Reguła de l'Hospitala - Przykład 1

Reguła de l'Hospitala - Przykład 1

Powiedzmy, że mamy wyliczyć granicę przy x dążącym do 0 z

2 sinus z x minus sinus z 2x, i to wszystko przez x

minus sinus x.

Pierwsza rzecz, jaką zawsze próbuję zrobić

po zobaczeniu zadania z granicą, to sprawdzenie, co się stanie

gdy po prostu oszacuję wartość tej funkcji dla x równego 0.

Może nie wydarzy się nic szalonego.

Spróbujmy tą metodą.

Jeśli weźmiemy x równe 0, co otrzymamy?

Dostaniemy 2 sinusy z 0, czyli 0.

Minus sinus z 2 razy 0.

Cóż, to znowu będzie sinus z 0, czyli 0.

Tak więc nasz licznik będzie wynosił 0.

Sinus z 0 to 0.

I tutaj też mamy kolejnego sinusa z 0.

To kolejne zero, dostaliśmy same zera.

I w naszym mianowniku będziemy mieć

0 minus sinus z 0.

Czyli także 0.

Mamy tę formę nieokreśloną, mamy to nieoznaczone wyrażenie

postaci 0/0, o którym była mowa w poprzednim filmie.

Więc może w tym wypadku uda się skorzystać z reguły de l'Hospitala.

Aby użyć reguły de l'Hospitala, granica przy x

dążącym do 0 z pochodnej tej funkcji dzielonej

przez pochodną tej funkcji musi istnieć.

Użyjmy reguły de l'Hospitala, weźmiemy po prostu

pochodne tych funkcji i zobaczymy, czy obliczymy żądaną granicę.

Jeśli nam się uda, będzie to też granica tej rzeczy.

Więc to, zakładając że to istnieje, będzie równe

granicy przy x dążącym do 0 z pochodnej

tego licznika.

A więc, jaka będzie pochodna tego licznika?

Zrobię to nowym kolorem.

Na zielono.

Pochodna z 2 sinus x to 2 cosinus z x.

Potem, minus, tak, pochodna z sinusa

z 2x to 2 cosinus z 2x.

Czyli minus 2 cosinus 2x.

Tutaj użyjemy reguły łańcuchowej, pochodna

funkcji wewnętrznej to po prostu 2.

Tutaj mamy 2.

Pochodna funkcji zewnętrznej to cosinus z 2x i tę

ujemną liczbę mieliśmy tutaj.

To jest pochodna naszego licznika, a

jaka jest pochodna

naszego mianownika?

Pochodna z x to po prostu 1, a pochodna sinusa z x

to cosinus z x.

Tak więc 1 minus cosinus z x.

Spróbujmy wyliczyć tę granicę.

Co otrzymamy?

Jeśli wstawimy tutaj 0, otrzymamy 2 cosinus

z 0, czyli 2, pozwólcie, że tak to zapiszę.

To jest 2 razy cosinus z 0, który wynosi 1.

Mamy więc 2 minus 2 cosinus z 2 razy 0.

Zapiszę to w ten sposób.

Albo jeszcze inaczej.

Jeśli po prostu spróbujemy oszacować granicę licznika i

mianownika, to co dostaniemy?

Dostaniemy 2 razy cosinus z 0, czyli 2.

Minus 2 razy cosinus, cóż - to 2 razy 0 to

nadal będzie 0.

Tak więc, minus 2 razy cosinus z 0, czyli 2.

I to wszystko przez 1 minus cosinus z 0, czyli 1.

Po raz kolejny otrzymaliśmy 0/0.

Czy to oznacza, że te granica nie istnieje?

Nie, ona wciąż może istnieć, być może trzeba

ponownie użyć reguły de l'Hospitala.

Wezmę pochodną tego i napiszę nad

pochodną tego.

Potem wezmę granicę i może reguła de l'Hospitala

pomoże nam w następnym kroku.

Sprawdźmy, czy to nas dokądkolwiek doprowadzi.

To powinno być równe granicy, jeśli reguła de l'Hospitala

ma tu zastosowanie.

Nie mamy jeszcze 100% pewności.

