Basic Trigonometry
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0:00 - 0:06在这个视频中我想介绍一下三角的基础知识
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0:06 - 0:09这听起来像是一个很复杂的主题
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0:09 - 0:11不过随着学习你们就会看到
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0:11 - 0:15讲的只不过是三角形各边的比率而已
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0:15 - 0:19Trigonometry这个词的前半部分Trig意思是三角形
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0:19 - 0:21后半部分metry的意思是度量
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0:22 - 0:24我在这儿举几个例子
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0:24 - 0:26大家就清楚了
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0:26 - 0:28我先画一些直角三角形
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0:28 - 0:31这是一个直角三角形
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0:31 - 0:34我称它为直角三角形是因为
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0:34 - 0:37其中一个角是90度
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0:37 - 0:43这是一个直角
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0:43 - 0:48它的角度为90度
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0:48 - 0:49在后面的视频中
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0:49 - 0:53我们会讨论表示角度大小的其它方法
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0:53 - 0:54这儿有个90度的角
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0:54 - 0:58是一个直角三角形 我把各边具体的长度写出来
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0:58 - 1:00可以让这个边的长度为3
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1:00 - 1:03三角形的高度是3
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1:03 - 1:07可以让三角形的底为4
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1:07 - 1:14那么这个三角形的斜边就是5
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1:14 - 1:17直角三角形只有一个斜边
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1:17 - 1:20它是那个直角对着的边
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1:20 - 1:23并且它是直角三角形中最长的边
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1:23 - 1:27这就是斜边
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1:27 - 1:30你可能已经在几何学里面学到过了
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1:30 - 1:32可以证明这个直角三角形-
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1:32 - 1:33这些边可以得出-
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1:33 - 1:40由勾股定理 3的平方+4的平方
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1:40 - 1:43等于最长的边的平方
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1:43 - 1:47斜边的平方就等于5的平方
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1:47 - 1:49因此可以证明
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1:49 - 1:51这是满足勾股定理的
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1:51 - 1:52明白了这一点以后
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1:52 - 1:54我们来讲一点三角方面的知识
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1:54 - 1:58三角中最重要的函数
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1:58 - 2:01我们来学一下这些函数的意义
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2:01 - 2:04这是sin 正弦
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2:04 - 2:07这是余弦
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2:07 - 2:11这个是正切
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2:11 - 2:15可以用"sin" "cos"和"tan"来简写
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2:15 - 2:17用这些只是为了说明
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2:17 - 2:20对于三角形中的任意角
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2:20 - 2:23它可以表示特定边之间的比率
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2:23 - 2:24我来写一下
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2:24 - 2:26这是一些助记的符号
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2:26 - 2:27它们可以帮助你
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2:27 - 2:30来记住这些函数的定义
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2:30 - 2:40我想要写的是"soh cah toa"
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2:40 - 2:43你会惊异于这些助记符号在学习三角中的作用的
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2:43 - 2:46这是"soh cah toa" 它们告诉我们：
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2:46 - 2:58"soh"的意思是sin等于对边比斜边
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2:58 - 3:01可能现在还没有明显的含义
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3:01 - 3:03我马上会详细讲的
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3:03 - 3:13cos是邻边比斜边
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3:13 - 3:18最后是正切
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3:18 - 3:23正切就是对边比邻边
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3:23 - 3:24你可能会问 嘿 Sal 你说的这些 对边
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3:24 - 3:27斜边和邻边 到底是指什么？
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3:27 - 3:29好 我们来看一个角
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3:29 - 3:35比如说这个角吧 角度为θ
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3:35 - 3:38夹在边长为4和5的两边之间
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3:38 - 3:39这个角的角度是θ
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3:39 - 3:42我们来说一下sinθ
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3:42 - 3:46cosθ和tanθ都是什么
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3:46 - 3:51我们先来关注一下sinθ
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3:51 - 3:55记得我们说过的"soh cah toa"
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3:55 - 3:57sin是对边比斜边
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3:57 - 4:00因此sinθ就等于对边-
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4:00 - 4:03这个角的对边是哪一条边？
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4:03 - 4:06我们说的是这个角 它的对边
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4:06 - 4:09到它的对边
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4:09 - 4:13就是不与这个角相邻的边
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4:13 - 4:15对边就是长度为3的那条边
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4:15 - 4:17这个角的开口朝向长度为3的那条边
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4:17 - 4:19因此对边就是长度为3的那条边
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4:19 - 4:22那什么是斜边呢？
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4:22 - 4:24我们已经知道- 这里的斜边长度为5
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4:24 - 4:27因此就是3/5
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4:27 - 4:32sinθ的值为3/5
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4:32 - 4:35我马上会讲到sinθ-
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4:35 - 4:39如果这个角度是确定的 那么它的正弦就一定是3/5
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4:39 - 4:41对边与斜边的比
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4:41 - 4:42总是相同的
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4:42 - 4:46即使实际的三角形比现在这个大或者小
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4:46 - 4:47我马上会说明这一点
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4:47 - 4:49我们先把所有的三角函数讲完
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4:49 - 4:54我们讨论一下cosθ是什么
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4:54 - 4:57cos是邻边比斜边 记住-
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4:57 - 5:00我把它们标出来
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5:00 - 5:03我们已经指出长为3的那条边是对边
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5:03 - 5:04这条是对边
