Алгебра I: Рациональные алгебраические формулы

66-70, более упрощенные pациональные алгебраические формулы

.

Итак, задача 66

Здесь говорится: чему равняется x в квадрате минус 4x плюс 4, делённое на

x в квадрате минус 3x плюс 2, и нам необходимо упростить это выражение.

Ага, похоже они хотят чтобы мы разложили на множители каждое из этих

квадратных уравнений, и проверить, не сократятся ли какие-нибудь множители.

Давайте попытаемся сделать это.

Похоже, что числитель легко раскладывается.

Какие 2 числа при умножении равны 4?

А при сложении равны минус 4?

Ну, это минус 2, верно?

-2 - 2 = -4

-2 в квадрате будет равно +4

Значит это уравнение будет раскладываться на x-2 умножить на x-2.

Можете это проверить, если не верите.

Перемножим их.

Делённое на.., ага, давайте посмотрим, на какие два числа?

Этот делитель мы можем разложить.

Оба множителя должны иметь один и тот же знак, потому что, когда вы перемножаете...

... перемножаете их, результат вы получили положительный.

И оба они будут отрицательны, чтобы при сложении...

...при сложении получалось отрицательное 3.

Ага, давайте посмотрим, у нас есть -2 и -1.

-2 умножить на -1 равно 2.

-2 + (-1) = -3

Получается что результат будет x - 2, умноженный на x минус 1.

И если мы считаем, что х никогда не равна 2, потому что это...

...потому что тогда всё выражение не определенным, мы их сократим.

Позже Вы узнаете , что в этом месте в графике появится дырка,

потому что функция там не определена.

у вас остается x минус 2 деленное на x минус 1.

Это вариант A.

.

Задача 67

Это хорошая практика.

Они дают кучу такого.

Они говорят: чему равняется ... я лучше буду писать это...
12а в кубе, минус 20а в квадрате

делённое на 16а в квадрате плюс 8а.

Упростить это выражение. Ну давайте попытаемся разложить

на множители верхнее и нижнее уравнения и посмотрим, что получится.

Итак, в верхней части, в числителе... позвольте мне переключить цвета

оба слагаемых делятся и на 4 и на a в квадрате.

Так что давайте вынесем за скобки 4а в квадрате.

У нас есть 4а в квадрате.

.

12 делим на 4 получается 3

и а в кубе поделенное на а в квадрате получается а.

Так что 12а в кубе поделенное на 4а в квадрате равно 3а.

Минус 20... я бы сказал плюс (-20)

ну вы поняли.

20 поделенное на 4 равно 5

а в квадрате поделенное на а в квадрате равно 1.

Но если вы сомневаетесь, перемножьте одно на другое.

4a в квадрате умножить на 3a будет 12а в кубе.

А 4a в квадрате умножить на -5 равно -20a в квадрате.

Так что всё верно.

Теперь знаменатель.

Давайте посмотрим, обе эти части делятся на 8а, так что

вынесем его за скобки

16 поделенное на 8 равно 2.

а в квадрате поделенное на а равно а.

Значит 16а в квадрате поделенное на 8а равно 2а

И если попробуем в другую сторону, 8а умноженное на 2а в квадрате

будет равно 16а в квадрате.

Так что всё сходится.

+1

8а умножить на 1 равно 8а

Давайте посмотрим, что мы тут можем сделать

Здесь получается 1.

Здесь получается 2.

И а в квадрате поделенное на а равно 1, а это просто

а.

И у нас остается а умноженное на 3а минус 5, делённое

на 2, умноженное на 2а + 1

И посмотрим.

Это пункт D.

Я сначала думал, они хотят, чтобы мы потом снова перемножили все это.

Но это просто вариант D.

Задача 68

Очень хорошая задача.

Я напишу ее.

Они хотят, чтобы мы что-то умножили.

Итак, 7z в квадрате плюс 7z и все это делится на

4z плюс 8,

умноженное на z в квадрате минус 4, и все это делится на z в кубе

плюс 2z в квадрате плюс z. Равно?

Теперь вы наверно думаете, о Боже, я должен умножить все это,

а потом ещё и разделить.

Самое лучшее, я полагаю, всего лишь вынести за скобки общий множитель

и все начнет сокращаться и делиться

друг на друга.

А в итоге получится весьма легкая задача.

Давайте посмотрим, оба этих слагаемых делятся на 7z.

Давайте вынесем это за скобки.

Так числитель получается, ага 7z в квадрате разделить на 7z будет

останется просто z.

Если их перемножить, получится z в квадрате.

Плюс 1.

Если их перемножить, то получится 7z в квадрате плюс 7z.

.

Когда вы перемножаете дроби, то получается просто числитель

.умноженный на числитель, поделённое на знаменатель

умноженный на знаменатель.

Так что это будет умноженное на числитель.

z квадрат минус 4, это же a квадрат минус b квадрат.

Значит это z плюс 2, т.е. а плюс b, умноженное на z минус 2, т.е. a минус b.

