L'hopitali reegel, esimene näide.

L'Hopital's Rule Example 1

Oletame, et me peame arvutama piirväärtuse, kus x läheneb nullile 2 siinus x'ist - sin2x jagada x miinus sin(x)

Oletame, et me peame arvutama piirväärtuse, kus x läheneb nullile 2 siinus x'ist - sin2x jagada x miinus sin(x)

Oletame, et me peame arvutama piirväärtuse, kus x läheneb nullile 2 siinus x'ist - sin2x jagada x miinus sin(x)

Esimese asjana, kui ma lahendan piirväärtusega ülesandeid, siis ma mõtlen, mis juhtub, kui ma arvutan selle funktsiooni, kui x=0'iga.

Esimese asjana, kui ma lahendan piirväärtusega ülesandeid, siis ma mõtlen, mis juhtub, kui ma arvutan selle funktsiooni, kui x=0'iga.

Esimese asjana, kui ma lahendan piirväärtusega ülesandeid, siis ma mõtlen, mis juhtub, kui ma arvutan selle funktsiooni, kui x=0'iga.

Äkki midagi hullu ei juhtu, nii et proovime seda.

Äkki midagi hullu ei juhtu, nii et proovime seda.

Kui me proovime lahendada, kui x=0, mis juhtub?Me saame 2 siinus nullist, mis on null.

Kui me proovime lahendada, kui x=0, mis juhtub?Me saame 2 siinus nullist, mis on null.

Miinus siinus2 korrutada null.No see on jälle siinus nullist, mis on null.

Miinus siinus2 korrutada null.No see on jälle siinus nullist, mis on null.

Nii et meie lugeja on siis võrdne nulliga.Siinus nullist on ju null.

Nii et meie lugeja on siis võrdne nulliga.Siinus nullist on ju null.

Ja meil on teine siinus nullist, mis on jälle null, ehk kõik on null.

Ja meil on teine siinus nullist, mis on jälle null, ehk kõik on null.

Ning meie nimetajas on null miinus siinus nullist.

Ning meie nimetajas on null miinus siinus nullist.

Mis on ka null.Kuid meil on määramata avaldis,meil on see defineerimata 0/0, millest me eelmises videos rääkisime.

Mis on ka null.Kuid meil on määramata avaldis,meil on see defineerimata 0/0, millest me eelmises videos rääkisime.

Mis on ka null.Kuid meil on määramata avaldis,meil on see defineerimata 0/0, millest me eelmises videos rääkisime.

Nii et võibolla,me saame kasutada L'Hopitali reeglit siin.Et L'Hopital reeglit kasutada siis piirväärtus, kui x

Nii et võibolla,me saame kasutada L'Hopitali reeglit siin.Et L'Hopital reeglit kasutada siis piirväärtus, kui x

läheneb nullile, siis selle funktsiooni tuletis ning selle funktsiooni tuletis peab eksisteerima.

läheneb nullile, siis selle funktsiooni tuletis ning selle funktsiooni tuletis peab eksisteerima.

Kasutame L'Hopitali reeglit ning võtame mõlemast tuletise ja vaatame, kas me leiame piirväärtuse.

Kasutame L'Hopitali reeglit ning võtame mõlemast tuletise ja vaatame, kas me leiame piirväärtuse.

Kui me saame seda teha, siis see ongi selle piirväärtuseks.Nii et see asi, oletades, et see eksisteerib, hakkab olema võrdne,

Kui me saame seda teha, siis see ongi selle piirväärtuseks.Nii et see asi, oletades, et see eksisteerib, hakkab olema võrdne,

Piirväärtus,kus x läheneb nullile lugeja tuletisest.

Piirväärtus,kus x läheneb nullile lugeja tuletisest.

Ning mis on lugeja tuletis?Ma lahendan selle uue värviga.

Ning mis on lugeja tuletis?Ma lahendan selle uue värviga.

Ma lahendan selle rohelisega.No 2sin(x) tuletis on 2 cos(x).

Ma lahendan selle rohelisega.No 2sin(x) tuletis on 2 cos(x).

Ja siis miinus--no siinus2x tuletis on 2 coosinus 2x'i

Ja siis miinus--no siinus2x tuletis on 2 coosinus 2x'i

Ehk siis miinus 2 coosinus(2x).Lihtsalt kasutage ahelreeglit, sisemine tuletis on lihtsalt 2.

Ehk siis miinus 2 coosinus(2x).Lihtsalt kasutage ahelreeglit, sisemine tuletis on lihtsalt 2.

