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Digamos que tenemos que evaluar el limite cuando x tiende a cero de
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2 por el seno de x minos el seno de 2 x, todo esto sobre x
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menos el seno de x
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Ahora, lo primero que yo siempre trato de hacer cuando
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veo un problema de limites es decir: que pasa si trato de
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evaluar esta funcion cuando x es igual a cero?
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Quizas nada malo pase.
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Veamos que pasa si lo intentamos.
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Si tratamos de evaluar x igual a cero, que sucede?
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Obtenemos 2 por el seno de cero, lo cual es cero.
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Menos seno de 2 por cero.
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Eso es el seno de cero otra vez, lo cual es cero.
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De manera que nuestro numerador es cero.
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El seno de cero es cero.
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Entonces tenemos otro seno de cero ahi.
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Esto es otro cero, asi que todos los terminos son cero.
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Y en nuestro denominador tenemos
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un cero menos el seno de cero.
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Lo cual es tambien cero.
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Obtenemos, pues, una forma indeterminada, algo no definido:
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cero sobre cero, de lo cual hablamos en el video anterior.
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Quizas podamos usar la regla de L'Hopital en esta expresion.
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Para usar la regla de L'Hopital, el limite cuando x
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tiende a cero de la derivada de esta funcion sobre
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la derivada de esta otra funcion debe existir.
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Apliquemos entonces la regla de L'Hopital y tomemos la
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derivada de cada una de estas funciones y veamos si podemos encontrar el limite.
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Si podemos encontrarlo, entonces este va a ser el limite de esta expresion.
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Entonces esto, asumiendo que exista, va a ser igual
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al limite cuando x tiende a cero de la derivada de este
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numerador aqui.
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Y cual sera' la derivada del numerador?
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La escribire' en un color diferente.
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En verde.
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Pues, la derivada de 2 seno de x es 2 coseno de x.
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Y, menos, bueno, la derivada del seno
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de 2 x es 2 coseno de 2 x.
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Menos 2 coseno de 2 x.
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Usemos la regla de la cadena aqui, la derivada de
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la expresion interior es simplemente 2.
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Es decir el 2 aqui afuera.
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La derivada de la parte exterior es el coseno de 2 x, y tenemos este
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numero negativo aqui.
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Esa es la derivada del numerador, Maria, y
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cual es la derivada
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del denominador?
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Pues, la derivada de x es 1, y la derivada del seno
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de x es el coseno de x.
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Asi que es 1 menos el coseno de x.
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Evaluemos entonces este limite.
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Que resulta?
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Si colocamos un cero aqui obtenemos 2 por el coseno
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de cero, lo cual es 2 -- escribamoslo aqui.
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Entonces esto es 2 por el coseno de cero, que es 1.
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Es 2 menos 2 coseno de 2 por cero.
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Escribamos esta expresion.
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Mejor hagamoslo de esta manera.
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Si evaluamos directamente el limite del numerador y
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del denominador, que obtenemos?
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Obtenemos 2 coseno de 0, lo cual es 2.
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Menos 2 por el coseno de, bien, este 2 por cero es
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igual a cero.
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Entonces tenemos 2 por el coseno de cero, que es 2.
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Tode esto sobre 1 menos el coseno de cero, que es 1.
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Asi que, otra vez, tenemos cero sobre cero.
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Quiere decir esto que el limite que buscamos no existe?
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No, ese limite puede aun existir, lo que tenemos que hacer es usar
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la regla de L'Hopital una vez mas.
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Tomemos la derivada de este termino y pongamosla sobre
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la derivada de este otro termino.
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Y entonces tomemos el limite y quizas la regla de L'Hopital
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nos ayudara en el siguiete [inaudible]
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Veamos, pues, si nos lleva a una conclusion final.
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Entonces esto debe ser igual al limite si la regla de L'Hopital
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aplica a esta expresion.
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De lo cual no estamos 100% seguros aun.
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Esto debe ser igual al limite cuando x tiende a cero de
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la derivada de esto sobre la derivada de esto otro.
