TItre: Simplification des racines carrées

Using exponent rules to simplify radicals or square roots

Bienvenue à la présentation sur la simplification des radicaux

Bon commencons par éclaircir la terminologie,

vous vous demandez probablement ce qu'est un radical, et bien je vais vous le dire.

Un radical c'est juste ceci

vous êtes plus familiers sans doute avec le terme Racine Carrée

Bon maintenant qu'on a parlé vocabulaire,

voyons vraiment comment simplifier une racine carrée

certaines personnes pourraient arguer que ce qu'on va faire

rend en fait les choses plus compliquées,

mais voyons voir

si je vous donne à calculer la Racine Carrée de 36

vous me direz "hey, c'est simple!"

C'est juste égal à 6 fois 6

ou encore si vous le savez directement, la racine carrée de 36 c'est 6 !

bon et maintenant si je vous demande la racine carrée de 72

Et bien on sait que 72 c'est 36 fois 2, n'est ce pas ?

Donc écrivons ceci

Racine de 72 est la même chose que la racine de (36 x 2)

n'est ce pas ? on Réécrit juste 72 comme 36 fois 2

et la racine carrée, si vous vous souvenez du cours sur les puissances

la racine carrée c'est comme un exposant 1/2

Donc on peut l'écrire de cette façon

et je l'écris ainsi juste pour vous montrer comment la simplification de racine fonctionne

ce n'est vraiment pas un concept nouveau

donc c'est la même chose que 36 fois 2 à la puissance un demi (1/2)

n'est ce pas ? puisque la racine carrée est la même chose que la puissance un demi

et on a appris dans les règles sur les puissances que quand on multiplie

2 nombres puis qu'on élève à la puissance 1/2

c'est la même chose que d'élever chaque nombre à la puissance 1/2

puis de les multiplier, n'est ce pas ?

donc ici, on a la racine carrée de 36 multipliée par la racine carrée de 2

or on a déjà vu combien faisait racine carrée de 36

c'est 6

donc le total vaut 6 fois racine carrée de 2

vous vous demandez sans doute pourquoi je suis passé par cette étape de transformation

de la racine carrée en une puissance 1/2

c'était juste pour vous montrer que c'est simplement une extension des règles sur les puissances

ce n'est vraiment pas un nouveau concept

même si j'admets qu'il n'est pas forcément évident que ce sont les mêmes concepts

mais je voulais mettre ça en avant

Faisons un autre exercice

Je pense que c'est à force d'en faire que cela devient de plus en plus évident

Racine carrée de 50

alors, racine carrée de 50

50 c'est la même chose que 25 fois 2

et on sait d'après ce qu'on vient de faire que c'est juste la règle sur les puissances

donc racine de 25 fois 2 , c'est la même chose que

racine de 25 fois racine de 2

bon et on sait ce que vaut racine carrée de 25

c'est 5

donc le tout est égal à 5 fois racine carrée de 2

bon vous allez me dire "hey ça a l'air facile

mais comment tu savais qu'il fallait découper 50 en 25 fois 2 ?

Pourquoi n'ai je pas dit 50 c'est 5 fois 10 ?

ou pourquoi pas séparer 50 en 50 fois 1

et je sais quels autres facteurs 50 a

mais bon peu importe, ce n'est pas mon propos ici

la raison pour laquelle j'ai choisi 25 et 2 est juste que je voulais

la facteur le plus grand possible et qui soit un carré parfait

et c'est 25 !

si j'avais pris 5 et 10, et bien je ne pouvais pas faire grand chose avec

parce que ni 5 ni 10 ne sont des carrés parfaits

pareil avec 1 et 50

donc la bonne façon de procéder

est de penser aux facteurs du nombre initial

et réfléchir à quels sont les facteurs qui sont des carrés parfaits

il y a pas vraiment de méthode systématique

c'est vraiment à force que vous reconnaitrez les carrés parfaits

et vous vous sentirez plus à l'aise

il y a 1, 4, 9, 25, euh 16, 25, 36, 49, 64

et d'ailleurs en suivant cette vidéo, vous apprendrez à les reconnaitre encore plus facilement

et si un de ces nombres est un facteur du nombre sous la racine

et bien vous devez sans doute les factoriser

et ensuite vous pouvez les "sortir" de la racine

comme on l'a fait dans l'exemple plus haut

Faisons en quelques un en plus

que vaut 7 fois racine de 27 ?

