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Disons que nous avons besoin d'évaluer la limite lorsque x tend vers 0 de
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2 Sinus de x moins sinusoïdale de 2x, tout cela plus de x
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moins sinusoïdale de x
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Maintenant, la première chose que j'ai toujours essayer de faire lorsque j'ai d'abord
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Voir une limite problème est hé, que se passe-t-il si j'essaie simplement de
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Évaluer cette fonction à x est égal à 0?
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Peut-être rien crazy se produit.
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C'est donc le moment de tout essayer.
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Si nous essayons de faire x est égal à 0, que se passe-t-il?
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Nous avons 2 sinus de 0, qui est de 0.
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Moins sinusoïdale de 2 fois 0.
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Eh bien, c'est ce qui va être sinus de 0 à nouveau, ce qui est 0.
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Donc, notre numérateur va être égal à 0.
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Sinus de 0, c'est 0.
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Et puis nous avons un autre sinus de 0.
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C'est un autre 0, de sorte que tous les 0 's.
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Et notre dénominateur, nous allons avoir
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Un 0 moins sinusoïdale de 0.
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Et bien c'est aussi ce qui se 0.
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Mais nous n'avons que forme indéterminée, nous avons que non défini
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0/0 Que nous en avons parlé dans la dernière vidéo.
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Nous pourrions peut-être utiliser la regle du L'Hospital ici.
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Pour utiliser la regle du L'Hospital, la limite quand x
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Approches 0, de la dérivée de cette fonction sur
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La dérivée de cette fonction doit exister.
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Contentons-nous donc de s'appliquer la règle du L'Hospital et je vais prendre le
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Dérivée de chacune de ces et voir si nous pouvons trouver la limite.
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Si nous pouvons, alors que va être la limite de cette chose.
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Par conséquent, cette chose, à supposer qu'elle existe, va être égale à
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La limite lorsque x tend vers 0 de la dérivée de cette
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Numérateur jusqu'ici.
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Quelle est donc la dérivée du numérateur?
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Je le ferai dans une nouvelle couleur.
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Je le ferai en vert.
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Ainsi, la dérivée de 2 sinus de x est 2 cosinus de x.
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Et puis, moins ... bien, la dérivée du sine
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De 2 x 2 cosinus de 2x.
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Tellement moins 2 cosinus de 2x.
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Il vous suffit d'utiliser la règle de la chaîne il y a, dérivé de
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l'intérieur est à seulement 2.
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C'est le 2.
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Dérivée de l'extérieur représente le cosinus de 2x, et nous avons
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eu de nombre négatif.
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C'est donc la dérivée de notre numérateur et
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quelle est la dérivée
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de notre dénominateur?
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Ainsi, dérivée de x est juste 1, et dérivé de sinus
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de x est juste cosinus de x.
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Par conséquent, 1 moins cosinus de x.
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Essayons donc d'évaluer cette limite.
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Qu'obtenons-nous?
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Si nous avons mis un 0 jusqu'ici, nous allons obtenir 2 fois cosinus
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de 0, ce qui est 2-- je voudrais écrire comme ça.
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C'est donc 2 fois cosinus de 0, ce qui est 1.
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Il est donc 2 moins 2 cosinus de 2 fois 0.
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Laissez-moi vous écrire cela de cette manière.
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En fait, permettez-moi de vous faire de cette façon.
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Si nous avons simplement de évaluer la limite du numérateur et
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du dénominateur , que va-t-il se passer?
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Nous avons 2 cosinus de 0, qui est de 2.
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Moins 2 fois cosinus de ... bien, ce 2 fois 0 est
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encore à 0.
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Tellement moins 2 fois cosinus de 0, qui est de 2.
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Tout cela sur 1 moins le cosinus de 0, qui est de 1.
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Donc, une fois de plus, nous obtenons 0/0.
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Alors, est-ce que cela signifie que la limite n'existe pas ?
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Non, il peut encore exister, nous pourrions faire
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la règle du L'Hospital .
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Permettez-moi de prendre la dérivée de que et le mettre sur
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la dérivée de que.
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Et puis prendre la limite et peut-être la regle du L'Hopsital
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vont nous aiderons pour la prochaine estage.
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Voyons donc si elle ne nous mène nulle part.
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Ceci devrait donc être égal à la limite si la regle du L'Hospital
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s'applique ici.
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Nous ne sommes pas 100% sûr encore.
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Cela doit être égal à la limite lorsque x tend vers 0 de la
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dérivée de cette chose sur la dérivée de cette chose.
