Algebra I : Expressões Racionais

66-70, mais simplificações de expressões racionais.

Estamos no problema 66.

E ele pergunta quanto é x ao quadrado menos 4x mais quatro, dividido por x

ao quadrado menos 3x mais 2, reduzido aos menores termos?

Então eles querem provavelmente que nós fatoremos cada um destes

quadráticos e vejamos se alguns desses termos se cancelam.

Vamos tentar fazer isso.

O numerador parece bem fácil de fatorar.

Quais dois números quando multiplicados equivalem a 4?

E que, quando somados, equivalem a -4?

Bem, é -2, certo?

Menos 2 e menos 2 é menos 4.

Menos 2 ao quadrado é 4.

Então este é x - 2 vezes x - 2.

E você poderia testar se não acredita.

Multiplique-os.

Dividido por, vejamos, quais dois números?

Isso parece fatorável.

Ambos devem ter o mesmo sinal porque, quando você os multiplica

você fica com um positivo.

E ambos serão negativos, pois quando você os soma

você fica com -3.

Então vejamos, -2 e -1.

Menos 2 vezes menos 1 é 2.

Menos 2 mais menos 1 é menos 3.

Então x - 2 vezes x - 1.

E se nós assumirmos que x nunca é igual a 2, porque isso

faria essa expressão indefinida, nós podemos cancelar.

Você aprenderá que isso causaria um buraco no gráfico,

porque a função é indefinida lá.

E você fica com -2 sobre -1.

E essa é a alternativa A.

Problema 67.

Esse é um bom exercício.

Eles dão vários.

Eles perguntam (eu só vou escrever) 12a ao cubo menos 20a

ao quadrado sobre 16a ao quadrado mais 8a.

Reduza aos menores termos. Vamos tentar fatorar as

coisas acima e abaixo e ver o que acontece.

Acima, no numerador - deixe-me mudar

as cores - ambos os termos são divisíveis por 4 e a ao quadrado.

Então vamos fatorar um 4a ao quadrado.

Então temos 4a ao quadrado.

12 dividido por 4 é 3.

E a cúbico dividido por a ao quadrado é a.

Então, 12a ao cubo dividido por 4a ao quadrado é 3a.

Menos 20 (eu poderia dizer mais menos 20)

mas você entendeu.

20 dividido por 4 é 5.

E a ao quadrado dividido por a é só a.

E se você não acredita, basta multiplicar.

4a ao quadrado vezes 3a é 12a cúbico.

E 4a ao quadrado vezes -5 é -20a ao quadrado.

Então dá certo.

Você faz o denominador.

Vejamos, ambos são divisíveis por 8a, então vamos

fatorar isso.

16 dividido por 8 é 2.

A ao quadrado dividido por a é a.

Então 16a ao quadrado dividido por 8a é 2a.

E se você fizer o inverso, 8a vezes 2a

é 16a ao quadrado.

Então tudo dá certo.

Mais 1.

8a vezes 1 é 8a.

Então vejamos o que temos aqui.

Isso vira um 1.

Isso vira um 2.

E a ao quadrado dividido por a, isso vira um 1 e isso

vira apenas a.

E ficamos com a vezes 3a menos 5, sobre 2

vezes 2a mais 1.

E vejamos.

Essa é a alternativa D.

Pensei que talvez quisessem que nós remultiplicássemos tudo novamente.

Mas essa é a alternativa D.

Problema 68.

Este é um bom problema.

Vou escrevê-lo.

Querem que multipliquemos algo.

Então. eles dizem que 7z ao quadrado mais 7z --tudo isso--

sobre 4z mais 8.

Vezes z ao quadrado menos 4 --tudo isso - sobre z ao cubo

mais 2z ao quadrado mais z é igual a algo.

Então, deves estar pensando, oh meu deus, tenho de multiplicar todas

esta coisas e vou ter de dividi-las.

Mas a melhor opção, acho, é só fatorar

esses termos e várias coisas irão se cancelar

umas com as outras.

E vai-se tornar um problema bem simples.

Vamos ver, ambos estes termos são divisíveis por 7z.

Então, vamos fatorá-los.

Logo, essa parte de cima fica, 7z ao quadrado dividido por 7z,

fica-se só com um z sobrando.

Se tu multiplicas estes, ficas com 7z ao quadrado.

Mais 1.

Se multiplicares isto, ficas com 7z ao quadrado mais 7z.

Quando multiplicas frações, é só o numerador vezes

o numerador, sobre o denominador vezes o

denominador.

Então, isto é vezes o numerador.

Z ao quadrado menos 4, isso é a ao quadrado menos b ao quadrado.

Logo, isso é z mais 2, a mais b, vezes z menos 2, a menos b.

Esse é o padrão, quando eu digo todos esse a's e b's.

Logo, isso é z mais 2 vezes z menos 2, com sorte possas

reconhecer isso agora.