To powinno być równe granicy przy x dążącym do 0 z

pochodnej tej rzeczy przez pochodną tamtej rzeczy.

Jaka jest pochodna 2 cosinus z x?

Pochodna cosinus z x, to minus sinus z x.

Tak więc to będzie minus 2 sinus z x.

Pochodna cosinusa z 2x, to minus 2 sinus z 2x.

Ten minus nam się uprości

z minusem stojącym przed 2, dostaniemy ostatecznie 2 razy 2.

To będzie plus 4 razy sinus 2x.

Upewnijmy się, że się nie pomyliłem.

Mamy ujemne 2, czy minus 2, na zewnątrz.

Pochodna cosinusa 2x to będzie 2 razy

minus sinus z x.

2 razy 2 to 4.

Minus sinus z x razy minus

to tutaj będzie plus.

Mamy znak plusa przed sinusem, to będzie sinus 2x.

To jest licznik po zróżniczkowaniu.

A mianownik, to same ćwiczenia z

liczenia pochodnych.

Jaka jest pochodna mianownika?

Pochodna z 1, to 0.

A pochodna z minus cosinus x to

po prostu sinus x.

Weźmy tę granicę.

To będzie równe, cóż, jeśli od razu

wezmę x równe 0 w mianowniku, to wiem, że

sinus z 0, to 0.

Sprawdźmy, co się dzieje w liczniku.

Minus 2 razy sinus 0.

To będzie 0.

Potem plus 4 razy sinus 2 razy 0.

To w dalszym ciągu sinus z 0, czyli to nadal będzie równe 0.

Po raz kolejny dostaliśmy formę nieokreśloną.

Czy to już koniec?

Poddajemy się?

Mówimy, że reguła de l'Hospitala nie działa?

Nie, bo to mógłby być nasz wyjściowy problem graniczny.

A jeśli to nasze wyjściowe zadanie to mówimy - hej, a może

skorzystamy tutaj z reguły de l'Hospitala, bo mamy

wyrażenie w postaci nieokreślonej.

Zarówno licznik, jak i mianownik, osiągają

0 przy x dążącym do 0.

Po raz kolejny weźmy pochodne.

To będzie równe, o ile granica istnieje,

granicy przy x dążącym do 0.

Weźmy pochodną licznika.

Pochodna minus 2 sinus z x to minus

2 cosinus z x.

Dalej, plus pochodna z 4 razy sinus 2x.

To jest 2 razy 4, czyli 8.

Razy cosinus 2x.

Pochodna sinus z 2x, to 2 razy cosinus 2x.

I to pierwsze 2 mnożymy przez

4 by dostać 8.

Pochodna mianownika, pochodna z sinus x

to cosinus x.

Policzmy to wyrażenie.

Wygląda na to, że zrobiliśmy pewien postęp albo może

reguła de l'Hospitala nie ma tutaj zastosowania, bo bierzemy granicę

przy x dążącym do 0 z cosinus x.

To jest 1.

Na pewno nie dostaniemy tej postaci nieokreślonej,

0/0 w tym kroku.

Sprawdźmy, co się dzieje z licznikiem.

Dostajemy minus 2 razy cosinus z 0.

To po prostu minus 2, bo cosinus z 0 to 1.

Plus 8 razy cosinus 2x.

Jeśli x wynosi 0, to będzie cosinus z 0, czyli 1.

Tak więc to będzie równe 8.

Czyli minus 2 plus 8.

Ta rzecz tutaj, minus 2 plus 8, to 6.

6 przez 1.

Całość wynosi 6.

A zatem w ostatnim kroku mogliśmy skorzystać z reguły de l'Hospitala.

Jeśli to było zadanie, które mieliśmy rozwiązać, to mówimy:

próbowaliśmy znaleźć granicę i licznik

przy x dążącym do 0 wynosi 0.

Granica przy x dążącym do 0 z mianownika wynosi 0.

Jako że pochodna licznika podzielona przez pochodną

mianownika istnieje i wynosi 6,

to ta granica także jest równa 6.

Jeśli ta granica wynosi 6, to, na mocy tego samego argumentu,

ta granica także jest równa 6.

I na tej samej zasadzie, ta granica także

będzie wynosić 6.

Skończyliśmy.