Алгебра уровень 1: числовые свойства и абсолютная величина

1-7, числовые свойства и абсолютная величина

...

Сейчас мы попробуем пройти Калифорнийский стандартизированный тест

Выпускные вопросы по Алгебре первого уровня

В предыдущем видео, мною был рассмотрен тест по Алгебре второго уровня.

Похоже, я двигаюсь в обратном порядке.

Давайте, я попробую скопировать первый вопрос, потому что, мне кажется

мне кажется, будет полезно увидеть его целиком.

Таак, одну секунду. Я его скопировал.

Теперь мне надо передвинуть этот курсор на самый верх

и, вот, все готово.

Хорошо.

Нас спрашивают является ли уравнение вида: 3(2х-4) =-18

эквивалентом уравнению вида: 6х-12=-18

Итак, давайте подумаем.

Что будет, если мы перемножим содержимое в скобках на 3?

3 умноженное на 2х равно 6х.

3 умноженное на минус 4 равно минус 12.

И это, разумеется, равно минус 18.

Так что, конечно же, эти уравнения являются по сути одним и тем же.

Если вы умножите на 3 содержимое в скобках (2х-4), то получите

6х-12

Так что ответ, несомненно "Да".

Это точно не вариант "Нет" в самом низу.

Здесь ответ "Да", уравнения являются эквивалентными

по ассоциативному (сочетательному) закону умножения?

Нет.

по коммуникативному (переместительному) закону умножения?

Тоже нет.

Уравнения являются эквивалентными по дистрибутивному (распределительному) закону умножения.

[СИРЕНА ПОЖАРНОЙ МАШИНЫ]

Похоже пожарные спешат на вызов.

Продолжим.

На чем я остановился?

Ах, да.

Да, уравнения эквиваленты в силу

распределительного закона умножения через сложение.

Да, вот наш правильный ответ.

Мы распределяем "3" на выражение (2х - 4).

Фраза "через сложение" употребляется в всязи с тем, что

(2х-4) всегда можно представить в виде (2х+(-4)).

Сложение и вычитание, по сути, является одной операцией,

если дело касается распределительного закона умножения.

Хорошо, перейдем к следующему вопросу.

Следующее заданее я просто напишу от руки самостоятельно.

Это будет вопрос номер 2.

Нас спрашивают, чему будет равно выражение: квадратный корень из 16 плюс

кубический корень из 8?

Итак, что собой представляет квадратный корень из 16?

Когда вы видете перед собой квадратный корень из 16,

вы можете сказать, что это +4 или -4. Но когда он записан подобным образом

это означает, перед вами квадратный корень из положительного числа. Так что, это просто 4.

Иначе перед символом квадратного корня стоял бы плюс или минус,

если бы в задании требовалось взять отрицательный квадратный корень.

Итак, мы получаем 4 плюс... теперь, какое число в третьей степени дает 8?

2 в третьей степени равно 8, так?

То есть, мы можем написать, что 2 в третьей степени равно 8.

И это будет совершенно то же самое, если сказать, что кубический корень из 8

равно 2.

Так же это можно представить в виде 8 в степени 1/3.

В общем, кубический корень из 8 равен 2. Тогда получается:

4+2=6, таким образом вариант B является правильным.

Задание номер 3.

Третий вопрос.

Давайте я немного спущусь, чтобы освободить место на экране.

Хорошо, от нас требуется... Я мог бы скопировать

и показать на экране вопрос целиком.

...

Вот, готово.

От нас требуется указать, какое из предложенных выражений является эквивалентом

произведения х в шестой степени и х в квадрате?

Итак, произведение х в шестой степени и х в квадрате,

множители имеют одно основание.

При работе с множителями с одним основанием,

мы можем просто суммировать их степени.

Получается, что наше выражение можно представить как х в степени 6+2, т.е х в восьмой степени.

Такого варианта ответа нет, поэтому нам надо определить

какой из представленных вариантов является аналогом х в восьмой степени.

В каком из вариантов сумма степеней даст нам восемь?

4 плюс 3 равно 7.

5 плюс 3, этот вариант является аналогом х в восьмой степени.

Таким образом, правильным ответом является вариант "В".

Следующая задача, вопрос номер 4.

Хорошо, давайте я еще раз скопирую

и помещу вопрос на экран.

