CA Algebra I: Number Properties and Absolute Value

1-7, number properties and absolute value equations

Most pedig Kalifornia állam érettségi vizsgájából

az Algebra I. részének feladatait oldjuk meg.

Az utóbbi részekben már megoldottuk az Algebra II-t.

Azt hiszem fordított sorrendben haladok.

Máris bemásolom az első kérdést, mert

jó, ha átlátjuk az egészet.

Szóval lássuk: bemásoltam,

ide felhozom a kurzort, és itt jó is lesz,

és itt is van.

Rendben

A kérdés: a 3(2x-4)=-18 egyenlet egyenlő-e

a 6x-12=18 egyenlettel?

Gondolkodjunk egy kicsit.

Ha a zárójelben lévő kifejezést beszorozzuk 3-al, mi lesz?

3-szor 2x az 6x.

3-szor -4 az -12.

És ez persze egyenlő -18-cal.

Látszik, hogy a kettő ugyanaz.

Ha beszorozuk 2x-4-et 3-mal, akkor

6x-12-t kapunk.

Tehát a válasz egyértelműen igen.

Nem lehet a D válasz.

A válasz igen, de a szorzás melyik tulajdonsága miatt?

Asszociativitás?

Nem.

Kommutativitás?

Nem.

A szorzás disztributív tulájdonsága miatt egyenlőek?

[TŰZOLTÓAUTÓ SZIRÉNA]

Valami tűzoltóautó ment el kint.

Szóval lássuk csak.

Hol tartottam?

Ó, igen.

Igen, az egyenletek a szorzás összeadásra vonatkoztatott

disztributív tulajdonsága miatt egyenlőek.

Igen, ez az.

Beszoroztuk 2x-4-et 3-mal.

Azt írja összeadásra vonatkoztatva, mert a kivonást

nézheted +(-4)-nek.

Az összeadás és a kivonás ugyanaz, amikor

a disztributív tulajdonságról van szó.

Nézzük most a következő feladatot.

Ezt ki tudom írni én is.

Ez a 2. feladat

Négyzetgyök 16 plusz

8 köbgyöke mennyivel egyenlő?

Nos, mi is 16 négyzetgyöke?

Ha csak négyzetgyökről van szó, az lehet, hogy

plusz vagy minusz 4, de ha így írjuk fel,

akkor a pozitív négyzetgyök, vagyis +4.

Ha akarták volna, plusz vagy mínusz előjelet írtak volna elé,

ha a negatív négyzetgyök számítása lett volna a feladat.

Szóval ez plusz 4. Minek is a harmadik hatványa 8?

2 a harmadikon az 8, igaz?

Szóval írhatnánk, hogy 2 a hamadikon egyenlő 8,

és ez ugyanaz, mintha azt mondanánk, hogy

nyolc köbgyöke egyenlő 2-vel.

Ezt tekinthetjük úgy is, hogy 8 az egyharmadikon.

Mindegy, 8 köbgyöke 2, tehát 4+2 egyenlő

6-tal, és ez a B válasz.

3. feladat

Kicsit lejjebb görgetek.

Oké, az a feladat -- Inkább kimásolom és

beillesztem az egészet.

Itt is van.

Tudni akarják, melyik kifejezés egyenlő

x osztva hatszor x négyzettel.

x a hatodikon-szor x négyzet-nél

azonosak az alapok.

Amikor mindkét kifejezést összeszorozzuk,

össze kell adni a kitevőket.

Tehát az egyenlő x a (6+2) nyolcadikon.

Egyik lehetőség sem x a nyolcadikon, ezért meg kell

mondanunk, melyik még x a nyolcadikon.

Ebből következik, melyik két kitevő összege 8?

4+3 egyenlő 7-tel.

5+3, az is egyenlő x a nyolcadikonnal.

Ezért a helyes válasz a B.

Következő, 4. feladat.

Oké, megint átmásolom

és beillesztem.

Rendben.

A kérdés, hogy melyik számnak nincsen reciproka?

-1 reciproka az 1 per -1

ami egyenlő -1-gyel

0 reciproka, mi is?

1 per 0, amit nem értelmezett.

Tehát a válasz B.

0.

Nem tudjuk mennyi 1 per 0.

Talán ez egy feladvány, aminek

értelmén elgondolkozhattok.

És, persze ezeknek is van reciproka

1per 1/1000 az egyenlő 1-szer 1000 per 1

ami egyenlő 1000-rel

3 reciproka pedig 1/3.