Эти a и b это просто определения из учебника.

И они равны z плюс 2 умноженное на z минус 2, уверен вы

уже можете это увидеть и распознать.

А затем всё это поделённое на -- давайте посмотрим, мы точно

можем здесь вынести за скобки 4,так что 4 умноженное на z плюс 2.

8 делённое на 4 будет 2. Ага, мы наверняка может

вынести за скобки z, так что получится z умноженное на z квадрат плюс 2z плюс 1.

Почти готово.

Теперь это всё надо сократить.

Давайте я лучше всё это перепишу начисто.

Так что это равно 7z умноженное на z плюс 1, умноженное на z плюс 2,

умноженное на z минус 6.

Всё это поделённое на 4 умноженное на z плюс 2, умноженное на z.

Ну и чему это всё будет равно?

А это z плюс 1 в квадрате.

z плюс 1 умноженное на z плюс 1. 1 умноженное на 1 будет 1,

а 1 плюс 1 будет 2.

Так что: умножить на z плюс 1, умножить на z плюс 1.

А теперь самое весёлое.

Это 1, а это скобки.

Так что можно начать сокращать.

Но надо сказать что знаменатель никогда не будет

равен 0, и всё такое.

Давайте посмотрим. Эти z плюс 2 сокращаются

с этими z плюс 2.

Эти z плюс 1 сокращаются с одним из этих z плюс 1.

Я сокращу то которое неряшливо написано.

Ага, смотрим - это z сокращается с этим z.

И что у нас осталось?

Всё упростилось до 7 умножить на z минус 6 поделённое на 4

умножить на z плюс 1.

И это, это.

Я здесь написал z минус b.

Это z + 2 умножить на z - 2.

Все сходится, я сделал ошибку.

Z в квадрате минус 4 это z + 2 умножить на z - 2.

Не z минус b, я думал это было 6.

Итак, это z минус 2.

Итак, это z минус 2.

И это вариант A.

Простите за ошибку.

Мозги сбиваются постоянно.

Ладно, теперь нужно сделать это снова.

Требуется найти произведение x + 5 деленное на 3x + 2

умножить на 2x - 3 деленное на x - 5.

Честно говоря, здесь не так много упрощений, которые можно сделать.

Нужно просто все перемножить.

Итак, это равно x + 5 умножить на 2x - 3

и все это делить на 3x

Я просто перемножил числители, и потом знаменатели

3x + 2 умножить на x - 5.

Теперь просто перемножим оба двучлена.

x умножить на 2x -- 2 x в квадрате.

x умножить на -3 -- минус 3x.

5 умножить на 2x -- 10x.

5 умножить на -3 -- минус 15.

Все по-честному.

Теперь знаменатель.

3x умножить на x -- три x в квадрате.

3x умножить на -5 -- минус 15x.

2 умножить на x -- 2x.

2 умножить на -5 -- минус 10.

Теперь посмотрим, что можно упростить.

Числитель равен два x в квадрате,

минус 3x и плюс 10x.

А здесь 7x минус 15.

Все это поделить на три x в квадрате,

минус 15x, плюс 2x --

-- это минус 13x, и вычесть 10.

Это вариант D.

.

Следующая задача.

Задача 70.

Ё мое, они хотят, чтобы мы это закрепили.

Это хорошая практика.

Итак, x в квадрате плюс 8x, плюс 16, делить на x, плюс 3

поделить на 2x плюс 8, делить на x в квадрате минус 9.

Что нужно сделать при делении на дробь?

Просто умножить на обратную дробь.

То есть это равно x в кубе плюс 8x, плюс 16, делить на x плюс 3...

все это умножить на x в квадрате минус 9,

делить на 2x плюс 8.

Все по-честному.

Посмотрим, можно ли это немного упростить.

Напишу это желтым.

Так, 4 плюс 4 -- это 8. 4 умножить на 4 -- это 16.

Это можно переписать как x + 4 умножить на x + 4.

.

x в квадрате минус 9, это a в квадрате минус b в квадрате.

Можно переписать как x + 3 умножить на x - 3.

Это подходит к нужной форме.

Здесь можно вынести 2 за скобки, и переписать

как 2 умножить на x + 4.

Здесь у нас x + 3.

И конечно, когда умножаются дроби, мы просто

перемножаем числители и перемножаем знаменатели.

Так что это почти также, если все записать в одну строчку.

Итак, числитель равен x + 4 умножить на x + 4, умножить на x + 3,

умножить на x - 3.

Все это делить на x + 3 умноженное на 2, умноженное на x + 4.

Сократим части, которые возможно.

Это самая веселая часть.

Здесь есть x + 4 и x + 4 -- сокращаем их.

.

Есть x + 3 и x + 3 -- сокращаем.

.

И что осталось?

Осталось x + 4 умноженное на x - 3,

все деленное на 2.

И это вариант С.

Увидимся в следующем видео.

.