CA Algebra I: Rationale Terme

66-70, rationale Terme vereinfachen

Wir sind bei Problem 66.

Und es geht darum: Was ist x hoch 2 minus 4x plus 4, geteilt durch 2

zum Quadrat minus 3x plus 2, dann gekürzt?

Sie wollen wahrscheinlich, dass wir jede Gleichung in Faktoren zerlegen

um zu sehen ob sich irgendwelche Terme wegkürzen

Also probieren wir das mal.

Den Zähler kann man ziemlich leicht zerlegen.

Welche zwei Zahlen ergeben 4, wenn ich sie multipliziere?

Und ergeben, wenn ich sie addiere, minus 4?

Das ist - 2, nicht?

- 2 und - 2 ist - 4.

- 2 zum Quadrat ist + 4.

Also ist das x- 2 mal x - 2.

Und man kannst es testen, wenn man es nicht glaubt.

Multipliziere das aus.

Dividiert durch, lass mal sehen, welche zwei Zahlen?

Das sieht zerlegbar aus.

Sie müssen beide das gleiche Vorzeichen haben, denn wenn man sie multipliziert,

ist das Ergebnis positiv.

Und beide werden negativ sein, weil man, wenn man sie addiert,

eine negative 3 erhält.

Also lass mal sehen, - 2 und - 1.

- 2 mal - 1 ist eine positive 2.

- 2 plus - 1 ist - 3.

Also x -2, mal x - 1.

Und wenn wir davon ausgehen, dass x niemals gleich 2 ist,

da das sonst den Term undefiniert machen würde, kürzen wir das weg.

Ihr werdet später lernen wieso das ein Loch im Graphen ergeben würde,

weil die Funktion dort undefiniert ist.

Und wir haben x - 2 geteilt durch x -1 übrig.

Und das ist Antwort A.

Problem 67.

Das ist eine gute Übung.

Sie haben eine Menge davon.

Sie sagen: was ist -- Ich schreibe es einfach auf -- 12a hoch drei - 20a

zum Quadrat geteilt durch 16a zum Quadrat + 8a.

Kürzen wir das. Wir versuchen eine Faktorenzerlegung

im Zähler und im Nenner und sehen was passiert.

Also oben, im Zähler -- ich wechsel einmal

die Farben -- sind beide Terme teilbar durch 4 und a im Quadrat.

Also lass uns 4a zum Quadrat herausziehen.

Wir bekommen 4a zum Quadrat.

12 geteilt durch 4 ist eine 3.

Und a hoch 3 geteilt durch a zum Quadrat ist a.

Also ist 12a hoch 3 geteilt durch 4a zum Quadrat 3a.

Minus 20 -- Ich könnte auch sagen plus minus 20 --

aber ihr versteht schon.

20 geteilt durch 4 ist 5.

Und a zum Quadrat geteilt durch a zum Quadrat ist einfach a.

Und wenn ihr mir nicht glaubt, multipliziert es aus.

4a zum Quadrat mal 3a is 12a hoch drei.

Und 4a zum Quadrat mal - 5 ist - 20a zum Quadrat.

Das klappt also.

Jetzt den Nenner.

Mal sehen, beide davon sind teilbar durch 8a,

also lass uns das herausziehen.

16 geteilt durch 8 ist 2.

a zum Quadrat geteilt durch a ist a.

Also ist 16a zum Quadrat geteilt durch 8a gleich 2a.

Und wenn du es umgekehrt machst, ist 8a mal

2a zum Quadrat gleich 16a zum Quadrat.

Also klappt das alles.

Plus 1.

8a mal 1 ist 8a.

Also lass uns mal sehen was wir hier machen können.

Das hier wird zu einer 1.

Das hier wird zu einer 2.

Und a zum Quadrat geteilt durch a, das hier wird zu einer 1 und das hier

wird nur ein a.

Und es bleiben a mal 3a - 5 geteilt durch

2 mal 2a + 1 übrig.

Lass uns mal sehen.

Das ist Antwort D.

Ich dachte, dass wir das vielleicht nochmal ausmultiplizieren sollten,

aber das ist Antwort D.

Problem 68.

Das ist ein Gutes.

Ich schreibe es einfach auf.

Sie möchten, dass wir etwas multiplizieren.

Sie sagen also: 7z zum Quadrat + 7z -- alles das --

geteilt durch 4z + 8.

Mal z zum Quadrat minus 4 -- alles das -- geteilt durch z hoch drei

plus 2z zum Quadrat plus z = ?

Du musst dir jetzt denken "Oh mein Gott, ich muss all diese

Dinge multiplizieren und dividieren.

Aber der beste Lösung ist, denke ich, alles hier

auszuklammern und dann wird sich vieles

gegenseitig wegkürzen.

Dann wird es zu einem ziemlich einfachen Problem.

Lass uns mal sehen. Beide dieser Terme sind teilbar durch 7z.

Also lass uns das mal ausklammern.

Und der obere Teil wird zu 7z zum Quadrat geteilt durch 7z, man

hat nur z übrig.

Wenn man diese multipliziert erhält man 7z zum Quadrat.

Plus 1.

Wenn man das hier ausmultipliziert, bekommt man 7z zum Quadrat plus 7z,

Wenn man Brüche multipliziert, ist es einfach nur Zähler mal

Zähler geteilt durch Nenner

mal Nenner.