et quand je mets un 7 devant

cela veut juste dire 7 fois la racine carrée de 27

Alors, réfléchissons aux facteurs de 27

et si l'un d'entre eux est un carré parfait

Bon, 3 est un facteur de 27, mais ce n'est pas un carré parfait

Mais 9 l'est!

alors on peut dire

que cela fait 7 fois la racine carrée de (9x3)

et maintenant, d'après les règles qu'on vient d'apprendre,

c'est la même chose que 7 fois racine de 9

multiplié par racine de 3

ce qui fait donc 7 fois 3, car racine carrée de 9 vaut 3,

fois racine de 3

Ce qui fait au final 21 fois racine de 3

Et voilà

Faisons en un autre

Que vaut 9 fois racine de 18

là encore, quels sont les facteurs de 18 ?

avons nous 6 fois 3 ?

avons nous 1 et 18 ?

Non, aucun de ces facteurs ne sont des carrés parfaits

mais nous avons aussi 2 et 9 !

et 9 est un carré parfait !

Donc écrivons ça

Cela fait 9 fois racine de (2*9)

ce qui fait 9 fois racine de 2,

oui c'est un 2, fois racine de 9

ce qui fait 9 fois racine de 2 fois 3, n'est ce pas ?

Ceci est la racine carrée de 9. Ce qui nous fait

27 fois racine de 2

Et voilà !

J'espère que vous commencez à sentir comment aborder ces problèmes

Faisons en un autre.

Que vaut 4 fois racine de 25

Bon, 25 lui même est un carré parfait !

c'est tellement facile qu'on dirait un piège

25 est un carré parfait

sa racine carrée est 5, donc ça fait juste 4 fois 5

qui font 20

Racine carrée de 25 = 5

faisons en un autre

3 fois racine carrée de 29

bon, 29 n'a que 2 facteurs

c'est un nombre premier

il a seulement 1 et 29

et aucun des deux n'est un carré parfait

donc on peut pas vraiment simplifier celui ci...

c'est déjà dans sa forme la plus simple possible

Faisons en 2 ou 3 autres

7 fois Racine carrée de 320

alors, réfléchissons aux facteurs de 320

bon pour de grands nombres on peut le faire par étapes

je peux me dire que 4 est un facteur

en fait mieux, 16 est un facteur car on voit que 16 divise 32

donc essayons ça

cela fait 7 fois racine de (16 fois 20)

ce qui fait donc 7 fois racine de 16

fois racine de 20

7 fois racine de 16

racine de 16 = 4

donc 7 fois 4 = 28

donc 28 fois racine de 20

Bon a t on vraiment fini ?

En fait, je pense que je peux factoriser 20 encore un peu plus

parce que 20, c'est 4 fois 5

donc je peux dire qu'on a 28 fois racine de (4 fois 5)

racine de 4 = 2, donc je peux "sortir" le 2

ce qui fait 56 fois racine de 5

J'espère que ça a du sens pour vous !

ce que j'ai fait ici est en réalité

une technique assez importante

Quand je regarde 320

je ne sais pas quel est le facteur le plus gros

en fait, c'est 64

mais juste en regardant d'un coup d'oeil, je me suis dire que 4 faisait l'affaire

donc j'aurais juste pu sortir le 4

puis dire "oh mais c'est 4 fois 80"

puis j'aurais fait le même travail avec 80

dans ce cas, j'ai vu 32, et je me suis dit que le 16 irait bien

c'est pourquoi j'ai utilisé le 16 en 1er.

puis quand j'ai sorti le 16, j'ai multiplié par racine de 16

c'est à dire 4, ce qui a fait 28 en multipliant par 7

Et ensuite en regardant à l'intérieur de la racine

je me suis rendu compte que c'était divisible là aussi par un carré parfait

donc j'ai recommencé avec le 20

et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait un nombre premier ou même tout simplement un nombre qu'on ne peut pas réduire

en effet le nombre n'a pas à être premier

Voilà, j'espère que cela vous a bien aidé pour la simplification de racines carrées

c'est vraiment juste une application des règles sur les puissances, rien de plus

donc j'espère qu'en faisant les exercices vous deviendrez à l'aise avec.

Amusez-vous bien !