Algèbre I: Expressions Rationnelles

66-70, plus de simplifiction des expressions rationnelles

...

Nous en sommes au problème 66.

La question est: que vaut x carré moins 4x plus 4, divisé par x

carré moins 3x plus 2, une fois réduit ?

Donc ils veulent sans doute que l'on factorise chacun de ces

polynômes de degré 2 et voir si il y a des simplifications.

Alors, essayons de faire cela.

Le numérateur semble assez facile à factoriser.

Trouvons à deux nombres, qui multipliés entre eux, font 4.

Et qui quand on les additionne, font - 4 ?

- 2 fait l'affaire, non ?

- 2 et - 2 font - 4.

- 2 au carré fait + 4.

Donc le numérateur vaut (x - 2) * (x - 2).

Vous pouvez essayer si vous ne me croyez pas.

Multiplie moi ça.

Divisé par, voyons, quel produit ?

Cela semble factorisable.

Ils doivent avoir le même signe parce que quand on les multiplie

le résultat est positif.

Et ils doivent être négatifs, car quand on les additionne,

le résultat est moins 3.

Donc voyons, moins 2 et moins 1.

Moins 2 fois moins 1 fait plus 2.

Moins 2 plus moins 1 fait moins 3.

Donc x moins 2 fois x moins 1.

Et si on supppose que x n'est jamais égal à 2, parce que

cela rendrait cette expression indéfinie, on peut simplifier.

Vous apprendrez plus tard que sinon, on aurait un "trou" dans le graphe de la fonction,

parce que la fonction n'est pas définie pour x égale 2.

Une fois simplifié, la fraction devient x moins sur x moins 1.

Et c'est la réponse A.

...

Problème 67.

C'est un bon entraînement.

Ils vous en donne un grand nombre.

Ils disent quel est... Je vais just l'écrire... 12A au cube moins 20A

au carré divisé par 16A au carré plus 8A

Reduir le plus possible les termes. Donc nous allons juste factoriser

ceux du haut et ceux du bas et voir ce que ça donne.

Donc en haut, au numerateur... laissez moi changer

de couleurs... les deux termes sont divisables par 4 et par un carré.

Donc factorisons un 4A au carré.

Donc nous obtenons 4A au carré.

...

12 / 4 = 3

et A au cube divisé par A au carré donne un A

donc 12A divisé par 4A donne 3A

moins 20... Je devrai dire plus moins 20...

mais vous avez compris l'idée

20 / 4 = 5

et A au carré divisé par A au carré donne juste A.

Et si vous ne pensez pas que c'est ça, multipliez le.

4 A au carré fois 3 A donne 12 A au carré

Et 4 A au carré fois moins 5 donne moins 20 A au carré.

Donc ça marche.

Vous faites le dénominateur.

Voyons voir, les deux sont divisibles pas 8 A, donc

factorisions les.

16 / 8 = 2

A au carré divisé pas A donne A.

Donc 16 A au carré divisé pas 8 A donne 2 A.

Et si on va dans l'autre sens, 8 A fois 2 A

au carré donne 16 A au carré

Donc ça marche.

Plus 1.

8a x 1 = 8a

Ensuite voyons ce que l'ont peut faire ici.

Ca devient un 1.

Ca devient un 2.

Et un A au carré divisé par A, ça devient un 1

et ça devient un A.

Et il nous reste A fois 3a moins 5,

sur 2 fois 2a plus 1.

Voyons voir.

C'est l'option D.

Je pensais qu'ils nous feraient re-multipier ça.

Mais c'est bien l'option D.

Problème 68.

Oh il est bien celui là.

Je vais l'écrire.

Ils veulent qu'on multiplie quelque-chose.

Alors ils disent que 7z au carré plus 7z

tout ça sur 4z plus 8,

fois z au carré mois 4, tout ça sur z puissance trois

plus 2z au carré plus z, est égal à...

Bon vous devez vous dire "mon Dieu, je dois mutliplier

toutes ces choses et je dois les diviser...

Mais la meilleure solution ici, je pense, est simplement

de factoriser tout ça et toutes sortes de choses vont

commencer à s'annuler mutuellement.

Et ça se révélera être un problème plutôt simple.

On va voir, les deux termes sont divisibles par 7z.

Alors on va factoriser.

Comme ça la partie supérieure devient, 7z carré divisé par 7z, il vous

reste seulement un z.

Si on les multiplie, on a 7z carré.

Plus 1.

Si on multiplie ça, on aura 7z carré plus 7z.

...

Quand on multiplie les fractions, c'est le numérateur fois

le numérateur, sur le dénominateur fois le

dénominateur.