Ehk siis miinus 2 coosinus(2x).Lihtsalt kasutage ahelreeglit, sisemine tuletis on lihtsalt 2.

See kaks on seal.Ning välimise tuletis on cosinus 2x, ning meil on see negatiivne number seal.

See kaks on seal.Ning välimise tuletis on cosinus 2x, ning meil on see negatiivne number seal.

See kaks on seal.Ning välimise tuletis on cosinus 2x, ning meil on see negatiivne number seal.

Nii et see on meie lugeja tuletis ning mis on meie nimetaja tuletis.

Nii et see on meie lugeja tuletis ning mis on meie nimetaja tuletis.

Nii et see on meie lugeja tuletis ning mis on meie nimetaja tuletis.

No x'i tuletis on lihtsalt 1 ning sin(x) tuletis on cos(x).

No x'i tuletis on lihtsalt 1 ning sin(x) tuletis on cos(x).

Ehk siis 1 miinus cos(x).Proovime arvutada nüüd seda piirväärtust.

Ehk siis 1 miinus cos(x).Proovime arvutada nüüd seda piirväärtust.

Mis me saame?Kui me paneme nulli siia, saame me 2cos(0), mis on 2--las ma kirjutan selle niimodi.

Mis me saame?Kui me paneme nulli siia, saame me 2cos(0), mis on 2--las ma kirjutan selle niimodi.

Mis me saame?Kui me paneme nulli siia, saame me 2cos(0), mis on 2--las ma kirjutan selle niimodi.

See on 2cos(0), mis on 1, ehk 2.Miinus 2cos2(0).

See on 2cos(0), mis on 1, ehk 2.Miinus 2cos2(0).

Ma kirjutan selle niiviisi.Las ma teen tegelikult hoopis niimodi.

Ma kirjutan selle niiviisi.Las ma teen tegelikult hoopis niimodi.

Kui me arvutame lugeja ning nimetaja piirväärtused, mis me saame?

Kui me arvutame lugeja ning nimetaja piirväärtused, mis me saame?

Me saame 2 coosinus (0), mis on 2.Miinus 2 coosinus--no see 2 korrutada 0 on.

Me saame 2 coosinus (0), mis on 2.Miinus 2 coosinus--no see 2 korrutada 0 on.

ikkagi null.Ehk siis miinus 2 cos(0), mis on 2.

ikkagi null.Ehk siis miinus 2 cos(0), mis on 2.

Kõik jagada 1 miinus cos(0),mis on 1, ehk me saame jälle 0/0.

Kõik jagada 1 miinus cos(0),mis on 1, ehk me saame jälle 0/0.

Kas see tähendab, et meie piirväärtust ei eksisteerigi?Ei, see võib ikkagi eksisteerida, me lihtsalt peame,

Kas see tähendab, et meie piirväärtust ei eksisteerigi?Ei, see võib ikkagi eksisteerida, me lihtsalt peame,

kasutame L'hopitali reeglit jälle.Las ma võtan selle tuletise ning jagan selle tuletisega.

kasutame L'hopitali reeglit jälle.Las ma võtan selle tuletise ning jagan selle tuletisega.

kasutame L'hopitali reeglit jälle.Las ma võtan selle tuletise ning jagan selle tuletisega.

Ning siis leiame jälle piirväärtuse ja äkki siis aitab L'hopitali reegel järgmisel lahendamisel.

Ning siis leiame jälle piirväärtuse ja äkki siis aitab L'hopitali reegel järgmisel lahendamisel.

Vaatame, kas see viib kuhugi meid välja.See peaks olema võrdne piirväärtusega, kui L'Hopitali reegel kehtib siin.

Vaatame, kas see viib kuhugi meid välja.See peaks olema võrdne piirväärtusega, kui L'Hopitali reegel kehtib siin.

Vaatame, kas see viib kuhugi meid välja.See peaks olema võrdne piirväärtusega, kui L'Hopitali reegel kehtib siin.

Me ei ole 100% kindlad veel.See peaks olema võrdne piirväärtusega, kus x läheneb nullile ning tuletis sellest jagada tuletis sellest.

Me ei ole 100% kindlad veel.See peaks olema võrdne piirväärtusega, kus x läheneb nullile ning tuletis sellest jagada tuletis sellest.

Me ei ole 100% kindlad veel.See peaks olema võrdne piirväärtusega, kus x läheneb nullile ning tuletis sellest jagada tuletis sellest.

Mis on 2 cos(x) tuletis.No cos(x) tuletis on -sin(x).