E isso tudo, sobre --- vamos ver, com certeza conseguimos

fatorar um 4 aqui, então isso é 4 vezes z mais 2.

8 dividido por 4 é 2, vezes -- conseguimos com certeza fatorar um

z aqui, então ficamos com z vezes z ao quadrado mais 2z mais 1.

Acho que estamos quase a acabar.

Agora temos de fatorar isto.

Deixa-me só reescrever tudo.

Então, isto é igual a 7z vezes z mais 1, vezes z mais 2

vezes z menos 6.

Tudo isso, sobre 4 vezes z mais 2, vezes z.

E o que é isto?

Isto é z mais 1 ao quadrado, certo?

Z mais 1 vezes z mais 1, 1 vezes 1 é 1,

e 1 mais 1 é 2.

Logo, vezes z mais 1, vezes z mais 1.

Agora vem a parte divertida.

É um 1 aqui, é um parenteses.

Agora, podemos começar a cancelar estes termos.

E assumimos que o denominador nunca seria igual a

0 nem nada disso.

Vamos ver, este z mais 2 se cancela

com este z mais 2.

Este z mais 1 se cancela com um destes z mais 1's.

Vou cancelar o que ficou mais mal desenhado.

E vejamos, este z se cancela com este z.

E o que sobra?

Tudo simplificado para 7 vezes z menos 6 sobre 4

vezez z mais 1.

Eu escrevi um z menos b aqui.

É z mais 2 vezes z menos 2.

Me confundi com o padrão, fiz um erro.

Z ao quadrado menos 4, é z mais 2 vezes z menos 2.

Não z menos b, e eu pensei que aquilo fosse um 6.

Então isto é z menos 2.

E este é z menos 2.

Então, essa é a alternativa A.

Desculpa por aquele erro.

O cérebro se confunde o tempo todo.

OK, agora querem que façamos tudo de novo.

Eles querem que encontremos o produto de x mais 5, sobre 3x

mais 2, vezes 2x menos 3, sobre x menos 5.

Sinceramente, não há muita simplificação que possamos fazer,

temos de multiplicar os termos.

Logo, isso vai ser igual a x mas 5 vezes 2x menos 3.

Tudo isso sobre 3x--

Estou só a multiplicar o numerador e depois a multiplicar

os denominadores -- 3x mais 2 vezes x menos 5.

E agora só precisamos multiplicar ambos os binômios, x

vezes 2x, 2x ao quadrado.

X vezes menos 3, menos 3x.

5 vezes 2x, mais 10x.

5 vezes menos 3, menos 15.

Certinho.

Agora, fazemos o denominador.

3x vezes x é 3x ao quadrado.

3x vezes -5, menos 15x.

2 vezes x, mais 2 x.

2 vezes -5, menos 10.

Agora vamos ver se conseguimos simplificar.

Temos o numerador que é igual a 2x ao quadrado

menos 3x mais 10x.

Então, isso é mais 7x menos 15.

Tudo isso sobre 3x ao quadrado.

E -15x mais 2x.

Isso é menos 13x menos 10.

E isso, é a alternativa D.

Próxima questão.

Questão 70.

Meu deus, querem que continuemos a fazer isto.

É bom para praticar.

Então, escrevem, x ao quadrado mais 8x mais 16, sobre x mais 3,

dividido por 2x mais 8, sobre x ao quadrado menos 9.

Então, a primeira coisa que se faz, dividir por uma fração,

é a mesma coisa que multiplicar pelo seu inverso.

Logo, isto é igual a x ao quadrado mais 8x mais 16, sobre x mais 3

vezes o inverso disto, x ao quadrado menos 9,

sobre 2x mais 8.

Justo.

Agora, vamos ver se conseguimos simplicar um pouquinho. estes termos .

Vou fazer isso em amarelo.

Então, isto é, 4 mais 4 é 8, 4 vezes 4 é 16.

Podemos reescrever isto como x mais 4 vezes x mais 4.

X ao quadrado menos 9, isso é a ao quadrado menos b ao quadrado.

Então podemos reescrever isto como x mais 3 vezes x menos 3.

Estamos seguindo o padrão.

Podemos fatorar um 2 aqui, então podemos escrever isto como 2

vezes x mais 4.

Temos um x mais 3 aqui.

E claro, quando multiplicamos frações, estamos simplesmente

multiplicando todos os numeradores sobre os denominadores.

Então, é quase como se fizesses só esta linha.

Então o numerados é x mais 4 vezes x mais 4 vezes x mais 3

vezes x menos 3.

Tudo isso sobre x mais 3 vezes 2 vezes x mais 4.

Vamos cancelar alguns termos.

Esta é a parte divertida.

Então, temos um x mais 4 e um x mais 4, vamos cancelá-los.

Temos um x mais 3 e um x mais 3, cancela-os.

E o que nos sobra?

Sobrou um x mais 4 vezes um x menos 3.

Tudo isso sobre 2.

Essa é a alternativa C.

Nos vemos no próximo vídeo.