Basic Trigonometry

Introduction to trigonometry

Привет!

В этом видео я хочу рассказать вам об основах тригонометрии.

Звучит, как нечто очень сложное, но вы увидите, что она

просто изучает соотношения сторон в треугольнике.

Часть «Триг» слова «Тригонометрия», она означает

«Треугольник», а «Метрия», она означает «Измерение».

Давайте я дам вам несколько примеров,

это должно всё прояснить.

Давайте я нарисую несколько прямоугольных треугольников.

Вот начертим первый. Это - прямоугольный треугольник.

Мы называем его прямоугольным, потому что

один из углов у него равен 90°, да. Это прямоугольный треугольник.

И это прямой угол, который равен 90°. В следующих видео мы поговорим

о других способах того, как показать величину угла.

Итак, у нас есть угол в 90°,

а значит, треугольник прямоугольный.

Обозначим длины сторон.

Вот эта сторона будет равна 3.

Это высота, она равна 3.

Пусть вот это основание треугольника будет равно 4.

А гипотенуза треугольника

– вот эта – будет равна 5.

Гипотенуза есть только в прямоугольных треугольниках.

Это - сторона, которая лежит

напротив прямого угла, и одновременно

она является самой длинной стороной

в прямоугольном треугольнике.

Это и есть наша гипотенуза.

Вы, наверное, уже узнали это из геометрии.

Используя теорему Пифагора, вы можете убедиться,

что такие стороны могут существовать

в реальном треугольнике, да, 3, 4 и 5.

И вот мы знаем, что 3²+4² должно равняться

квадрату самой длинной стороны,

т.е. гипотенузе, т.е. равно 5²

И вы можете проверить,

что эти длины сторон подходят,

что они удовлетворяют

условия Теоремы Пифагора.

Разобравшись с этим,

мы можем узнать и о тригонометрии дальше.

Итак, основные функции тригонометрии...

Нам нужно понять, что же эти функции означают.

Есть функция синуса, косинуса и потом функция тангенс.

Эти обозначения: sin, cos и tan, они используются для краткости.

Какое же значение они носят?

Для любого угла в треугольнике

они показывают соотношения определённых сторон.

Давайте я сейчас кое-что напишу .

Это что-то вроде шпаргалки, что-то,

что поможет вам запомнить определения этих функций.

SOH CAH TOA.

Вы удивитесь, как такой прием

поможет вам разобраться в тригонометрии, но, тем не менее.

Итак, SOH говорит нам, что буква «S» синус (Sin)

равен противолежащей стороне (от англ. «opposite»)

разделенной «opposite» на гипотенузу (от англ. «hypotenuse»).

Это может сейчас показаться сложным,

но я скоро всё детально объясню.

Косинус равен отношению прилежащего катета

(А - adjacent) к гипотенузе (H - hypotenuse).

Тангенс равен отношению противолежащего катета

(O – opposite) к прилежащему (A – adjacent).

Вы, наверное, думаете:

"Ммм, что это за противолежащие/прилежащие

стороны и гипотенузы? О чем вообще речь идет?"

Давайте возьмём угол.

Вот, скажем, вот этот и назовем его θ (тета).

Он находится между сторонами длиной в 5 и 4.

Это угол θ.

Давайте выясним, чему равны

синус, косинус и тангенс угла θ.

Вначале давайте обратим внимание на sin θ, сфокусируемся на нем.

Нам просто нужно вспомнить SOH CAH TOA.

Синус равен противолежащей стороне (opposite)

поделить на гипотенузу (hypotenuse).

Так, какая же сторона лежит напротив этого угла?

Вот наш угол.

А проитиволежащая сторона, если вы посмотрите сюда..

Вот эта сторона, не прилегающая к нашему углу.

Противолежащая сторона, она равна 3.

Угол, он как бы раскрывается

навстречу этой стороне. Так, это 3.

А что у нас является гипотенузой?

Мы уже знаем, что гипотенуза здесь - это 5.

Т.е. это 3 поделить на 5.

sinθ=3/5.

Чему равен синус этого угла?

3/5. И я вам скоро покажу, что если этот угол

- это какой-то специфический угол,

то синус всегда будет равен трем пятым...