Mis on 2 cos(x) tuletis.No cos(x) tuletis on -sin(x).

See on siis -2sin(x).Ning cos(2x) tuletis on - 2sin(2x).

See on siis -2sin(x).Ning cos(2x) tuletis on - 2sin(2x).

Meil on see negatiivne, mis taandab selel negatiivse kahe ning siis 2 korrutada 2.

Meil on see negatiivne, mis taandab selel negatiivse kahe ning siis 2 korrutada 2.

Ehk siis jääb 4sin(2x).Ma vaatan üle, kas ma tegin selle õigesti.

Ehk siis jääb 4sin(2x).Ma vaatan üle, kas ma tegin selle õigesti.

Meil on -2 või siis -2 väljaspool.cos2x tuletis on 2 korrutada - sin(x).

Meil on -2 või siis -2 väljaspool.cos2x tuletis on 2 korrutada - sin(x).

Meil on -2 või siis -2 väljaspool.cos2x tuletis on 2 korrutada - sin(x).

Kaks korrutada kahega on neli. - sin(x) korrutada--

Kaks korrutada kahega on neli. - sin(x) korrutada--

miinus muutub plussiks.Meil on positiivne siinus, ehk see on sisi sin(2x).

miinus muutub plussiks.Meil on positiivne siinus, ehk see on sisi sin(2x).

See on lugeja tuletis.Ning nimetaja--see on lihtsalt tuletiste võtmiste harjutus.

See on lugeja tuletis.Ning nimetaja--see on lihtsalt tuletiste võtmiste harjutus.

See on lugeja tuletis.Ning nimetaja--see on lihtsalt tuletiste võtmiste harjutus.

Mis on nimetaja tuletis?Ühe tuletis on null.

Mis on nimetaja tuletis?Ühe tuletis on null.

Ning -cos(x) tuletis on--no see on lihtsalt -sin(x).

Ning -cos(x) tuletis on--no see on lihtsalt -sin(x).

Ning leiame selle piirväärtuse.See hakkab võrdne olema--no kui x=0, siis nimetaja,

Ning leiame selle piirväärtuse.See hakkab võrdne olema--no kui x=0, siis nimetaja,

Ning leiame selle piirväärtuse.See hakkab võrdne olema--no kui x=0, siis nimetaja,

sin(0) on lihtsalt 0.Vaatame, mis juhtub lugejas.

sin(0) on lihtsalt 0.Vaatame, mis juhtub lugejas.

- 2 sin(0), see on võrdne nulliga.

- 2 sin(0), see on võrdne nulliga.

Liita 4 sin(2*0).No see on ikkagi sin(0), mis on jälle null.

Liita 4 sin(2*0).No see on ikkagi sin(0), mis on jälle null.

Meil on jälle määramata avaldis!Kas ongi kõik?Anname alla?

Meil on jälle määramata avaldis!Kas ongi kõik?Anname alla?

Meil on jälle määramata avaldis!Kas ongi kõik?Anname alla?

Väidame, et L'Hopitali reegel ei töötanud?Ei, sest see võis olla meie esimene piirväärtuse ülesanne.

Väidame, et L'Hopitali reegel ei töötanud?Ei, sest see võis olla meie esimene piirväärtuse ülesanne.

Ning kui see oleks meie esimene ülesanne olnud, siis me oleks öelnud, hmm, siin saaks kasutada L'Hopitali reeglit, sest meil on määramata avaldis.

Ning kui see oleks meie esimene ülesanne olnud, siis me oleks öelnud, hmm, siin saaks kasutada L'Hopitali reeglit, sest meil on määramata avaldis.

Ning kui see oleks meie esimene ülesanne olnud, siis me oleks öelnud, hmm, siin saaks kasutada L'Hopitali reeglit, sest meil on määramata avaldis.

Nii lugeja kui ka nimetaja lähenevad nullile, kui x läheneb nullile.

Nii lugeja kui ka nimetaja lähenevad nullile, kui x läheneb nullile.

Nii et me võtame nende tuletised jälle.See on võrdne--kui piirväärtus eksisteerib, kus x läheneb nullile.

Nii et me võtame nende tuletised jälle.See on võrdne--kui piirväärtus eksisteerib, kus x läheneb nullile.

Nii et me võtame nende tuletised jälle.See on võrdne--kui piirväärtus eksisteerib, kus x läheneb nullile.

Võtame lugeja tuletise. -2sin(x) tuletis on 2cos(x).

Võtame lugeja tuletise. -2sin(x) tuletis on 2cos(x).