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Cual es la derivada de 2 por el coseno de x?
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La derivada del coseno de x es el negativo del seno de x,
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Entonces, esto es el negativo de 2 por el seno de x.
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Y la derivada del coseno de 2 x es menos 2 seno de 2 x.
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Asi que este termino negaitvo se cancela con
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el negativo de menos 2 y resulta un 2 por 2.
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Lo cual es 4 por el seno de 2 x.
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Verifiquemos que hicimos esta operacion correctamente.
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Tenemos menos 2 o el negativo de 2 en la parte de afuera
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La derivada del coseno de 2 x es 2 por
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menos el seno de x.
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Asi que 2 por 2 es 3.
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Menos el seno de x por -- este menos
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aqui produce un mas.
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Tenemos pues mas seno, asi que resulta ser el seno de 2x.
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Este es el numerador cuando calculamos la derivada.
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Y en el denominador, tomamos tambien
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la derivada.
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Cual es la derivada del denominador?
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La derivada de 1 es cero.
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Y la derivada de menos coseno de x es
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el seno de x.
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Asi que calculemos el limite.
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Este limite es igual ... Tomando
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x igual a cero en el denominador, sabemos que
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el seno de cero es cero.
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Y que sucede en el numerador?
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Menos 2 por el seno de cero.
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Es cero.
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Mas 4 por el seno de 2 por cero.
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Esto es el seno de cero, asi que el resultado final aqui es cero.
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Una vez mas tenemos la forma indeterminada cero sobre cero.
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Es este el resultado final?
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Nos damos por vencidos?
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Concluimos que la regla de L'Hopital no produjo ningun resultado?
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No, porque ese fue nuestro primer resultado.
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Y como este es nuestro primer problema de limites, decimos
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que podemos usar la regla de L'Hopital porque tenemos
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una forma indeterminada.
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Tanto el numerador como el denominador tienden a
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cero cuando x tiende a cero.
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Tomemos las derivadas una vez mas.
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Esto sera igual a -- si el limite existe,
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el limite cuando x tiende a cero.
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Tomemos la derivada del numerador.
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La derivada de menos 2 seno de x es menos
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2 coseno de x.
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Mas la derivada de 3 por el seno de 2 x.
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es 2 por 4, es decir, 8
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por el coseno de 2 x.
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La derivada del seno de 2 x es el coseno de 2 x.
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Y este primer 2 se multiplica por
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4 para obtener 8.
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Y la derivada del denominador es la derivada del seno
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de x que es el coseno de x.
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Evaluemos esta expresion.
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Parace que conseguimos algo razonable o talvex
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la regla de L'Hopital no aplica mas porque tomamos el limite
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cuando x tiende a cero del coseno de x.
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Que es 1.
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Asi que definitivamente no vamos a tener mas una forma indeterminaa,
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no mas cero sobre cero en esta iteracion de derivadas.
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Que sucede en el numerador?
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Tenemos menos 2 por el coseno de cero.
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Lo cual es simplemente menos 2 por que el coseno de cero es 1.
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Mas 8 por el coseno de 2 x.
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Si x es cero, esto es el coseno de cero, que es 1.
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Entonces este termino es un 8.
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Menos 2 mas 8.
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Este termino aqui es, menos 2 mas 8, es decir, 6.
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6 dividido por 1.
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Es igual a 6.
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Asi que la regla de L'Hopital aplica a este ultimo paso.
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Si este fue el problema dado, y dijimos, cuando
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tratamos de aplicar el limite, el limite cuando este numerador
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tiende a cero es cero.
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El limite cuando este denominador tiende a cero es cero.
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Cuando la derivada de este numerador sobre la derivada
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del denominador, existe, y es igual a 6.
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Entonces este limite debe ser igual a 6.
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Si este limite es igual a 6, utilizando el mismo argumento, este
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limite es tambien igual a 6.
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Y, usando el mismo argumento, este limite tiene que
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ser igual a 6 tambien.
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Y hemos resuelto nuestro problema.
