Temel Trigomometri

Trigonometriye giriş

Bu videoda

trigonometrinin temellerinden bahsedeceğim.

Çok karmaşık gibi gözüken bir konu bu

ama aslında üçgenlerin kenarlarının oranları

ile ilgili tamamen.

"Trigonometri" kelimesindeki "Trig" kısmı

üçgen demektir, "metry" kısmı da

ölçmek anlamına gelir. Buna dair birkaç örnek vereyim.

Bence bu herşeyi açıklığa kavuşturacak.

Birkaç dik üçgen çizelim veya durun, öncelikle bir tane dik üçgen çizeyim.

Bu bir dik üçgen.

Açılarından bir tanesi 90 derece olduğu için,

buna bir dik üçgen diyorum.

Buradaki de bir dik açı ve

90 dereceye eşit.

İlerideki videolarda açıların ölçülerini göstermenin

diğer yollarından da bahsedeceğim.

Sonuçta 90 derecelik bir açımız var.

Bu bir dik üçgen. Kenarların uzunluklarını yazayım.

Bu kenarın uzunluğu 3. Buradaki yükseklik 3 demektir bu da.

Belki buradaki tabanın uzunluğu 4 tür.

Buradaki üçgenin hipotenüsü de buna göre 5 eder.

Hipotenüs sadece dik üçgenlerde vardır.

Dik açının karşısındaki kenardır ve üçgenin en uzun kenarıdır.

Yani buradaki şey hipotenüstür.

Bunu zaten geometriden öğrenmiş olabilirsiniz.

Ve üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu Pisagor teoreminden ispatlayabilirsiniz.

Çünkü, Pisagor teoremine göre 3'ün karesi artı 4'ün karesi

hipotenüsün karesine eşit olmalı ve

hipotenüsün uzunluğunun karesi de 5'in karesine eşit.

Bunu çözerek bu üçgenin Pisagor teoremine uyduğunu

ispatlayabilirsiniz.

Bu kuralı söylediğimize göre başka şeyleri de öğrenelim.

Trigonometrinin temel fonksiyonlarını mesela.

Bu fonksiyonların ne anlama geldiklerini az sonra anlayacağız.

Bunlardan biri de sinüs fonksiyonudur.

Ayrıca kosinüs ve tanjant fonksiyonları da bu tür fonksiyonlardandır.

Bu fonksiyonlar kısaca sin, cos ve tan diye yazılırlar.

Ve bunlar gerçekten sadece, herhangi bir açı için,

üçgenin belirli kenarlarının oranlarını belirtirler.

Hemen şöyle bir şey yazayım.

Hatırlamanıza yardımcı olacak bir şey.

Bu fonksiyonların tanımlarını hatırlamanıza yardımcı olacak bir şey,

"soh cah toa".

Bu formülün sizi trigonometride ne kadar ileri götüreceğine inanamayacaksınız.

Elimizde "soh cah toa" diye bir şey var, bu bize kısaca şunu belirtir,

"soh" bize sinüsün karşı kenar bölü hipotenüse eşit oldugunu söyler.

Şimdilik bu bize pek anlamlı gelmeyebilir.

Ancak birazdan biraz daha detaylı olarak göstereceğim bunu.

Kosinüs de komşu bölü hipotenüse eşittir.

Ve son olarak tanjant

karşı bölü komşuya eşittir.

Şu an büyük ihtimalle "hey, Sal, bu 'karşı', 'komşu'

'hipotenüs' neyin nesi?" diyorsunuz.

O zaman şuradaki bir açıyı ele alalım.

Buradaki açıya teta diyelim,

uzunluğu 4 olan kenar ile 5 olan kenar arasındaki açıya.

Bu teta.

Hadi tetanın sinüsünü, kosinüsünü

ve tanjantını

bulalım.

Öncelikler tetanın sinüsüne odaklanırsak,

sadece "soh cah toa" yı hatırlamamız lazım,

sinüs karşı bölü hipotenüstür, yani tetanın sinüsü eşittir karşı

- açının karşınında ne var?

Yani tam şuradaki bizim açımız,

eğer tam karşı kenara gidersek,

bu açıya komşu olan kenarlara değil de karşıdakine,

karşı kenarın 3 olduğunu görürüz.

Sanki 3'e doğru açılıyormuş gibidir

teta, bu yüzden karşı kenarımız 3 tür.

Peki hipotenüs nedir?

Onu zaten biliyoruz - buradaki hipotenüs 5.

Yani 3 bölü 5,

tetanın sinüsü 3/5 dir.

Birazdan size tetanın sinüsünün -

eğer bu bilindik bir açıysa, her zaman 3/5 olacağını göstereceğim.

Karşı bölü hipotenüs oranı,

üçgenimiz daha büyük ya da daha küçük olsa da hep

aynı kalacaktır.

Bunu size birazdan göstereceğim.