соотношение противолежащей стороны

и гипотенузы всегда будет одним и тем же,

даже если бы треугольник был больше или меньше.

Ну это через секунду.

Теперь cosθ. Чему он равен?

Косинус - это прилежащий катет (adjacent),

деленный на гипотенузу (hypotenuse).

Мы уже выяснили, что 3

- это противолежащая сторона,

но только в том случае,

если мы рассматриваем угол θ.

Когда мы говорим об этом угле,

сторона длиной 4, она является прилежащей, правильно?

Это одна из сторон, которые как бы

формируют здесь вершину.

Т.е. это смежная сторона ее еще можно назвать.

Давайте проясним: это подходит

только для данного угла θ.

Если бы речь пошла о том угле,

то вот эта зелёная сторона

была бы противолежащей,

а эта жёлтая – прилежащей.

Но сейчас мы рассматриваем угол θ.

Итак, косинус этого угла.

Прилежащий катет равен 4.

Прилежащий катет делить на гипотенузу. Гипотенуза у нас равна 5

Получаем 4/5.

Теперь давайте разберемся с тангенсом.

Tanθ – это отношение

противолежащей стороны к прилежащей (adjacent).

Противолежащая сторона равна 3.

Чему равна прилежащая?

Это мы уже выяснили.

Прилежащая сторона равна 4.

Т.е., зная длины сторон этого треугольника,

мы смогли выяснить основные

тригонометрические соотношения.

Мы увидим, что существуют и другие

тригонометрические соотношения,

но все они будут выведены из этих трёх

основных тригонометрических функций.

А теперь давайте подумаем о другом угле

в этом треугольнике.

Я вот сейчас начерчу его ещё раз,

потому что там начеркано было.

Вот такой же треугольник.

Одна сторона равна 4, другая - 3 и третья - 5.

В последнем примере мы использовали угол θ.

Теперь давайте возьмем другой угол.

К примеру, вот этот. Вот этот угол

Назовём его...

сейчас я выберу какую-нибудь греческую букву

... ну, предположим, ψ (пси).

Немного странно, конечно.

Чаще использют θ,

но, я её уже использовала,

поэтому давайте возьмем пси.

Хотя нет, давайте я упрощу и назову эго х.

Х будет лучше. Итак, давайте выясним

тригонометрические функции угла х.

У нас есть sinx, который равен чему?..

Ну, синус - это противолежащая на гипотенузу, да?

А какая сторона лежит напротив угла х?

Он раскрывается для стороны 4.

Поэтому в данном случае это является противолежащей стороной, да?

4 - это противолежащая.

Вы ведь помните, что сторона 4

была прилежащей для угла θ, да,

но сейчас она противоположна углу х.

Т.е., у нас будет: 4 поделить на...

гипотенузу, да, а гипотенуза будет неизменной,

независимо от того, какой угол мы выбираем.

Гипотенуза 5.

Получаем 4/5. Дальше идем.

Чему равен cos x?

Косинус - это отношение прилежащей (adjacent)

к гипотенузе (hypotenuse).

Какая сторона прилежащая к углу икс

и при этом не является гипотенузой, да?

Вот это у нас гипотенуза. Вот сторона 3 – это одна из сторон,

которые формируют угол х,

и при этом она не является гипотенузой.

Значит, 3 поделить на гипотенузу 5.

И, наконец, тангенс...

Мы хотим выяснить tan x.

Тангенс равен отношению

противолежащего (opposite) катета к прилежащему (adjacent).

Тангенс равен отношению противолежащего к прилежащему.

Значит, противолежащий - это 4 сторона,

под голубеньким я ее написала, поделить на прилежащую, на 3.

И это всё!

В следующем видео

я рассмотрю массу примеров,

чтобы вы набили руку.

А на досуге подумайте, что происходит,

когда эти углы приближаются к 90°,

или когда они становятся больше, чем 90°.

Мы увидим, что эта аббревиатура

SOH CAH TOA хорошо помогает для углов

в диапазоне от 0 до 90°.

Но проблемы возникают,

когда угол переваливает, как бы, за 90°.

Для нахождения синуса, косинуса и тангенса

любого угла я покажу вам другое определение,

которое будет выведено из SOH CAH TOA.