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Digamos que precisamos calcular
o limite de quando x tende a zero
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de dois seno de x menos seno de dois x,
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tudo isso sobre
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x menos seno de x.
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A primeira coisa que eu sempre tento fazer
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num problema de limite
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é tentar avaliar esta funcão
em x igual a zero.
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Talvez nada muito estranho aconteça.
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Então vamos tentar isso.
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Se tentamos fazer x igual
a zero, o que acontece?
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Ficamos com dois seno de zero, que é zero
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menos seno de dois vezes zero.
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Bem, isso vai ser seno de
zero de novo, que é zero.
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Logo, nosso numerador é igual a zero.
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Seno de zero é zero.
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Então temos outro seno de zero ali.
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Dá zero de novo. Tudo zero.
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No denominador teremos
zero menos seno de zero.
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Bem isso vai dar zero.
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Ficamos com esta forma indefinida,
esse 0 sobre 0 indefinido
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do qual falamos no último vídeo.
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Assim, talvez possamos utilizar
a Regra de L'Hopital aqui.
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Para usar a Regra de L'Hopital,
o limite de x tendendo a zero
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da derivada desta funcão
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sobre a derivada da outra
função precisa existir.
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Vamos aplicar a Regra de L'Hopital
e apenas pegar
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a derivada de cada uma e
ver se chegamos no limite.
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Se pudermos, será valor do limite disto.
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Então isso, assumindo que
isto existe, vai ser igual
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ao limite quando x tende
a zero da derivada
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do numerador ali em cima
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O que a derivada do numerador será?
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Vou usar outra cor.
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Vou fazer com verde.
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Bem, a derivada de dois seno de x
é dois cosseno de x.
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E então, menos--
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bem, a derivada de seno de dois x
é dois cosseno de dois x.
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Então menos dois cosseno de dois x.
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Apenas usei a regra da cadeia aqui,
a derivada de dentro é dois.
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É o dois ali.
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A derivada de fora é cosseno de dois x,
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e nós tinhamos aquele
número negativo ali.
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Então isso é a derivada
do nosso numerador.
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Qual é a derivada do denominador?
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Bem, a derivada de x é um
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e a derivada de seno de x é cosseno de x.
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Logo, um menos cosseno de x.
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Vamos tentar calcular esse limite.
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O que obtemos?
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Se colocamos um zero ali em cima
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vamos ter dois vezes cosseno
de zero, que é dois--
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deixe-me escrever isso assim.
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Então é dois vezes cosseno
de zero, que é um.
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Logo, dois menos dois vezes
cosseno de dois vezes zero.
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Deixe-me escrever assim.
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Na verdade, assim.
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Se nós prosseguimos calculando
o limite do numerador
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e do denominador, o que teremos?
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Teremos dois cossenos de zero, que é dois
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menos duas vezes o cosseno de--
bem, este dois vezes zero vai
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dar zero mesmo.
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Assim, menos dois vezes cosseno
de zero, que é dois.
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Tudo isto sobre
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um menos cosseno de zero, que é um.
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Logo, temos zero sobre zero de novo.
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Quer dizer então que o limite não existe?
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Não, talvez ainda exista, mas
talvez precisemos aplicar
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a Regra de L'Hopital de novo.
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Deixe-me fazer as duas derivadas separadas
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e daí pegar o limite e talvez
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a Regra de L'Hopital nos
ajudará na próxima etapa.
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Vamos ver se isso nos leva a algum lugar.
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Então isso deve ser igual ao limite
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se a Regra de L'Hopital der certo aqui.
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Não estamos totalmente certos.
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Isto deve ser igual ao limite assim
que x se aproxima de zero
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da derivada disto, sobre esta derivada.
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Bem, qual a derivada de dois cosseno de x?
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A derivada de cosseno de
x é menos seno de x.
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Logo, é menos dois seno de x.
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A derivada de cos2x é -2sen2x.
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Então vamos ter este negativo cancelando
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o menos dois e então dois vezes dois.
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Logo, será quatro seno de dois x.
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Deixe-me conferir se fiz tudo certo.
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Temos o menos dois do lado de fora.
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A derivada de cosseno de dois x vai ser
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dois vezes menos seno de x.
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Então dois vezes dois, quatro.
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O menos seno de x vezes-- o negativo...
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Certo, há um mais.
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Você tem um positivo,
então é seno de dois x
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Este é o numerador, quando
você faz a derivada.
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E o denominador-- isto é
só um exercício de derivar.
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Qual a derivada do denominador?
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Derivada de um é zero.
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E a derivada de menos cosseno de x é
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só seno de x.
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Então vamos ver o limite.
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Então isto vai ser igual --
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bem, se eu pego x igual a zero
no denominador, eu sei que
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seno de zero é zero.
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Vamos ver o que acontece no numerador.
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Menos dois vezes seno de zero.
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Isto dá zero.
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E então mais quatro vezes
seno de dois vezes zero.
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Bem, isto é seno de zero, logo, zero.
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Novamente ficamos com
uma forma indeterminada.
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Terminamos? Desistimos?
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A Regra de L'Hopital não deu certo?
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Não, porque isto pode ter sido o
nosso primeiro problema de limites.
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Se fosse o primeiro problema de limite
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tentaríamos usar a Regra de L'Hopital
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porque ficamos com uma
forma indeterminada.
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Tanto o numerador e o
denominador tendem a zero
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quando x tende a zero.
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Então vamos fazer a derivada novamente.
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Isto vai ser igual a-- se
o limite existe, o limite
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quando x tende a zero.
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Vamos pegar a derivada do numerador.
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A derivada de menos seno de x é
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menos dois cosseno de x.
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E então, mais a derivada
de quatro seno de dois x.
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Bem, é dois vezes quatro, oito,
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vezes cosseno de dois x.
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Derivada de seno de dois x
é dois cosseno de dois x.
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E o primeiro dois é multiplicado
por quatro, para dar oito.
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E a derivada do denominador,
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derivada de seno de x é cosseno de x.
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Vamos analisar essa situação.
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Portanto, parece que fizemos
algum progresso ou talvez
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paremos com a Regra de L'Hopital
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porque há o limite de x tendendo
a zero de cosseno de x.
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Isto dá um.
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Então, não teremos a forma indeterminada,
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aquele zero sobre zero, nesta iteração.
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Vamos ver o que acontece no numerador.
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Temos menos dois vezes cosseno de zero.
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Bem, isto é menos dois, pois
cosseno de zero é um.
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Mais oito vezes cosseno de dois x.
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Bem, isto é zero, então vai ser
cosseno de zero, que é um.
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Vai dar oito.
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Logo, menos dois mais oito.
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Isto aqui, menos dois mais oito, dá seis.
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Seis sobre um.
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Tudo isto dá seis.
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Então a Regra de L'Hopital
deu certo neste passo!
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Se este foi o problema
recebido, dizemos, bem,
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quando tentamos aplicar o limite,
temos que o limite do numerador
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tende a zero
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e o denominador também tende a zero.
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A derivada do numerador sobre a derivada
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do denominador existe e é igual a seis.
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O limite tem que ser igual a seis.
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Bem, se este limite é igual a seis,
pelo mesmo argumento
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este limite também será igual a seis.
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E pelo mesmo argumento, este limite acabou
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sendo igual a seis.
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E terminamos
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[Legendado por rodrigo.sbender]