Hier ist der Zähler.

z zum Quadrat - 4, das ist a zum Quadrat minus b zum Quadrat.

Also ist das z + 2, a + b, mal z - 2, a - b.

Das zeigt nur das Muster, wenn ich all diese a's und b's sage.

Also das ist z+2 mal z-2, ich hoffe ihr

erkennt das richtig.

Und dann das Ganze geteilt durch - lasst mal sehen, wir können auf jeden Fall

hier eine 4 herausziehen, also das ist dann 4 mal z+2

8 geteilt durch 4 ist 2 mal -- da können wir ein

z herausziehen, dann bleibt z mal z hoch 2 plus 2z+1

Ich glaube, wir sind fast fertig.

Jetzt müssen wir das hier ausmultiplizieren.

Lasst mich das alles nochmal neu schreiben.

Also, das ist gleich 7z mal z + 1, mal z + 2,

mal z - 6.

Alles davon geteilt durch 4 mal z+ 2, mal z.

Und was ergibt das?

Das ist z + 1 zum Quadrat.

z + 1 mal z + 1, 1 mal 1 ist 1.

und 1 plus 1 ist 2.

Also mal z plus 1, mal z plus 1.

Und jetzt beginnt der Spaß.

Das ist eine 1 hier, das eine Klammer.

Jetzt können wir mit dem Kürzen anfangen.

Und wir gehen davon aus, dass der Nenner niemals

gleich 0 ist und so.

Mal sehen, dieses z +2 kürzt sich weg

mit diesem z + 2.

Dieses z + 1 kürzt sich weg mit einem dieser z + 1ser.

Ich nehme das eine, das unsauberer geschrieben ist.

Und mal sehen, dieses z kürzt sich weg mit diesem z.

Und was haben wir übrig?

Alles ist vereinfacht zu 7 mal z - 6 geteilt durch

4 mal z + 1.

Ich habe hier ein z - b geschrieben.

es ist z + 2 mal z - 2.

In diesem Muster habe ich einen Fehler gemacht.

z zum Quadrat minus 4 ist z + 2 mal z - 2.

Nicht z -b, und ich dachte das wäre eine 6.

Also ist das z - 2.

Also ist das z - 2.

Und daher ist es Option A.

Entschuldigung wegen dem Fehler.

Das Hirn versagt andauernd.

OK, jetzt wollen sie, dass wir das nochmal machen.

Sie wollen, dass wir das Produkt von x + 5, geteilt durch 3x

plus 2, mal 2x - 3, geteilt durch x - 5 finden.

Man kann hier nicht viel vereinfachen, um ehrlich zu sein,

also müssen wir das einfach ausmultiplizieren.

So, das hier wird gleich x + 5 mal 2x -3 sein.

Alles davon geteilt durch 3x --

Ich multipliziere gerade nur den Zähler und dann den Nenner

-- 3x + 2 mal x - 5.

Und jetzt multiplizieren wir einfach nur die Binominalen,

x mal 2x, 2x zum Quadrat.

X mal - 3, - 3x.

5 mal 2x, plus 10x.

5 mal - 3, - 15.

Super.

Jetzt machen wir den Nenner.

3x mal x ist 3x zum Quadrat.

3x mal - 5, - 15x.

2 mal x, plus 2x.

2 mal - 5, - 10.

Und jetzt sehen wir mal ob wir das vereinfachen können.

Der Zähler ist 2x zum Quadrat

minus 3x plus 10x.

Das ist plus 7x - 15.

Alles das geteilt durch 3x zum Quadrat.

und minus 15x + 2x.

Das ergibt -13x - 10.

Und das ist Antwort D.

Nächstes Problem.

Problem 70.

Junge, die wollen uns auf Trab halten.

Das ist eine gute Übung.

Sie schreiben, x zum Quadrat + 8x + 16, durch x + 3

geteilt durch 2x + 8, durch x zum Quadrat - 9.

Das erste, was ihr tut, wenn ihr durch einen Bruch teilt,

ist das ihr mit dem inversen Bruch multipliziert.

Also das ist dann x Quadrat + 8x + 16, geteilt durch x + 3

mal dem inversen von x zum Quadrat - 9,

durch 2x + 8.

Gut soweit.

Mal sehen ob wir das ein bisschen vereinfachen können.

Ich mache das in gelb.

Also das ist 4 + 4 gleich 8, 4 mal 4 gleich 16.

Das können wir schreiben als x + 4 mal x+ 4

x hoch 2 minus 9, das ist ein Quadrat minus ein Quadrat

Deshalb können wir das schreiben als x + 3 mal x - 3.

Wir gehen nach dem Muster vor.

Wir können 2 herausziehen, das ist dann 2

mal x plus 4

Wir haben ein x + 3 dort.

Und wenn wir Brüche multiplizieren, dann

multiplizieren wir alle Zähler, dann alle Nenner.

Das ist so als würdet ihr alles in eine Zeile schreiben.

Also der Zähler ist x+4 mal x+4 mal x+

3 mal x - 3

Alles das durch x+3 mal 2x + 4.

Jetzt kürzen wir.

Das ist der schöne Teil.

Wir haben ein x+4 und noch ein x+4,kürzen wir das.

Wir haben ein x+3 und noch ein x+3,kürzen wir das auch.

Und was bleibt übrig?

Wir haben noch x+4 mal x-3.

Alles geteilt durch 2.

Und das ist Antwort C.

Und ich werde dich im nächsten Video wiedersehen.