...

Хорошо.

От нас требуется указать какое из представленных чисел не имеет обратной величины?

Итак, обратным значением минус 1 является дробь 1/-1,

которая равна -1.

Каково обратное значение нуля?

1/0, что является неопределенным.

Таким образом, правильный ответ "В".

Ноль.

Мы не знаем чем является 1/0.

Возможно, вам стоит взять это в качестве проекта и поразмышлять,

что оно может обозначать?

И, разумеется, остальные числа имеют обратные величины.

1/1/1000 равно 1х1000/1, что в свою очередь

равно 1000.

Ну и обратное значение 3, это, конечно, 1/3.

Следующая задача.

...

Утверждается... да, здесь довольно много терминологии, но,

пожалуй, это даже хорошо.

От нас требуется... давайте я скопирую.

И со следующим вопросом, я пожалуй сделаю тоже самое.

...

Хорошо.

Наверно, лучше будет это сделать вот здесь.

...

Хорошо.

От нас требуется указать, что является мультипликативным обратным дроби 1/2.

Проще говоря, на что нужно умножить 1/2,

чтобы получить 1?

...

также будет верным вопрос, что является обратным значением 1/2.

Так, если я умножу на 1/2... значение, обратное 1/2,

то есть, 1/1/2.

И это будет то же самое, что и 1 умножить на 2/1,

что равно 2.

Или другой вариант подойти к этому вопросу: 2 умножить на 1/2, что будет равно 1.

Таким образом, мультипликативным обратным для 1/2 является 2.

Ответ "D".

Задача 6.

Каково решение представленного уравнения?

Хорошо, иногда эти символы абсолютной величины

могут сбивать с толка, но вам, просто, необходимо

логически подумать над этим.

Если абсолютное значение величины 2х минус 3 равно 5,

что нам это говорит?

Это значит, что 2х минус 3 равно 5, правильно?

Так как содержимое абсолютной величины равно 5, то получается,

что и абсолютное значение 5 равно 5.

Это совершенно справедливо.

Но чему еще выражение 2х минус 3 может быть равно?

Что будет, если 2х минус 3, в рамках символа абсолютной величины

будет равно минус 5?

В этом случае, вы бы взяли абсолютную величину этого значения

и получили бы 5, верно?

Таким образом 2х минус 3 также может равняться минус 5.

Когда вы видите символ абсолютной величины, вы говорите:

"Хорошо, то, что находится под знаком абсолютной величины равно либо 5,

либо минус 5, потому что мы берем абсолютное значение этого числа, чтобы, в итоге, получить 5".

Так, мы, просто, решаем два этих уравнения.

Если вы прибавите 3 к обеим сторонам уравнения,

то получите уравнение 2х равно 8.

х будет равен 4.

Во втором случае, мы прибавляем 3 к обеим сторонам уравнения.

И получаем уравнение вида: 2х равно минус 2.

х будет равен минус 2 деленное на 2, что равно минус 1.

Так х может быть равен 4, либо х может быть равен минус 1.

А это вариант "С". х = -1 или х = 4

Следующая задача.

Задания теста первого уровня решаются быстрее, чем Алгебра второго уровня.

Там задачи несколько объемнее.

Давайте я очищу экран от всего этого.

...

Эту задачу я запишу сам.

Нас спрашивают, каким является набор решений для неравенства вида:

5 минус абсолютное значение выражения х плюс 4 меньше

либо равно минус 3?

На первый взгляд, это кажется сложноватым.

Здесь я даже не могу применить ту логику, которая позволила решить предыдущую задачу, потому как

тут у меня есть эта пятерка.

Но, давайте подойдем к этому с другой стороны.

Попробуем упростить неравенство так, чтобы у нас осталось только абсолютное значение

чего-то, что меньше либо равно

чему-либо другому.

Вот что мы можем сделать, если мы хотим избавиться от этой пятерки,

важно помнить, то, что мы делаем с обеими частями уравнения или неравенства -

какие-бы преобразования мы ни выполняли с одной стороной уравнения или

неравенства, те же самые преобразования необходимо выполнить и для другой стороны.

Давайте вычтем 5 из обеих сторон уравнения.

Если мы вычтем 5 из левой части, эта пятерка исчезнет.

Я просто заминусую... давайте я распишу подробнее.

