-
Diyelim ki; limit, x->0' a yaklaşırken;
-
(2sinx - sin2x) / (x - sinx)
-
ifadesinin limitini alacağız.
-
Her zaman ilk olarak denediğim şey,
-
ifadedeki x yerine 0 koyarak
-
ifadenin nesonuç ürettiğini bulmaktır.
-
Belki şanslıyımdır.
-
x yerine 0 yazdığımızda
-
neler oluyor, görelim.
-
2sin0 = 0
-
-sin2.0 = 0
-
paydaki sonuç 0 çıktı.
-
Paydaya geçersek...
-
0 - sin0
-
bir başka 0 daha
-
Böylelikle payda da
-
0 - sin0 = 0
-
Güzel, payda da 0 çıktı.
-
Burada tanımsız bir ifadeyle karşı karşıyayız.
-
Bir önceki videoda da bahsetmiştik. Bu 0/0 belirsizliği...
-
Bu belirsizlikte L'Hospital kuralını uygulayalım.
-
L'Hospital kuralını uygulayabilmek için; x 0 a yaklaşırken;
-
bu fonksiyonun ve
-
bu fonksiyonun türevleri bulunmalı.
-
L'Hospital kuralına göre,
-
türevleri alalım ve limiti bulmaya çalışalım.
-
Başarabilirsek, bu ifadenin limitini bulmuş olacağız.
-
Yeni limit ifadesi şuna dönüşür:
-
limit, x 0'a yaklaşırken....
-
yeni ifade:
-
pay ve paydanın ayrı ayrı türevleridir.
-
2sinx ifadesinin türevi 2cosx
-
eksi
-
sin2x ifadesinin türevi 2cos2x
-
yani -2kosinüs(2x)
-
ve paydanın
-
türevine bakalım.
-
x'in türevi 1 ve
-
-sinx' in türevi -cosx
-
yani yeni payda: (1-cosx) oldu
-
Şimdi oluşan bu yeni ifadenin limitini almaya çalışalım.
-
Bakalım ne çıkacak?
-
buraya 0 koyarsak...
-
...yada şu şekilde yapalım.
-
2 tane cos0 ifadesi 1 yapar.
-
...
-
En iyisi şu şekilde yapalım.
-
Aslında böyle yapsam daha iyi
-
doğrudan payın eşitliği
-
ve paydanın eşitliği şeklinde.
-
2cos0 ifadesi 2ye eşittir.
-
eksi 2cos0 ifadesi 2ye eşittir.
-
pay yine 0 çıktı.
-
cos0 ifadesi 1eeşittir. 1 eksi 1 eşittir 0.
-
Payda da 0 çıktı ve yine 0/0 belirsizliği...
-
Bu ifadenin limiti olmadığı anlamına mı geliyor?
-
Elbette hayır!
-
Yapmamız gereken, tekrar L'Hospital kuralını uygulamak
-
Bir kez daha türevini alıp
-
bu işin üstesinden gelmeme izin verin.
-
Umarım bu kez...
-
L'Hospital bana yardım edebilir.
-
Nereye kadar giderse peşindeyim.
-
Buraya L'Hospital uygularsak
-
ifadenin limitini bulmuş olacağız.
-
Henüz %100 emin değiliz.
-
limit, x 0'a yaklaşırken...
-
bu ifadenin türevi ve bu ifadenin türevi
-
Evet, 2cosx'in türevi nedir?
-
cosx'in türevi -sinx idi.
-
yani 2cosx' in türevi -2sinx
-
ve -2cos2x'in türevi
-
pozitif
-
4sin2x
-
türevden gelen eksi, ifadedeki eksi ile çarpılınca pozitif oldu.
-
Yine de kontrol etmeme izin verin...
-
...
-
...
-
...
-
...
-
...
-
evet doğruymuş.
-
türev aldık ve yeni payımız bu oldu.
-
ve yeni paydamız...(türev alma
-
alıştırması yapıyoruz)
-
paydanın türevi nedir?
-
1'in türevi 0'dır.
-
ve -cosx' in türevi de sinx' dir
-
payda sadece (sinx) çıktı.
-
Hadi limiti alalım.
-
x yerine 0 koyduğumuzda, ifade:
-
olamaz...biliyorum payda yine 0 çıkacak...
-
sin0 = 0 dır
-
Neyse biz paya bakalım...
-
-2sin0 = 0'dır
-
payda 0 çıkacak gibi
-
4sin2.0 = 4sin0 = 0
-
pay ve payda yine 0 çıktı
-
ve yine 0/0 belirsizliği elde ettik.
-
Bitti mi?
-
Pes mi ediyoruz?
-
Yoksa L'Hospital kuralı çalışmıyor mu?
-
Hayır. Çünkü bu bizim ilk alıştırmamız.
-
Aslında limit ifadesi şuanki son haliyle karşımıza çıksa...
-
Hey,burada 0/0 belirsizliği var.
-
Hadi L'Hospital kuralı uygulayalım derdik.
-
Pay ve payda 0 çıkıyor.
-
hadi yine
-
türevlerini alalım ;)
-
İfademiz şuna eşit:
-
limit, x 0'a yaklaşırken...
-
payın türevini alalım
-
-2sinx ifadesinin türevi
-
-2cosx
-
4sin2x ifadesinin türevi
-
8cos2x yapar
-
8 sayısına
-
2 çarpanı, sin2x'in türevinden
-
4 çarpanı da katsayıdan geldi.
-
2.4 = 8 oldu.
-
paydanın türevi...sinx' in türevi cosx
-
sadece cosx
-
Bakalım ifade kaç çıkacak...
-
Bakalım işe yaramış mı?
-
L'Hospital uygulamaya gerek kalmaz mı?
-
x yerine 0 koyarsak; paydada: cos0 = 1
-
payda 1 çıktı
-
böylece kesin olarak
-
0/0 belirsizliği ile karşılaşmayacağımızı söylüyorum.
-
Paydaki ifadeye bakalım.
-
-2cos0 ifadesi
-
-2 ye eşittir.
-
artı
-
8cos(2.0) = 8.cos0 = 8.1 = 8
-
burası da 8 çıktı
-
böylece -2+8 = 6
-
evet payımız da 6 çıktı
-
6ya 1
-
Bütün bu zahmet 6 içinmiş
-
L'Hospital...Eğer bu ifadeyle son basamaktaki haliyle
-
karşılaşsaydık, şöyle derdik.
-
limiti uygulamaya çalıştığımızda, x 0'a yaklaşırken...
-
payın limiti 0
-
paydanın limti 0.
-
pay ve paydanın ayrı ayrı türevlerini alınca ise
-
limit vardır ve 6ya eşittir.
-
Böylece limit 6 bulunur.
-
Eğer bu limit 6ya eşitse...
-
bu limit de 6ya eşittir
-
ve bu limit de 6ya eşittir.
-
tabiki bu da 6ya eşittir.
-
Ve bitirdik.