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5:04 - 5:07只有在讨论这个角的时候才成立
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5:07 - 5:09当我们讨论这个角时 这条边才是它的对边
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5:09 - 5:12当我们讨论这个角时 这条长为4的边
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5:12 - 5:13与之相邻
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5:13 - 5:16这是其中一条可以形成
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5:16 - 5:19顶点的边
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5:19 - 5:23所以这条边是邻边
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5:23 - 5:24我要明确说明
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5:24 - 5:26这仅对这个角成立
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5:26 - 5:27如果我们讨论那个角
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5:27 - 5:29这条绿色的边就成了对边
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5:29 - 5:31而这条黄色的成为了邻边
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5:31 - 5:34我们现在关注的是这个角
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5:34 - 5:40因此这个角的余弦- 这个角的邻边长度为4
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5:40 - 5:43因此邻边比斜边
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5:43 - 5:47长度为4的边比上斜边
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5:47 - 5:51就是4/5
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5:51 - 5:53现在讲一下正切
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5:53 - 5:56讲一下正切
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5:56 - 5:59tanθ即为对边比邻边
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5:59 - 6:06对边长为3 邻边是哪一条？
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6:06 - 6:09我们已经指出过 邻边长为4
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6:09 - 6:11因此一旦知道了这个直角三角形各边的长度
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6:11 - 6:14就能得到主要的三角比
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6:14 - 6:17我们还会看到一些其他的三角比
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6:17 - 6:23但它们都是从这三个基本的三角函数派生出来的
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6:23 - 6:25现在我们来考虑一下另一个角
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6:25 - 6:28我重新画一下 这个三角形有点乱了
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6:28 - 6:32我重新画一个一样的三角形
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6:32 - 6:34完全一样的三角形
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6:34 - 6:37重复一遍 三角形的各边长度为-
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6:37 - 6:42这条边长度为4 这条边长度为3
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6:42 - 6:44这条边长度为5
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6:44 - 6:47在上一个例子中我们用的是θ
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6:47 - 6:53现在考虑另一个角 上面这个角
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6:53 - 6:56我们把这个角叫做- 我不知道 随便想个符号吧
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6:56 - 6:58一个任意的希腊字母
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6:58 - 7:00就用ψ吧
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7:00 - 7:01这可能有点奇怪
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7:01 - 7:02θ是我们常用的符号
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7:02 - 7:05但是我们已经用过了 这里就用ψ吧
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7:05 - 7:06或者- 我用个简单的符号
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7:06 - 7:09把这个角叫做x
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7:09 - 7:10我们用x来表示这个角
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7:10 - 7:13现在我们来找出这个角x的三角函数
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7:13 - 7:18sinx等于多少？
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7:18 - 7:21sin是对边比斜边
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7:21 - 7:24x的对边是哪条边？
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7:24 - 7:26这个角朝向长为4的边
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7:26 - 7:27开口朝向长为4的边
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7:27 - 7:29因此在这里 这条边是对边
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7:29 - 7:32这条边现在成了对边
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7:32 - 7:35记住长为4的边是θ的邻边
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7:35 - 7:37但却是x的对边
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7:37 - 7:40因此就是4除以-
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7:40 - 7:41现在哪条是斜边？
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7:41 - 7:42斜边是不变的
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7:42 - 7:44与你选择哪个角无关
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7:44 - 7:47因此现在斜边也是5
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7:47 - 7:48所以就是4/5
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7:49 - 7:55现在来求另一个 cosx是多少？
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7:55 - 7:57cos是邻边比斜边
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7:57 - 8:00哪条边与x相邻 并且不是斜边？
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8:00 - 8:02这条是斜边
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8:02 - 8:05那么邻边就是长为3的那条边
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8:05 - 8:08它是形成x的顶点的两条边之一 并且不是斜边
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8:08 - 8:10因此这条边就是邻边了
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8:10 - 8:11这条边是邻边
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8:11 - 8:14所以就是3除以斜边的长
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8:14 - 8:16斜边的长度是5
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8:16 - 8:20最后说一下正切
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8:20 - 8:22我们想要得到tanx的值
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8:22 - 8:24tan是对边比邻边
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8:24 - 8:27"soh cah toa" tan是对边比邻边
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8:27 - 8:29对边比邻边
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8:29 - 8:31对边长为4
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8:31 - 8:35我用蓝色来表示
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8:35 - 8:43对边长为4 邻边长为3
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8:43 - 8:44我们做完了
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8:44 - 8:46下一个视频我会讲更多的例子
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8:46 - 8:48这样就能对这些知识更有感觉
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8:48 - 8:50但是我想留让大家想一想
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8:50 - 8:53如果这些角趋近90度会怎样
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8:53 - 8:55或者说 如果它们大于90度会怎样
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8:55 - 8:57我们以后会明白 这个定义
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8:57 - 8:59"soh cah toa"的定义只能适用于
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8:59 - 9:020到90度之间的角
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9:02 - 9:04或者说小于90度的角
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9:04 - 9:06但是在边界处
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9:06 - 9:07就会出现问题
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9:07 - 9:08我们会引入新的定义
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9:08 - 9:11类似于"soh cah toa"的定义
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9:11 - 9:15可以得到任意角的正弦 余弦和正切值
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