1
00:00:00,670 --> 00:00:02,330
在上个视频中

2
00:00:02,470 --> 00:00:05,350
我重新写了弹簧的方程

3
00:00:05,630 --> 00:00:08,750
我刚写了力等于质量乘以加速度

4
00:00:09,200 --> 00:00:10,550
我刚才在讲

5
00:00:10,590 --> 00:00:13,680
如果x是t的函数 加速度是多少？

6
00:00:14,180 --> 00:00:17,830
速度是x关于时间t的导数

7
00:00:17,850 --> 00:00:19,830
对吗？ 位置的改变量除以时间的改变量

8
00:00:20,170 --> 00:00:23,190
加速度是速度的导数

9
00:00:23,320 --> 00:00:26,000
或说是位移的二阶导数

10
00:00:26,000 --> 00:00:29,430
所以对x(t)求二次导数 对吗？

11
00:00:29,570 --> 00:00:33,740
用上述参数重新写一下方程

12
00:00:35,580 --> 00:00:37,370
我先把这些都擦了 实际上我不想擦了这些

13
00:00:37,380 --> 00:00:39,780
以便让大家记得这段时间我们在讨论什么

14
00:00:40,920 --> 00:00:45,040
我看看是否能把这些擦干净 很好

15
00:00:48,350 --> 00:00:50,550
把这些都擦掉

16
00:00:56,060 --> 00:00:59,040
所有这些 还要擦掉这个

17
00:01:02,220 --> 00:01:06,350
很好 好的 回到正题

18
00:01:08,520 --> 00:01:11,750
我们知道 希望大家知道 加速度

19
00:01:11,800 --> 00:01:14,180
是x(t)的二阶导数

20
00:01:14,180 --> 00:01:15,090
我们可以把这个重写成

21
00:01:15,280 --> 00:01:20,460
质量乘以x的二阶导数

22
00:01:21,440 --> 00:01:23,050
可以把它写成 好的

23
00:01:23,050 --> 00:01:25,720
我想最简单的写法是x的一撇再一撇

24
00:01:26,770 --> 00:01:30,650
这是x关于t的二阶导数

25
00:01:31,380 --> 00:01:33,000
我要写一下函数符号

26
00:01:33,030 --> 00:01:35,040
因此大家就记得这是时间的函数

27
00:01:36,390 --> 00:01:42,360
等于-k乘以x(t)

