Harmonic Motion Part 2 (calculus)
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0:01 - 0:02在上个视频中
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0:02 - 0:05我重新写了弹簧的方程
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0:06 - 0:09我刚写了力等于质量乘以加速度
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0:09 - 0:11我刚才在讲
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0:11 - 0:14如果x是t的函数 加速度是多少?
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0:14 - 0:18速度是x关于时间t的导数
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0:18 - 0:20对吗? 位置的改变量除以时间的改变量
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0:20 - 0:23加速度是速度的导数
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0:23 - 0:26或说是位移的二阶导数
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0:26 - 0:29所以对x(t)求二次导数 对吗?
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0:30 - 0:34用上述参数重新写一下方程
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0:36 - 0:37我先把这些都擦了 实际上我不想擦了这些
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0:37 - 0:40以便让大家记得这段时间我们在讨论什么
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0:41 - 0:45我看看是否能把这些擦干净 很好
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0:48 - 0:51把这些都擦掉
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0:56 - 0:59所有这些 还要擦掉这个
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1:02 - 1:06很好 好的 回到正题
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1:09 - 1:12我们知道 希望大家知道 加速度
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1:12 - 1:14是x(t)的二阶导数
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1:14 - 1:15我们可以把这个重写成
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1:15 - 1:20质量乘以x的二阶导数
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1:21 - 1:23可以把它写成 好的
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1:23 - 1:26我想最简单的写法是x的一撇再一撇
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1:27 - 1:31这是x关于t的二阶导数
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1:31 - 1:33我要写一下函数符号
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1:33 - 1:35因此大家就记得这是时间的函数
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1:36 - 1:42等于-k乘以x(t)
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1:44 - 1:46在这里看到的是 我刚写下了的是
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1:46 - 1:48这实际上是个微分方程
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1:50 - 1:52什么是微分方程呢?
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1:52 - 1:55在这种方程里 在一个表达式中
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1:55 - 1:57在一个方程中 在等号两边
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1:57 - 1:58不只是有一个函数
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1:58 - 2:01还有函数的导数
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2:01 - 2:03微分方程的解
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2:05 - 2:07不只是一个数 对吗?
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2:07 - 2:10实际上 我们以前求的方程的解
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2:10 - 2:14是数字 或者是一组数 或是一条线
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2:15 - 2:17但微分方程的解
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2:18 - 2:21实际上是一个方程 或是一类方程
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2:21 - 2:22或说一组方程
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2:23 - 2:26这理解起来有点困难
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2:26 - 2:28这和以前所讲的例子一样也是个很好的例子
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2:29 - 2:30我们不需要理论地分析
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2:31 - 2:32微分方程
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2:33 - 2:35在我们和以前的视频一样做类似分析后
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2:35 - 2:37还要使用直觉来分析
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2:38 - 2:40我们要用直觉来猜测
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2:40 - 2:42微分方程的解是什么
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2:43 - 2:45然后 如果求出来了
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2:45 - 2:47我们就可以理解地更直观
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2:47 - 2:49实际上我们将知道在任何给定的时刻
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2:49 - 2:53附有物体的弹簧处于哪个位置
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2:53 - 2:55这很令人兴奋 这是个微分方程
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2:56 - 2:59当我们画出这个位置 对于位置与时间的关系
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2:59 - 3:01直觉是 直觉告诉我们这是个余弦函数
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3:01 - 3:03振幅是A
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3:03 - 3:07我们曾说余弦函数是Acosωt 这是角速度
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3:08 - 3:12好的 我现在不想分析余弦函数
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3:12 - 3:13我们稍后再体会一下
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3:13 - 3:17现在 我们能做的是 测试一下这个表达式
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3:18 - 3:25这个函数 看看它是否满足方程 对吗?
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3:29 - 3:39如果x(t)等于Acosωt
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3:40 - 3:42它的导数是什么? x对t求导
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3:42 - 3:47大家可以回顾一下关于导数的视频来记住解法
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3:48 - 3:50这是对于内部的导数
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3:50 - 3:56将是这个ω 乘以外面的标量 Aω
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3:57 - 3:59然后导数是 我在使用链式法则
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3:59 - 4:02cost的导数是负正弦函数
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4:02 - 4:05把负号放在外面
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4:05 - 4:09是-sinωt
So it's minus sign of ωt. -
4:11 - 4:13然后 如果要求二阶导数
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4:14 - 4:17也就是x两撇t
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4:21 - 4:22换一种颜色做题
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4:22 - 4:23以便看起来不会单调
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4:23 - 4:25这是这个的导数 对吗?
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4:26 - 4:27这个的导数是
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4:28 - 4:30这些仅仅是标量值 对吗? 这些是常数
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4:31 - 4:33所以内部的导数是ω
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4:33 - 4:35乘以ω乘以标量常数
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4:36 - 4:42得到-A乘以ω的平方
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4:43 - 4:45正弦函数的导数是余弦函数
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4:45 - 4:46负号仍然在这儿
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4:46 - 4:48因为开始有个负号
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4:48 - 4:57-cosωt 大家看看这对不对
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4:58 - 5:08如果这是正确的 我可以说m乘以
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5:08 - 5:11x对t的二阶导数 在这种情况下也就是这个
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5:13 - 5:20乘以-A乘以ω的平方乘以cosωt
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5:22 - 5:32这将等于-k乘以最初的函数
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5:32 - 5:34乘以x(t) x(t)是Acosωt
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5:37 - 5:38快没有地方写了
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5:40 - 5:41希望大家都明白我在说什么
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5:42 - 5:45我用x的二阶导数
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5:45 - 5:50替换了这个 替换了x(t)
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5:51 - 5:53我猜就是这个 在这儿
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5:54 - 5:57现在得到这个 看看是否能重写一下
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5:57 - 5:59或许可以擦掉这里的弹簧
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5:59 - 6:00我在尝试着找到空白地方做题
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6:00 - 6:01我不想擦掉这个 因为我想这
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6:01 - 6:03能给我们做题带来启发
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6:04 - 6:07我希望有一天我能有个更大的黑板
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6:11 - 6:13擦掉这个弹簧
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6:13 - 6:16希望大家能记住这个图形
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6:17 - 6:20实际上 我可以擦掉这个 可以擦掉这个
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6:23 - 6:25擦掉所有这些 如此的话我就有空白地方了
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6:25 - 6:26而不需要舍弃这个漂亮的曲线
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6:27 - 6:28这是我在上个视频中花时间画的
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6:29 - 6:33差不多了 好的 回到题目中来
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6:36 - 6:38确保我的笔好写 好的
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6:38 - 6:44我所做的是用 我们说 对于弹簧系数
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6:44 - 6:48如果再写出力等于质量乘加速度 得到这个
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6:48 - 6:49这实际上是个微分方程
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6:49 - 6:52我刚重写了加速度是二阶导数
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6:52 - 6:55我做了个猜测 这是x(t)
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6:56 - 6:59基于我们对于这个图形的直觉 我做了个猜测
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7:00 - 7:02我对这个求了二阶导数 对吗?
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7:02 - 7:04这是一阶导数 这是二阶导数
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7:04 - 7:06然后我替换了这里的二阶导数
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7:06 - 7:08替换了这个函数 这是我得到的结果
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