Минус 5 плюс, и я еще допишу минус 5 с этой стороны.

...

Это плюс.

Получается, минус 5 плюс 5 равно 0, тогда я просто могу оставить с минусом абсолютную величину

х плюс 4 меньше либо равно... теперь, надо посчитать

чему равно минус 3 минус 5?

Это будет минус 8.

Хорошо, теперь следующий шаг, это что-то... Возможно,

это то, что было не совсем вам очевидно и помещение неравенства сюда...

Знаете, если бы это было уравнением, вы бы, просто, сказали

Хорошо, теперь я просто умножу или разделю обе части

на минус 1, чтобы избавиться от отрицательных значений в обеих частях.

Одно вам необходимо помнить каждый раз, когда вы умножаете

или делите обе части неравенства на отрицательное число,

вам необходимо поменять знак неравенства на противоположный.

Если все так, тогда умножив обе части неравенства

на минус 1, получится: минус 1 умножить на минус х плюс 4

Я поменяю знак неравенства на противоположный,

так чтобы неравенство теперь имело вид больше либо равно минус восьми.

Я умножил на минус 1 эту часть неравенства, теперь мне надо

проделать то же самое и с другой частью.

Произведение двух отрицательных чисел дает нам положительное,

в итоге после умножении обеих частей неравенства на минус 1,

неравенство приобрело вид: х плюс 4 больше либо равно 8.

Теперь мы можем применить ту же логику,

которую использовали при решении предыдущей задачи.

Что нам это говорит?

Это нам говорит, что модуль выражения х плюс 4

больше, либо равен 8.

Давайте я постараюсь изобразить здесь числовую прямую, потому что мне хотелось бы,

чтобы вы как можно лучше поняли, что представляет собой понятие модуля.

Итак, это у нас числовая прямая, вы можете представить модуль как

расстояние от, или абсолютную величину,

вы можете рассматривать как расстояние от нуля, верно?

Так, если это у нас 0, это плюс 8, а это минус 8,

абсолютное значение какого-либо количественного выражения здесь

будет больше 8.

Это означает, что его расстояние от нуля должно быть больше 8.

Вы просто можете сказать, что расстояние от нуля до этого числа должно быть

больше или равно 8.

Это значит, что это число совершенно точно будет больше

либо равно плюс 8.

На числовой прямой,

это будут все эти числа, правильно?

Помните, что мы говорим о модуле, таким образом

мы можем не рассматривать направление отклонения от нуля.

Модуль должен быть больше плюс 8,

но он также включает в себя и числа меньшие, чем минус 8.

Каким образом все это имеет смысл?

Рассмотрим, например, минус 9.

Каково абсолютное значение минус 9?

Абсолютное значение минус 9 больше 8,

потому что 9 больше 8, так же и любое число, находящееся на числовой прямой левее минус 8

или правее плюс 8.

Что же все это говорит нам о нашем неравенстве?

Это значит, что... ну, скажем, очевидно, что выражение х плюс 4 может быть

больше или равно 8.

Давайте это и запишем.

Давайте я напишу это вот здесь.

х плюс 4 больше, либо равно 8.

И это принимает во внимание,

что модуль выражения больше или равен 8.

Или, что х плюс 4 меньше, либо равен минус 8.

Вот наш модуль слева,

а минус 8 здесь.

И теперь решаем это уравнение.

Очень важно на данном этапе помнить

об абсолютном значении. Иначе, будет легко запутаться

и начать пробовать подставлять различные числа.

Но, если вы просто представите себе числовую прямую,

а абсолютное значение как расстояние от нуля, модуль расстояния

от нуля, вы скажете себе: "так, расстояние от нуля должно быть

больше, либо равно 8, а это означает что мое искомое число должно...

вот это должно быть меньше, либо равно минус 8 или же

больше, либо равно плюс 8.

Давайте решим.

х плюс 4 больше, либо равно 8.

Путем вычитания 4 из обоих частей неравенства получаем:

х больше либо равен 4.

Я просто вычел 4 из обоих частей неравенства.

Вычтя 4 из обоих частей неравенства здесь, мы получим:

х меньше либо равен минус 12.

Итак решение представляет собой х больше либо равен 4,

либо х меньше либо равен минус 12.

И это ответ "D".

Встретимся в следующем видео!

...