28
00:01:43,600 --> 00:01:45,830
在这里看到的是 我刚写下了的是

29
00:01:45,900 --> 00:01:48,350
这实际上是个微分方程

30
00:01:50,390 --> 00:01:52,140
什么是微分方程呢？

31
00:01:52,200 --> 00:01:54,960
在这种方程里 在一个表达式中

32
00:01:55,160 --> 00:01:56,530
在一个方程中 在等号两边

33
00:01:56,800 --> 00:01:58,300
不只是有一个函数

34
00:01:58,330 --> 00:02:01,030
还有函数的导数

35
00:02:01,280 --> 00:02:03,280
微分方程的解

36
00:02:05,220 --> 00:02:07,170
不只是一个数 对吗？

37
00:02:07,280 --> 00:02:10,160
实际上 我们以前求的方程的解

38
00:02:10,500 --> 00:02:13,940
是数字 或者是一组数 或是一条线

39
00:02:14,620 --> 00:02:17,300
但微分方程的解

40
00:02:18,030 --> 00:02:20,850
实际上是一个方程 或是一类方程

41
00:02:21,000 --> 00:02:22,190
或说一组方程

42
00:02:22,800 --> 00:02:25,930
这理解起来有点困难

43
00:02:25,990 --> 00:02:28,040
这和以前所讲的例子一样也是个很好的例子

44
00:02:29,320 --> 00:02:30,310
我们不需要理论地分析

45
00:02:30,570 --> 00:02:32,260
微分方程

46
00:02:32,520 --> 00:02:35,290
在我们和以前的视频一样做类似分析后

47
00:02:35,330 --> 00:02:37,090
还要使用直觉来分析

48
00:02:37,680 --> 00:02:40,160
我们要用直觉来猜测

49
00:02:40,370 --> 00:02:42,440
微分方程的解是什么

50
00:02:43,000 --> 00:02:45,240
然后 如果求出来了

51
00:02:45,320 --> 00:02:46,690
我们就可以理解地更直观

52
00:02:46,690 --> 00:02:48,850
实际上我们将知道在任何给定的时刻

53
00:02:48,850 --> 00:02:52,910
附有物体的弹簧处于哪个位置

54
00:02:53,080 --> 00:02:54,930
这很令人兴奋 这是个微分方程

55
00:02:56,320 --> 00:02:58,730
当我们画出这个位置 对于位置与时间的关系

56
00:02:58,730 --> 00:03:01,340
直觉是 直觉告诉我们这是个余弦函数

57
00:03:01,340 --> 00:03:03,080
振幅是A

58
00:03:03,110 --> 00:03:07,150
我们曾说余弦函数是Acosωt 这是角速度

59
00:03:08,260 --> 00:03:11,540
好的 我现在不想分析余弦函数

60
00:03:11,600 --> 00:03:13,160
我们稍后再体会一下

61
00:03:13,340 --> 00:03:17,470
现在 我们能做的是 测试一下这个表达式

62
00:03:17,690 --> 00:03:24,540
这个函数 看看它是否满足方程 对吗？

63
00:03:28,690 --> 00:03:38,790
如果x(t)等于Acosωt

64
00:03:39,650 --> 00:03:42,120
它的导数是什么？ x对t求导

65
00:03:42,380 --> 00:03:47,180
大家可以回顾一下关于导数的视频来记住解法

66
00:03:47,770 --> 00:03:49,650
这是对于内部的导数

67
00:03:49,870 --> 00:03:56,150
将是这个ω 乘以外面的标量 Aω

68
00:03:57,000 --> 00:03:59,000
然后导数是 我在使用链式法则

69
00:03:59,230 --> 00:04:02,010
cost的导数是负正弦函数

70
00:04:02,040 --> 00:04:05,000
把负号放在外面

71
00:04:05,110 --> 00:04:09,470
是-sinωt
So it's minus sign of ωt.

72
00:04:11,260 --> 00:04:13,230
然后 如果要求二阶导数

73
00:04:14,140 --> 00:04:17,210
也就是x两撇t

74
00:04:21,000 --> 00:04:22,000
换一种颜色做题

75
00:04:22,000 --> 00:04:23,240
以便看起来不会单调

76
00:04:23,430 --> 00:04:25,250
这是这个的导数 对吗？

77
00:04:25,840 --> 00:04:26,990
这个的导数是

78
00:04:28,000 --> 00:04:30,380
这些仅仅是标量值 对吗？ 这些是常数

79
00:04:30,640 --> 00:04:32,710
所以内部的导数是ω

80
00:04:33,000 --> 00:04:35,030
乘以ω乘以标量常数

81
00:04:35,500 --> 00:04:42,350
得到-A乘以ω的平方

82
00:04:43,080 --> 00:04:45,480
正弦函数的导数是余弦函数

83
00:04:45,480 --> 00:04:46,400
负号仍然在这儿

84
00:04:46,400 --> 00:04:47,550
因为开始有个负号

85
00:04:48,170 --> 00:04:56,710
-cosωt 大家看看这对不对

86
00:04:58,000 --> 00:05:07,750
如果这是正确的 我可以说m乘以

87
00:05:08,000 --> 00:05:11,320
x对t的二阶导数 在这种情况下也就是这个

88
00:05:12,910 --> 00:05:20,440
乘以-A乘以ω的平方乘以cosωt

89
00:05:21,890 --> 00:05:31,650
这将等于-k乘以最初的函数

90
00:05:31,850 --> 00:05:34,390
乘以x(t) x(t)是Acosωt

91
00:05:37,340 --> 00:05:38,300
快没有地方写了

92
00:05:39,760 --> 00:05:41,230
希望大家都明白我在说什么

93
00:05:41,780 --> 00:05:45,000
我用x的二阶导数

94
00:05:45,020 --> 00:05:49,990
替换了这个 替换了x(t)

95
00:05:50,870 --> 00:05:53,230
我猜就是这个 在这儿

96
00:05:54,000 --> 00:05:56,540
现在得到这个 看看是否能重写一下

97
00:05:56,850 --> 00:05:58,740
或许可以擦掉这里的弹簧

98
00:05:58,800 --> 00:05:59,680
我在尝试着找到空白地方做题

99
00:05:59,680 --> 00:06:01,100
我不想擦掉这个 因为我想这

100
00:06:01,100 --> 00:06:02,650
能给我们做题带来启发

101
00:06:04,040 --> 00:06:06,670
我希望有一天我能有个更大的黑板

102
00:06:11,000 --> 00:06:12,830
擦掉这个弹簧

103
00:06:13,380 --> 00:06:16,150
希望大家能记住这个图形

104
00:06:16,760 --> 00:06:20,500
实际上 我可以擦掉这个 可以擦掉这个

105
00:06:22,580 --> 00:06:24,550
擦掉所有这些 如此的话我就有空白地方了

106
00:06:24,570 --> 00:06:26,470
而不需要舍弃这个漂亮的曲线

107
00:06:26,550 --> 00:06:27,950
这是我在上个视频中花时间画的

108
00:06:28,900 --> 00:06:32,930
差不多了 好的 回到题目中来

109
00:06:36,000 --> 00:06:37,540
确保我的笔好写 好的

110
00:06:37,560 --> 00:06:43,670
我所做的是用 我们说 对于弹簧系数

111
00:06:44,360 --> 00:06:47,720
如果再写出力等于质量乘加速度 得到这个

112
00:06:47,720 --> 00:06:49,000
这实际上是个微分方程

113
00:06:49,200 --> 00:06:51,640
我刚重写了加速度是二阶导数

114
00:06:52,000 --> 00:06:54,700
我做了个猜测 这是x(t)

115
00:06:56,000 --> 00:06:59,330
基于我们对于这个图形的直觉 我做了个猜测

116
00:07:00,000 --> 00:07:01,840
我对这个求了二阶导数 对吗？

117
00:07:01,840 --> 00:07:04,110
这是一阶导数 这是二阶导数

118
00:07:04,490 --> 00:07:06,210
然后我替换了这里的二阶导数

119
00:07:06,260 --> 00:07:07,740
替换了这个函数 这是我得到的结果