-
Řekněme, že potřebujeme vypočítat limitu,
-
kdy ‚x‘ jde k 0 ze 2 krát sin(x) minus
sin(2 krát x) celé děleno x minus sin(x).
-
První věc, kterou vždy zkouším,
když vidím nějakou limitu,
-
je zjistit, co vyjde po dosazení
0 za ‚x‘ do dané funkce.
-
Možná se nestane nic bláznivého,
ale pojďme to zkusit.
-
Pokud za ‚x‘ dosadíme 0,
co se stane?
-
Dostaneme 2 sinus z 0, což je 0,
minus sin(2 krát 0)
-
což je sin(0),
a to je také rovno 0.
-
Náš čitatel bude roven 0.
-
Sinus 0 je 0.
-
Tady máme další sinus 0,
což je další 0, všechny jsou nuly.
-
Ve jmenovateli máme
0 minus sin(0), což je také 0.
-
Máme tu proto neurčitý výraz, nedefinované
0 děleno 0, o kterém jsem mluvili dříve.
-
Možná můžeme použít
l'Hospitalovo pravidlo.
-
Abychom mohli
použít l'Hospitalovo pravidlo,
-
musí limita ‚x‘ jdoucí k 0 derivace funkce
děleno derivací této funkce existovat.
-
Použijme l'Hospitalovo pravidlo,
vezměme derivace obou funkcí,
-
uvidíme,
zda umíme vypočítat limitu.
-
Pokud ano, našli jsme
zároveň původní limitu.
-
Za předpokladu,
že limita existuje,
-
bude rovna limitě ‚x‘ jdoucí k 0 derivaci
čitatele lomeno derivace jmenovatele.
-
Čemu se rovná derivace čitatele?
-
Použiji novou barvu, třeba zelenou.
-
Derivace 2 krát sin(x) je 2 krát cos(x)
-
a derivace sin(2 krát x) je
2 krát cos(2 krát x)
-
takže minus 2 krát cos(2 krát x).
-
Použili jsme derivaci složené funkce,
derivace vnitřní funkce je rovna 2.
-
To je ta 2 před kosinem.
-
Derivace vnější funkce je
cos(2 krát x) a máme tu ještě minus.
-
Vypočítali jsme derivaci čitatele.
-
Čemu je rovna derivace
našeho jmenovatele?
-
Derivace x je 1
a derivace sin(x) je cos(x),
-
takže 1 minus cos(x).
-
Zkusme vypočítat tuto limitu.
-
Co dostaneme?
-
Pokud dosadíme 0 sem,
dostaneme 2 krát cos(0), což je 2.
-
2 krát cos(0) je 2 krát 1, což je 2,
2 minus 2 krát cos(2 krát 0).
-
Zapišme to takto.
-
Pokud přímo vypočítáme limitu čitatele
a jmenovatele, co dostaneme?
-
Dostaneme 2 krát cos(0), což je 2,
minus 2 krát cos(2 krát 0),
-
2 krát 0 je pořád 0,
-
a minus 2 krát cos(0) je 2.
-
To vše děleno 1 minus cos(0), což je 1.
-
Takže opět zde máme
neurčitý výraz 0 děleno 0.
-
Znamená to,
že limita neexistuje?
-
Ne, pořád může existovat, jen potřebujeme
l'Hospitalovo pravidlo ještě jednou.
-
Vypočítáme derivaci derivace
našich funkcí a vydělíme je.
-
Uděláme z toho limitu a možná nám
tentokrát l'Hospitalovo pravidlo pomůže.
-
Podívejme se, zda-li
se někam dostaneme.
-
Mělo by to být rovno limitě...
-
Pokud zde l'Hospitalovo
pravidlo pomůže.
-
Nejsme si 100% jistí.
-
Může to být rovno limitě:
-
‚x' blížící se k 0 z derivace již jednou
námi zderivovaných funkcí.
-
Čemu je rovna
derivace 2 krát cos(x)?
-
Derivace cos x je −sin(x).
-
Takže minus 2 krát sin(x),
-
derivace cos(2 krát x) je
−2 krát sin(2 krát x).
-
Minus se nám vyruší s minusem
u 2 a 2 krát 2 je 4.
-
Řešení je tedy 4 sin(2 krát x).
-
Zkontrolujme, že jsme
to vypočítali správně.
-
Máme minus 2 nebo −2 na začátku.
-
Derivace cos(2 krát x) je 2 krát
−sin(x), a zároveň 2 krát 2 je 4.
-
−sin(2 krát x) krát minus
je plus sin(2 krát x).
-
Jde jen o procvičení derivací.
-
Čemu je rovna
derivace jmenovatele?
-
Derivace 1 je 0.
-
Čemu se rovná derivace −cos(x)?
-
Je to sin(x).
-
Pokud z toho uděláme limitu,
čemu se to bude rovnat?
-
Když ‚x‘ ve jmenovateli jde k 0,
tak dosadím a sin(x) je 0.
-
Podívejme se na čitatel.
-
−2 krát sin(0), což je 0,
plus 4 krát sin(2 krát 0).
-
To je pořád 0, takže
čitatel je roven 0.
-
Opět zde máme nedefinovaný výraz.
-
Jsme u konce,
vzdáme to?
-
Řekneme, že l'Hospitalovo
pravidlo nefunguje?
-
Ne, protože toto může být
zadání našeho dalšího příkladu.
-
Pokud to uvidíme jako
zadání příkladu, řekneme si,
-
že lze možná užít l'Hospitalovo pravidlo,
protože nám vychází nedefinovaný výraz.
-
Čitatel i jmenovatel je
roven 0 pro ‚x' blížící se k 0.
-
Zkusme funkce zderivovat znovu.
-
To se bude rovnat,
pokud tedy limity existují,
-
limitě ‚x‘ blížící se k 0…
-
Zderivujeme čitatel.
-
Derivace −2 krát sin(x) je −2 krát cos(x)
plus derivace 4 krát sin(2 krát x),
-
2 krát 4 je 8, krát cos(2 krát x),
-
protože derivace sin(2 krát x)
je 2 krát cos(2 krát x).
-
Ta 2 se vynásobí se 4
a dostaneme 8.
-
Derivace jmenovatele je
derivace sin(x), což se rovná cos(x).
-
Zkusme dosadit.
-
Vypadá to, že jsme
udělali určitý pokrok,
-
nebo možná přestaneme
aplikovat l'Hospitalovo pravidlo.
-
Limita ‚x‘ blížící se 0 z cos(x) je 1.
-
Určitě nedostaneme nedefinovaný
výraz 0 děleno 0 v tomto kroku.
-
Podívejme se, co se stalo
s čitatelem, −2 krát cos(0).
-
To je −2, protože cos(0) je rovno 1.
-
K tomu přičteme 8 krát cos(2 krát x).
-
Jelikož x je 0, pak cos(2 krát x)
je roven cos(0) což je 1.
-
To se bude rovnat 8.
-
−2 plus 8 je 6,
to celé děleno 1.
-
Celý výraz je roven 6.
-
Tedy L'Hospitalovo
fungovalo i na tento příklad.
-
Pokud dostaneme takový příklad
a zkusíme dosadit z limity, dostaneme,
-
že limita čitatele jdoucí k 0 je rovna 0
a to samé vyjde u jmenovatele.
-
Derivace čitatele děleno derivací
jmenovatele existuje a je rovna 6.
-
Limita musí být rovna 6.
-
Pokud je tato limita rovna 6,
-
pak ze stejných důvodů
je tato limita rovna také 6.
-
Ze stejného důvodu
je i tato limita rovna 6.
-
A máme hotovo..
