Basic Trigonometry

Introduction to trigonometry

V tomto videu sa naučíme

základy trigonometrie.

Znie to veľmi zložito,

ale skoro uvidíte, že je to len práca s

pomermi strán trojuholníkov.

Trig v slove trigonometria doslova znamená

trojúholník a metria znamená miera, merať.

Dajme si teraz niekoľko príkladov.

Myslím, že vám potom bude všetko jasné.

Teraz si nakreslíme nejaký pravouhlý trojuholník.

Jeden pravouhlý trojuholník; tak tu ho máme.

Keď hovorím, že je to pravouhlý trojuholník, je to preto, že

jeden z jeho uhlov má 90 stupňov.

Toto je ten uhol, ktorý má 90 stupňov.

Je to presne 90°.

V ďalších videách budeme hovoriť o spôsoboch

ako zisťovať veľkosť uhlov.

Tak teda máme pravý uhol.

Je to teda pravouhlý trojuholník. Zvoľme si teraz

nejakú dĺžku tejto strany. Táto strana bude napríklad 3, výška trojuholníka je 3.

Táto strana bude napríklad 4.

A teraz prepona trojuholníka tu bude 5.

Pojem prepona sa používa iba pre pravouhlý trojuholník.

Je to strana oproti prvému uhlu, je to najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka.

Tak toto je teda prepona.

Pravdepodobne ste už o tom počuli v geometrii.

Môžeme si tiež overiť, že je tento trojuholník pravouhlý.

Z Pythagorovej vety vieme, že 3 na druhú

plus 4 na druhú by malo dať druhú mocninu dĺžky najdlhšej strany,

dĺžky prepony na druhú, teda 5 na druhú.

Vidíme, že to funguje.

A to je tá naša úžasná Phytagorova veta.

A teraz sa konečne dostávame k trigonometrii.

Základné trigonometrické funkcie.

Naučíme sa teraz podrobnejšie, čo to vlastne znamená.

Toto je sinus, funkcia sinus.

Toto je funkcia kosínus a tu je funkcia tangens.

Skrátene zapisujeme sin, cos, tg alebo tan.

A tieto funkcie vyjadrujú pre každý uhol v tomto trojuholníku

určité pomery strán.

Dovoľte mi ešte jednu poznámku.

Ako mnemotechnická pomôcka v angličtine, pre ľahké

zapamätanie definícií týchto funkcií, je princezná Soh-cah-toa.

Napíšem to. Ak sa naučíte anglicky: protiľahlá-opposite, priľahlá-adjacent a prepona-hypotenuse,

budete sa diviť, ako veľmi je táto pomôcka v trigonometrii užitočná.

Ako sú teda tieto funkcie definované?

Soh:sinus = opposite / hypotenuse. Teda: sinus uhla je pomer protiľahlej odvesny ku prepone.

Hovorí nám to....a teraz vám to asi ešte nebude jasné.

Ukážem to podrobne až za chvíľku.

Ďalej máme : Cah: cosínus = adjacent / hypotenuse. Teda: kosínus uhla je pomer priľahlej odvesny ku prepone.

A nakoniec Toa: tangent = opposite / adjacent.

Teda tangens uhla je pomer protiľahlej odvesny ku priľahlej odvesne.

Možno si práve hovoríte, ale ako poznám protiľahľú a priľahlú

odvesnu a preponu?

Dobre, vezmime si tento uhol.

Označme si ho theta.

Je to uhol medzi stranou dlhou 4

a stranou dlhou 5, to je theta.

Teraz si zistime, čomu sa rovná sinus theta,

kosínus theta a aký je tangens

tohoto uhla.

Najprv sa zameriame na sinus uhla theta.

Z definície vieme,

že sínus je pomer protiľahlej odvesne ku prepone.

Takže, čo znemaná protiľahlá strana uhla?

Tak toto je náš uhol. Protiľahlá strana

je tá, ktorá je naproti,

teda ani jedna z tých,medzi ktorými uhol leží.

Protiľahlá strana je strane s dĺžkou 3.

Vyzerá to, akokeby bol uhol otvorený smerom k strane 3.

Teda protiľahlá strana je 3.

A teraz čo je prepona?

To my predsa vieme, prepona je 5.

Teda máme 3 ku 5,

sinus uhla theta je 3/5.

Neskôr vám ukážem, že sinus uhla theta -

ak je to tento určitý uhol-vždy bude 3/5.

Pomer protiľahlej strany a prepony vždy vyjde rovnaký,

dokonca aj keď tento trojuholník zväčšíme

alebo zmenšíme.

To si ale ukážeme neskôr.

Teraz sa pozrime na ostané trigonometrické funkcie.