Neyse, şimdi tüm trigonometri fonksiyonlarına bakalım bu açıda.

Tetanın kosinüsünün ne olduğunu bulalım şimdi de.

Kosinüs komşu bölü hipotenüstür,

durun şunları ayırayım.

3 ün karşı kenar olduğuna zaten karar kılmıştık,

yani bu karşı kenar.

Tabii ki bu sadece bu açıdan bahsederken böyle.

Sadece bu açının karşısındaki kenar budur.

Yine aynı açıdan bahsederken, komşu kenar da

4 tür.

Bu kenar, üçgenin köşe ve kenarlarını oluşturan

kenarlardan biridir.

Sonuçta bu komşu kenardır.

Ve tekrarlıyorum, bu durum sadece

bu açıdan bahsederken geçerli.

Şu açıdan bahsetseydik,

yeşil kenar karşı kenar,

sarı kenar da komşu kenar olurdu.

Fakat şimdilik sadece buradaki açıya odaklanıyoruz.

Biz hesabımıza dönelim,

komşu kenar 4 olduğuna göre

ve kosinüs de komşu bölü hipotenüs olduğuna göre,

kosinüs 4 bölü 5 e eşittir.

Şimdi de

tanjantı bulalım.

Tanjant karşı bölü komşuysa, tetanın tanjantı kaçtır?

Karşı kenar üçtür.

Komşu kenarı da biliyoruz,

ki o da 4 tür.

Yani üçgenin kenar uzunluklarını bildiğimizde

trigonometri oranlarını hesaplayabiliyoruz.

Ancak bu oranlardan başka oranlar da var trigonometride.

Ancak hepsi bu basit fonksiyonlardan

yola çıkarak elde edilebilirler.

Şimdi bu üçgendeki başka bir açıya bakalım.

Ancak üçgenimi tekrar çizeceğim çünkü bu üçgenim biraz fazla karmaşık hale geldi.

Bu yüzden aynı üçgeni

bir kez daha çizeceğim.

Bu sırada kenar uzunluklarını tekrar hatırlayalım,

burası 4 uzunluğunda, burası da 3 uzunluğunda

ve son olarak burası da 5 uzunluğundaydı.

Geçen örneğimizde bu teta açısını kullandık.

Fakat başka bir açıyı kullanalım buradaki,

ve bu açının adını da herhangi bir

Yunan harfi verelim.

Mesela psi diyebiliriz bu açıya.

Biraz garip bir isim verdiğimin farkındayım ancak

normalde kullandığımız tetayı çoktan kullandığımız için

psi kullanmaya karar verdim.

Veya bunu basitleştirip

bu açıya doğrudan

x diyelim.

Şimdi de x açısı için trigonometri fonksiyonlarını hesaplayalım.

Peki x in sinüsü kaç eder?

Sinüs karşı bölü hipotenüs olduğuna göre

x in karşısında hangi kenar olduğunu bulmamız gerekli.

Bu açı 4 e doğru

açılıyor, ki bu da

artık bu kenarın karşı kenar

olduğunu gösterir.

Hatırlayın, 4 teta açısına göre komşuydu, ancak

x e göre karşı kenar oldu.

Şimdi de

hipotenüsü bulalım.

Hipotenüs açıya göre

değişmediğine göre

yine 5 olur.

Bu yüzden x için sinüs değeri 4 bölü 5 olur.

Peki x in kosinüsü nedir?

Kosinüs komşu bölü hipotenüstür.

x açısına hipotenüs dışındaki komşu kenar hangisidir peki?

Hipotenüs buradadır.

Bu kenar 3 tür,

çünkü x açısının köşesini oluşturan

diğer kenar budur.

Bu da komşu olduğunu gösterir.

Yani cevap

3 bölü 5 tir.

Son olarak da tanjantı bulalım.

x in tanjantını bulmaya çalışıyoruz ve

tanjant karşı bölü komşudur.

"soh cah toa" ya göre de tanjant

karşı bölü komşudur.

Karşı 4 tür.

Bunu maviyle çizeyim.

Karşı 4 tür ve komşu da 3 tür.

Ve bitti.

Bir sonraki videoda başka bir çok örnek daha yapacağız,

anlamanıza yardımcı olmak için.

Ancak bitirmeden önce şunu düşünmenizi istiyorum;

bu açılar 90 a yaklaştığında ne olur ve

nasıl 90 dan büyük olabilirler?

"soh cah toa"

tanımının da

0 ile 90 arası derecelerde

yararlı olduğunu göreceğiz, ancak

sınır değerlerde çok

problem yaşattıklarını fark edeceğiz.

Bu yüzden de yeni bir tanım anlatacağım

"soh cah toa" dan elde edilmiş bir tanım.

Ve bu tanım herhangi bir açının

sinüs kosinüs ve tanjantını bulmamda yardımcı olacak.