Chinese, Simplified subtitles for L'Hopital's Rule Example 1
Kin Guan Wee added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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