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Quelle est donc la dérivée de 2 cosinus de x?
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Ainsi, dérivé de cosinus de x est négatif sinus de x.
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Il est donc négative 2 sinus de x.
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Et puis dérivé de cosinus de 2x est négatif 2 sinus de 2x.
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Nous allons avoir ce négatif annuler avec le
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Négatif sur le négatif 2 puis 2 fois la 2.
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Donc il va être plus 4 sinus de 2x.
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Je voudrais m'assurer que javais faire cette problem correctement
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.Nous avons au moins 2 ou 2 sur l'extérieur.
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Dérivé du cosinus de 2x va être 2 fois
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négatif sinus de x.
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Pour le 2 fois 2 est 4.
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La négative sinus de x fois ... le négatif
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il y a un plus.
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Vous avez un sinus, donc c'est le sinus de 2x.
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C'est le numérateur lorsque vous prenez la dérivée.
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Et le dénominateur, c'est juste un exercice en
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prenant les dérivés.
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Quelle est la dérivée du dénominateur?
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Dérivé de 1 est 0.
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Et dérivée négative cosinus de x est juste -- et bien,
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c'est juste sinus de x.
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Examinons donc cette limite.
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Il s'agit donc d'être égal à -- bien, immédiatement si je
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prends x est égal à 0 dans le dénominateur, je sais que
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sinus de 0 est seulement à 0.
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Voyons ce qui se passe dans le numérateur.
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Négatif 2 fois sinus de 0.
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Qu'est-ce qui se passe à 0.
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Et puis plus 4 fois sinus de 2 fois 0.
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Et bien, c'est encore sinus de 0, de sorte que c'est toujours 0.
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Donc, une fois de plus, nous avons eu indéterminée forme encore.
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Avons-nous fait?
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Allons-nous leur offrir?
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Nous pouvons dire que la règle du L'Hospital n'a pas fonctionné?
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Non, parce que cette situation aurait pu être notre première limite problème.
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Et si c'est notre première limite problème nous dire, hé, nous pourrions peut-être
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utiliser la règle du L'Hospital ici parce que nous avons obtenu
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la forme indéterminée
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Le numérateur et le dénominateur approche
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0 lorsque x tend vers 0.
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Prenons donc le dérivés à nouveau.
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Ce sera égal à -- si la limite existe, la
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limite lorsque x tend vers 0.
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Prenons la dérivée du numérateur.
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La dérivée de négatif 2 sinus de x est négatif
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2 Cosinus de x.
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Et puis, plus la dérivée de 4 sinus de 2x.
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Eh bien, c'est 2 fois 4, qui est de 8.
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Fois cosinus de 2x.
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Dérivé du sinus de 2x est 2 cosinus de 2x.
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Et ce premier 2 est multiplié par
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4 pour obtenir le 8.
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Et puis la dérivée du dénominateur, dérivé de sinus
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de x est juste cosinus de x.
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Nous allons donc évaluer ce caractère.
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Il semble donc que nous avons fait certains progrès ou peut-être
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La règle du L'Hopital butée en appliquant ici parce que nous voulons prendre la limite
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lorsque x tend vers 0 de cosinus de x.
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C'est-à-dire 1.
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Nous sommes donc absolument pas obtenir ce forme indéterminée,
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que 0/0 de cette itération.
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Voyons ce qui se passe pour le numérateur.
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Nous obtenons négative 2 fois cosinus de 0.
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Et bien c'est tout simplement une attitude négative 2 parce que cosinus de 0 est 1.
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Plus 8 fois cosinus de 2x.
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Ainsi, si x est 0, donc il va être cosinus de 0, qui est de 1.
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Il est donc tout simplement à être un 8.
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Tellement négative 2 plus 8.
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Ainsi cette chose droit ici, négatif 2 plus 8 est 6.
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6 Sur 1.
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Tout cela, c'est égal à 6.
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Pour la règle du L'Hospital -- cela s'applique à cette dernière étape.
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Si c'était le problème que nous avons vu et nous l'avons dit, hé, lorsque nous avons
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essayé d'appliquer la limite, nous obtenir la limite ce numérateur
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Approches 0 est 0.
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Limite comme ce dénominateur tend vers 0 est 0.
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Comme la dérivée du numérateur de la dérivée
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du dénominateur, qui existe et qu'il est égal à 6.
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Par conséquent, cette limite doit être égale à 6.
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Et si cette limite est égale à 6, par le même argument, cette
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limite est aussi égale à 6.
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Et par le même argument, cette limite doit
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être égale à 6.
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Et nous avons terminé.