Ako vyzerá kosinus theta?

Kosinus je pomer priľahlej odvesny ku prepone, ako si iste pamätáte.

Napíšme si to.

Už sme si odvodili, že strana dĺžky 3 je protiľahlá.

Toto je protiľahlá,

ale to len ak hovoríme o tomto uhle.

Keď hovoríme o tomto uhle - je toto protiľahlá strana.

Stále sme pri tom istom uhle,. Strana s dĺžkou 4

je k nemu priľahlá,

je to jedna zo strán, ktorá ho tvorí,

vytvára v ňom vrchol.

Tak toto je tá priľahlá strana.

Majme na pamäti,

že to platí iba pre tento uhol.

Ak sa budeme baviť o tomto uhle,

tak tá zelená strana bude protiľahlá

a tá žltá strana bude priľahlá.

Zamerajme sa teda na tento uhol.

Kosínus toho uhla je teda - priľahlá strana k tomuto uhlu je 4,

teda priľahlá ku prepone,

čo je 4 ku prepone,

4 ku 5.

Teraz určime tangens.

Ideme na to.

Tangens theta je protiľahlá ku priľahlej.

Protiľahlá je 3. Ktorá strana je priľahlá?

Už sme si odvodili, že rpiľahlá

srana je 4.

Teda, keď poznáme strany toho pravouhlého trojuholníka,

sme schpní odvodiť základné trigonometrické vzťahy.

A čoskoro uvidíme, že sú tu ešte iné vzťahy,

ale tie sa tiež dajú odvodiť z týchto troch

základných funkcií.

Teraz budeme uvažovať o inom uhle z tohto trojuholníka.

A radšej si to prekreslíme, pretože ten môj trojuholník začína byť troška preplnený.

Takže nakreslíme presne ten istý trojuholník.

Rovnaký trojuholník,

a ešte raz, dĺžky strán toho trojuholníka sú -

máme 4, potom máme 3,

a máme dĺžku 5.

V minulom príklade sme používali tento uhol theta.

Teraz si vezmime iný uhol,

a nazvime ho....teraz neviem, niečo vymyslím,

veľké grécke písmeno...

povedzme, že to bude psí.

Viem, že je to trochu podivné.

Normálne sa používa theta,

ale tú sme už použili minule, tak použijeme psí.

Alebo si to zjednodušíme

a pomenujeme tento uhol x.

Označme tento uhol x.

Teraz si vypíšeme trigonometrické funkcie pre uhol x.

Takže máme sinus x, to je priľahlá k čomu?

To je zábava, sinus je protiľahlá ku prepone.

Teda čo je protiľahlá k x?

Uhol sa akoby otvára k strane dĺžky 4,

otvára sa k strane dĺžky 4.

Pre tento uhol je to teda protiľahlá strana,

teraz je to protiľahlá strana.

Pamätajte si: 4 bola priľahlou stranou pre uhol theta,

ale je protľahlou pre uhol x.

Takže budeme mať 4 ku ...

aká je naša prepona?

Iste, prepona je stále rovnaká, nech

si vyberieme ktorýkoľvek z uhlov.

Takže prepona je 5.

Máme teda výsledok 4/5.

Teraz si skúsme ďalší. Aký je kosinus x?

Teda kosinus je priľahlá ku prepone.

Ktorá strana je rpiľahlá k uhlu x? Nie je to prepona?

Preponu máme tu.

Takže strana dĺžky 3 je jedna z dvoch strán,

ktoré tvoria uhol x a nie je to prepona.

Je to teda priľahlá strana.

Tak toto je priľahlá odvesna.

Máme teda 3 ku prepone,

prepona je 5.

A nakoniec tangens.

Chceme odvodiť vzťah pre tangens x.

Tangens je protiľahlá ku priľahlej.

soh cah toa, tangens = opposite/adjacent,

priľahlá deleno protiľahlá.

Protiľahlá je 4.

Napíšme ju modrou,

protiľahlá strana je 4, priľahlá strana je 3.

A máme to!

A v ďalšom videu si to ukážeme na viacerých príkladoch.

Teraz už máme dobrý základ.

Ale nechám vás premýšľať, čo sa stane,

keď sa tento uhol bude blížiť k 90 stupňom,

alebo dokonca bude väčší ako 90 stupňov.

A ukážeme si ako nás tieto definície

sin, cos a tan dovedú ďaleko

pre uhly medzi 0 a 90 stupňov,

teda pre uhly menšie ako 90 stupňov.

Môže sa to na začiatku skaziť,

tak si predstavíme nové definície,

ktoré sú pomocou týchto odvodené

a pomocou nich dokážeme nájsť sin, cos a tg

ľubovoľného uhla.