在上个视频中
我重新写了弹簧的方程
我刚写了力等于质量乘以加速度
我刚才在讲
如果x是t的函数 加速度是多少？
速度是x关于时间t的导数
对吗？ 位置的改变量除以时间的改变量
加速度是速度的导数
或说是位移的二阶导数
所以对x(t)求二次导数 对吗？
用上述参数重新写一下方程
我先把这些都擦了 实际上我不想擦了这些
以便让大家记得这段时间我们在讨论什么
我看看是否能把这些擦干净 很好
把这些都擦掉
所有这些 还要擦掉这个
很好 好的 回到正题
我们知道 希望大家知道 加速度
是x(t)的二阶导数
我们可以把这个重写成
质量乘以x的二阶导数
可以把它写成 好的
我想最简单的写法是x的一撇再一撇
这是x关于t的二阶导数
我要写一下函数符号
因此大家就记得这是时间的函数
等于-k乘以x(t)
在这里看到的是 我刚写下了的是
这实际上是个微分方程
什么是微分方程呢？
在这种方程里 在一个表达式中
在一个方程中 在等号两边
不只是有一个函数
还有函数的导数
微分方程的解
不只是一个数 对吗？
实际上 我们以前求的方程的解
是数字 或者是一组数 或是一条线
但微分方程的解
实际上是一个方程 或是一类方程
或说一组方程
这理解起来有点困难
这和以前所讲的例子一样也是个很好的例子
我们不需要理论地分析
微分方程
在我们和以前的视频一样做类似分析后
还要使用直觉来分析
我们要用直觉来猜测
微分方程的解是什么
然后 如果求出来了
我们就可以理解地更直观
实际上我们将知道在任何给定的时刻
附有物体的弹簧处于哪个位置
这很令人兴奋 这是个微分方程
当我们画出这个位置 对于位置与时间的关系
直觉是 直觉告诉我们这是个余弦函数
振幅是A
我们曾说余弦函数是Acosωt 这是角速度
好的 我现在不想分析余弦函数
我们稍后再体会一下
现在 我们能做的是 测试一下这个表达式
这个函数 看看它是否满足方程 对吗？
如果x(t)等于Acosωt
它的导数是什么？ x对t求导
大家可以回顾一下关于导数的视频来记住解法
这是对于内部的导数
将是这个ω 乘以外面的标量 Aω
然后导数是 我在使用链式法则
cost的导数是负正弦函数
把负号放在外面
是-sinωt So it's minus sign of ωt.
然后 如果要求二阶导数
也就是x两撇t
换一种颜色做题
以便看起来不会单调
这是这个的导数 对吗？
这个的导数是
这些仅仅是标量值 对吗？ 这些是常数
所以内部的导数是ω
乘以ω乘以标量常数
得到-A乘以ω的平方
正弦函数的导数是余弦函数
负号仍然在这儿
因为开始有个负号
-cosωt 大家看看这对不对
如果这是正确的 我可以说m乘以
x对t的二阶导数 在这种情况下也就是这个
乘以-A乘以ω的平方乘以cosωt
这将等于-k乘以最初的函数
乘以x(t) x(t)是Acosωt
快没有地方写了
希望大家都明白我在说什么
我用x的二阶导数
替换了这个 替换了x(t)
我猜就是这个 在这儿
现在得到这个 看看是否能重写一下
或许可以擦掉这里的弹簧
我在尝试着找到空白地方做题
我不想擦掉这个 因为我想这
能给我们做题带来启发
我希望有一天我能有个更大的黑板
擦掉这个弹簧
希望大家能记住这个图形
实际上 我可以擦掉这个 可以擦掉这个
擦掉所有这些 如此的话我就有空白地方了
而不需要舍弃这个漂亮的曲线
这是我在上个视频中花时间画的
差不多了 好的 回到题目中来
确保我的笔好写 好的
我所做的是用 我们说 对于弹簧系数
如果再写出力等于质量乘加速度 得到这个
这实际上是个微分方程
我刚重写了加速度是二阶导数
我做了个猜测 这是x(t)
基于我们对于这个图形的直觉 我做了个猜测
我对这个求了二阶导数 对吗？
这是一阶导数 这是二阶导数
然后我替换了这里的二阶导数
替换了这个函数 这是我得到的结果