Donc ça c'est fois le numérateur

Z carré moins 4, correspond à a carré moins b carré

donc c'est z plus 2, a plus b, fois z moins 2, a moins b

c'est juste l'exemple quand je dit tous ces a et b

donc ça fait z plus 2 fois z moins 2, normalement vous pouvez

le reconnaître maintenant

ensuite tout ça sur... voyons on peut définitivement

factoriser un 4 ici, donc ça fait 4 fois z plus 2

8 divisé par 4 fait deux fois ...donc on peut définitivement factoriser un

z ici, donc on obtient z fois z carré plus 2z plus 1

Je pense qu'on a presque fini

maintenant on doit factoriser ça

Je vais tout réécrire

donc ça c'est égal à 7z fois z plus 1, fois z plus 2

fois z moins 6

tout ça sur 4 fois z plus 2, fois z

and ça ça fait quoi ?

ça fait z plus 1 carré

z plus 1 fois z plus 1, 1 fois 1 fait 1

et 1 plus 1 font 2

donc fois z plus 1, fois z plus 1

et maintenant la partie amusante

c'est un 1 ici, ce sont les parenthèses

maintenant on peut commencer à annuler

et on suppose que le dénominateur n'égalerait jamais

0 et tout

voyons, ça fait z plus 2 s'annulent

avec ce z plus 2

Ce z plus 1 s'annulent avec un de ces z plus 1

je ferait celui qui est écrit plus en désordre

et voyons voir, ce z s'annule avec ce z

et qu'est ce qui reste ?

tout est simplifié à 7 fois z moins 6 sur 4

fois z plus 1

...

J'écris un z mois b ici

C'est z plus 2 fois moins 2

j''ai fait une erreur

z carré moins 4 fait z plus 2 fois z mois 2

pas z mois b et j'ai pensé que c'était un 6

donc c'est z mois 2

donc c'est z mois 2

et donc la réponse est la A

Désolé pour cette erreur

mauvais fonctionnement du cerveau tout le temps

bien, maintenant ils veulent qu'on le fasse encore une fois

Ils veulent qu'on trouve le produit de x plus 5, sur 3x

plus 2 fois 2x moins3, sur x moins 5

Franchement, il n'y a pas beaucoup de simplification possible

on doit juste multiplier

Donc ça va être égal à x plus 5 fois 2x moins 3

tout ça sur 3x ...

je multiplie juste le numérateur et ensuite je multiplie

les dénominateurs... 3x plus 2 fois x moins 5

et maintenant on multiplie juste les deux binômes, x

fois 2x, 2x carré

x fois moins3, moins 3x

5 fois 2x plus 10x

5 fois moins 3, moins 15

très bien

Maintenant on fait le dénominateur

3x fois x égal 3x carré

3x fois moins 5, moins 15x

2 fois x plus 2x

2 fois moins 5 moins 10

maintenant voyons si on peut simplifier

on a le numérateur égal à 2x carré

moins 3x plus 10x

Donc ça fait 7x moins 15

tout ça sur 3x carré

et moins 15x plus 2x

ça fait moins 13x moins 10

Et c'est la réponse D

...

Problème suivant

problème 70

Ils veulent qu'on continue dans cette voie

C'est un bon exercice

Donc ils écrivent x carré plus 8x plus 16 sur xplus 3

divisé par 2x plus 8 sur x carré moins 9

donc la première chose que vous faîtes, quand vous divisé par une fraction

c'est la même chose que de multiplier par son inverse

Donc c'est égal à x carré plus 8x plus 16, sur x plus 3

fois l'inverse, x carré moins 9,

sur 2x plus 8

très bien

Maintenant voyons si on peut simplifié ça un peu

Je vais le faire en jaune

Donc ça fait 4 plus 4 égal 8, et 4 fois 4 égal 16

Donc on peut réécrire x plus 4 fois x plus 4

...

x carré moins 9, c'est a carré moins b carré

Donc on peut réécrire ceci x plus 3 fois x moins 3

Ca va avec le modèle

On peut factoriser 2 ici, donc on peut réécrire comme suit : 2

fois x plus 4

On a un x plus 3 ici

et bien sur, quand on multiplie des fractions, c'est comme de

multiplier tous les numérateurs sur tous les dénominateurs

Donc c'est presque comme faire une ligne

Alors le numérateur est X plus 4 fois X plus 4 fois X plus 3

fois X moins 3.

Tout sur X plus 3 fois 2 fois X plus 4.

Maintenant on peut annuler

C'est la partie amusante.

Alors nous avons un X plus 4 et un X plus 4, on les annule.

...

Nous avons un X plus 3 et un X plus 3, on les annule.

...

Et on reste avec quoi?

On reste avec un X plus 4 fois un X moins 3.

Tout ça sur 2.

Et c'est la réponse C.

Et je vous verrai dans la prochaine video.

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