Következő feladat.

A kérdés -- elég sok szaknyelv van ezekben, de

szerintem ez jó.

Tehát a kérdés -- had másoljam be.

Talán a következőt is megcsinálom.

Oké.

Ide fel is tehetném.

Rendben.

A kérdés: Mi 1/2 a multiplikatív inverze?

Magyarul, mivel kell szorozni 1/2-et, hogy

1-et kapjunk?

Ez ugyanaz, mintha azt kérdeznék, hogy mi a reciproka 1/2-nek.

Ha 1/2-et szorzom -- lássuk csak 1/2 reciprokával

ami 1 per 1/2.

Ami ugyanaz, mint 1-szer 2/1,

ami persze 2.

Másik módszer, 2-szer 1/2 az egyenlő 1.

Tehát 1/2 multiplikatív inverze 2.

D válasz.

6. feladat

Mi a megoldása, ennek az egyenletnek?

Jól van, néha az abszolút érték jelek talán

félelmet kelt, de csak

logikusan kell gondolkodni.

Hogy ha 2x mínusz 3 abszolút értéke egyenlő öttel, az

mit mond nekünk?

Ez azt jelenti, hogy 2x mínusz 3 az egyenlő öttel, igaz?

Mert belül az abszolút érték egyenlő öttel, majd az

5 abszolút értéke egyenlő öttel.

Tehát ez rendben van.

De mivel lehet még egyenlő 2x mínusz 3?

Mi van akkor, ha 2x mínusz 3 abszolút értéke

egyenlő minusz öttel?

Nos, akkor ennek az abszolút értékét kéne venni, és

ötöt kapnánk, nemde?

Így a 2x mínusz 3 lehet egyenlő mínusz 5-tel is.

Amikor látod az abszolút érték jelét, azt mondod: rendben,

bármi legyen is az abszolút értékben, az csak 5 vagy mínusz 5

lehet, mert ennek az abszolút értékét vesszük, hogy ötöt kapjunk.

Így egyszerűen megoldjuk ezt a két egyenletet.

Ha hozzáadunk 3-at mindkét oldalához, akkor

2x egyenlő 8.

x egyenlő 4.

A másodiknál hozzáadunk 3-at mindkét oldalhoz.

Ebből kapunk 2x egyenlő--5+3, az -2.

x egyenlő mínusz 2 osztva 2-vel, azaz -1-gyel.

Tehát x lehet 4, de lehet -1 is.

És ez a C válas: x=-1 és x=4.

Következő feladat.

Az Algebra I feladatai gyorsabban mennek, mint az Algebra II.

Azok általában nehezebbek.

Letörlök mindent.

Ezt az egyet leírom.

A kérdés: mi a megoldása ennek az egyenlőtlenségnek: 5

mínusz x plusz abszolút értéke kisebb vagy egyenlő

mínusz 3-mal?

Elsőre elég ijesztő.

Nem is tudom ugyanúgy csinálni, mint az előbb, mert

ott van kint az az ötös.

De gondolkozzunk csak el.

Próbáljuk egyszerűsíteni, tehát valaminek az abszolút értéke

legyen kisebb vagy egyenlő, mint

valamilyen szám.

Tehát az egyik dolog, amit tehetünk az, hogy megszabadulunk ettől az ötöstől.

ne felejtsük el, hogy amit az egyenlet vagy egyenlőtlenség

egyik oldalán teszünk, azt meg kell csinálni

a másik oldalon is.

Tehát vonjunk ki 5-öt az egyenlőtlenség mindkét oldalából.

Ha kivonunk 5-öt a a baloldalon, akkor ez az ötös eltűnik.

Elvégzem a kivonást --ki is írom, hogy

mínusz 5 plusz, és beírok ide mínusz 5-öt.

Ez plusz lesz.

Így mínusz 5 plusz 5 az 0, és marad mínusz

x plusz 4 abszolútértéke kisebb vagy egyenlő --mennyi is

mínusz 3 plusz 5?

Az mínusz 8.

Rendben, jöjjön a következő lépés, ami lehet, hogy

nem volt nyilvánvaló, és az egyenlőtlenséget ide téve--

tudod, ha ez egyenlőtlenség volna, akkor csak

mondjuk OK, beszorzom vagy elosztom mindkét oldalt

mínusz 1-gyel, hogy kiejtsem a negatív előjeleket.