Võtame lugeja tuletise. -2sin(x) tuletis on 2cos(x).

Ning liita 4sin(2x) tuletis.No 2 korrutada 4 on 8.

Ning liita 4sin(2x) tuletis.No 2 korrutada 4 on 8.

Korrutada cos(2x). Sin(2x) tuletis on 2cos(2x).

Korrutada cos(2x). Sin(2x) tuletis on 2cos(2x).

NIng see esimene 2 korrutatakse 4'jaga läbi, et saada see 8.

NIng see esimene 2 korrutatakse 4'jaga läbi, et saada see 8.

Ning nimetaja tuletis, sin(x) tuletis on lihtsalt cos(x).

Ning nimetaja tuletis, sin(x) tuletis on lihtsalt cos(x).

Leiame siis selle avaldise väärtuse.Tundub, et me oleme teinud edusamme, või L'Hopitali reegel ei kehti enam siin, sest me võtame piirväärtuse,

Leiame siis selle avaldise väärtuse.Tundub, et me oleme teinud edusamme, või L'Hopitali reegel ei kehti enam siin, sest me võtame piirväärtuse,

Leiame siis selle avaldise väärtuse.Tundub, et me oleme teinud edusamme, või L'Hopitali reegel ei kehti enam siin, sest me võtame piirväärtuse,

x läheneb nullile, coosinus x'ist.Mis on 1.

x läheneb nullile, coosinus x'ist.Mis on 1.

Nii et nüüd me kindlasti ei saa seda määramata avaldist, seda 0/0.

Nii et nüüd me kindlasti ei saa seda määramata avaldist, seda 0/0.

Vaatame, mis juhtub lugejaga.Me saame -2cos(0).

Vaatame, mis juhtub lugejaga.Me saame -2cos(0).

See on lihtsalt -2, sest cos(0) on 1. Liita 8 korrutada cos(2x).

See on lihtsalt -2, sest cos(0) on 1. Liita 8 korrutada cos(2x).

No kui x=0, siis tuleb sinna cos(0), mis on 1.Nii et jääb lihtsalt 8.

No kui x=0, siis tuleb sinna cos(0), mis on 1.Nii et jääb lihtsalt 8.

-2 pluss 8.See asi siin samas, -2 pluss 8 on 6.

-2 pluss 8.See asi siin samas, -2 pluss 8 on 6.

6 jagada 1.See kogu lahendus võrdub kuuega.

6 jagada 1.See kogu lahendus võrdub kuuega.

Nii et L'Hopitali reegel--see kehtib siin viimase sammu juures.

Kui see oleks ülesanne, mis meile anti ning me ütleks, et kui me proovisime leida piirväärtust ning saime, et lugeja läheneb 0 on 0.

Kui see oleks ülesanne, mis meile anti ning me ütleks, et kui me proovisime leida piirväärtust ning saime, et lugeja läheneb 0 on 0.

Kui see oleks ülesanne, mis meile anti ning me ütleks, et kui me proovisime leida piirväärtust ning saime, et lugeja läheneb 0 on 0.

Nimetaja piirväärtus läheneb nullist nullini.Aga lugeja tuletis jagada nimetaja tuletisega eksisteerib ning see on võrdne kuuega.

Nimetaja piirväärtus läheneb nullist nullini.Aga lugeja tuletis jagada nimetaja tuletisega eksisteerib ning see on võrdne kuuega.

Nimetaja piirväärtus läheneb nullist nullini.Aga lugeja tuletis jagada nimetaja tuletisega eksisteerib ning see on võrdne kuuega.

Nii et see piirväärtus peab olema võrdne kuuega.Ja kui see piirväärtus on võrdne kuuega, siis ka see piirväärtus on võrdne kuuega.

Nii et see piirväärtus peab olema võrdne kuuega.Ja kui see piirväärtus on võrdne kuuega, siis ka see piirväärtus on võrdne kuuega.

Nii et see piirväärtus peab olema võrdne kuuega.Ja kui see piirväärtus on võrdne kuuega, siis ka see piirväärtus on võrdne kuuega.

Ning sama väite põhjal on ka see piirväärtus võrdne kuuega.

Ning sama väite põhjal on ka see piirväärtus võrdne kuuega.

Ja ülesanne ongi lahendatud.

Kõik jagada 1 miinus cos(0),mis on 1, ehk me saame jälle 0/0.

Ma lahendan selle rohelisega.No 2sin(x) tuletis on 2 cos(x).

Ning -cos(x) tuletis on--no see on lihtsalt -sin(x).