De egy dolgot ne felejtsünk: ha szorozzuk vagy elosztjuk egy

egyenlőtlenség mindkét oldalát egy negatív

számmal, akkor át kell állítani az egyenlőtlenséget.

Ha tehát ez igaz, akkor ennek mindkét oldalát beszorozva

mínusz 1-gyel, tehát mínusz 1-szer mínusz x

plusz 4, és átállítva az egyenlőtlenséget ez

nagyobb vagy egyenlő lesz mínusz 8-cal.

És ezen az oldalon nár elvégeztem a szorzást mínusz 1-gyel,

így a másik oldalt is be kell szorozni -1-gyel.

A negatív előjel kioltja azt a mínuszt, így ami marad,

az

az x plusz 4 nagyobb vagy egyenlő --

mínusz 8-szor mínusz 1 egyenlő 8.

Most pedig az előző példa

logikáját követjük.

Mit is mond ez nekünk?

Azt mondja, hogy x plusz 4 abszolút értéke

nagyobb vagy egyenlő 8-cal.

Felrajzolom a számegyenest, mert arra akarlak rávezetni, hogy

mit is jelent az abszolút érték.

Tehát, ha ez a számegyenes, és az abszolút értéket

távolságnak tekintjük, akkor az abszolút érték nem egyéb, mint

a nullától mért távolság, igaz?

Ha tehát ez itt 0, ez pedig plusz 8, és ez itt

minusz 8, ezen mennyiség abszolút értéke

több mint 8.

Ez azt jelenti, hogy 0-tól mért távolságának 8-nál nagyobbnak lell lenni.

Mondhatjuk, hogy e szám 0-tól mért távolságának

nagyobbnak kell lenni 8-nál, nyolcnál nagyobbnak vagy azzal egyenlőnek kell lenni.

Ez azt jelenti, hogy ez a szám biztosan nagyobb vagy

egyenlő lesz plusz 8-cal.

A számegyenesen ezek közül mindegyik

lehet, igaz?

Vagy emlékezzünk csak: ez abszolút érték , így

nem kell törődnünk az iránnyall.

Az abszolút értéknek plusz 8-nál nagyobbnak kell lenni, így

tartalmazza a negatív számokat, mínusz 8 kivételével.

És miért van ennek értelme?

Nos, vegyük mínusz 9-et.

Mi a mínusz 9 abszolút értéke?

Mínusz 9 abszolút értéke nagyobb, mint 8, mert 9

nagyobb, mint 8, így ez fennáll a mínusz 8-tól balra álló vagy

plusz 8-tól jobbra álló számokra.

Tehát mit mond ez nekünk az egyenletről?

Eszerint a könnyű megoldás, hogy x plusz 4

lehet nagyobb vagy egyenlő 8-cal.

Írjuk le ezt.

Le is írom.

x plusz 4 nagyobb vagy egyenlő 8.

És ez figyelembe veszi, hogy

az abszolút értéke nagyobb vagy egyenlő 8.

Vagy x plusz 4 kisebb vagy egyenlő, mint mínusz 8.

Ez ettől a mínusz 8-tól balra eső

kifejezés abszolút értéke.

És most megoldjuk.

Fontos, hogy szem előtt tartsuk az abszolút értéket,

máskülönben zavart kelthet, és akkor

számértékekre fogod vizsgálni.

De ha csak a számegyenest képzeled magad elé,

és látod, hogy az abszolút érték a 0-tól mért távolság

a 0-tól mért távolság az abszolút értékének

8-cal kell egyenlőnek vagy annál nagyobbnal lenni, ez azt jelenti, hogy a számom --

ennek itt mínusz 8-nál kell kevesebbnek vagy azzal egyenlőnek lenni, vagy

nem lehet nagyobb vagy egyenlő plusz 8-cal.

Oldjuk meg.

x plus 4 nagyobb vagy egyenlő 8-cal.

Vonjunk ki 4-et mindkét oldalról, így azt kapjuk, hogy x

nagyobb vagy egyenlő 4-gyel.

Kivontam 4-et mindkét oldalból.

Vonjunk ki 4-et mindkét oldalból, és azt kapjuk, hogy x

kisebb, mint vagy egyenlő mínusz 12-vel.

Tehát a megoldás: x nagyobb vagy egyenlő 4-gyel, vagy

x kisebb vagy egyenlő mínusz 12-vel, és

ez a D válasznak felel meg D.

Találkozunk a következő leckénél.