-
In deze video wil ik je de
-
basis geven van de driehoeksmeetkunde
-
Het klinkt als een heel complex onderwerp
-
maar je zal zien dat het gewoon de studie is
-
van de verhoudingen van de zijden van driehoeken.
-
Het "trig" gedeelted van het woord "trigonometry" betekent letterlijk
-
driehoek en het "metry" gedeelte betekent letterlijk
-
meten. Laat me je gewoon enkele voorbeelden geven.
-
Ik denk dat dat alles duidelijk zal maken.
-
Laat me enkele rechthoekige driehoeken tekenen, laat me gewoon
-
een rechthoekige driehoek tekenen. Dus dit is een rechthoekige driehoek.
-
Het is een rechthoekige driehoek omdat
-
een van de hoeken hier 90 graden meet.
-
Dit hier is een rechte hoek.
-
De hoek meet 90 graden.
-
En we zullen het hebben over andere manieren
-
om de grootte van hoeken uit te drukken in de toekomst.
-
Dus we hebben een hoek van 90 graden.
-
Het is een rechthoekige driehoek, laat me enkele
-
lengtes noteren tegen de zijden. Deze zijde hier is bijvoorbeeld 3 lang. Deze hoogte hier is 3.
-
Misschien dat de basis van de driehoek hier 4 lang is.
-
En de hypothenusa van de driehoek hier is 5 lang.
-
Er is enkel een hypothenusa bij rechthoekige driehoeken.
-
Het is de zijde recht tegenover de rechte hoek en het is de langste zijde van de rechthoekige driehoek.
-
Dus dat daar is de hypothenusa.
-
Je hebt dat waarschijnlijk al geleerd in driehoeksmeting.
-
En je kan verifieren dat deze rechthoekige driehoek - de lengtes van de zijden kloppen -
-
we weten door stelling van pythagoras, dat 3 in het kwadraat
-
plus 4 in het kwadraat, gelijk moet zijn aan de lengte van de langste zijde,
-
de lengte van de hypothenusa in het kwadraat is gelijk aan 5 in het kwadraat
-
dus je kan verfieren dat dit klopt
-
dat dit voldoet aan de stelling van pythagoras
-
Nu met dit van de baan, laten we een beetje driehoeksmeting leren.
-
De basisfuncties uit de driehoeksmeting,
-
we gaan een beetje meer leren over wat deze functies betekenen.
-
Er is de sinus, de sinus functie.
-
Er is de cosinus functie en er is de tangens functie.
-
En je schrijft sin, of S-I-N, C-O-S, en T-A-N als afkorting.
-
En deze duiden, voor eender welke hoek in deze driehoek,
-
de verhouding aan tussen bepaalde zijden.
-
Laat me gewwon iets uitschrijven.
-
Dit is gewoon een ezelsbruggetje,
-
dus iets om je de definitie van deze functies te helpen herinneren,
-
maar ik ga iets neerschrijven dat noemt "soh cah
-
toa", het zal je verbazen hoever je in driehoeksmeting kan geraken met dit ezelsbruggetje.
-
We hebben "soh cah toa", en wat dat ons vertelt is:
-
"soh" vertelt ons dat de "sinus" gelijk is aan de overstaande zijde over de hypothenusa.
-
Dat zegt het ons. En dit zal je voorlopig nog niet echt duidelijk zijn,
-
Ik zal het dadelijk een beetje gedetailleerder doen.
-
En de cosinus is gelijk aan de aanliggende over de hypothenusal.
-
En dan is er tenslotte nog tangens,
-
tangens is gelijk aan de overstaande over de aanliggede zijde.
-
Je denkt waarschijnlijk, "hey, Sal wat is dat allemaal met die "overstaande"
-
"hypothenusa", "aanliggende", waar hebben we het over?"
-
wel, laten we hier een hoek nemen.
-
Laten we zeggen dat deze hoek hier theta is,
-
tussen de zijde met lengte 4 en de zijde
-
met lengte 5. Dit is theta
-
Dus laten we de sinus van theta berekenen,
-
de cosinus van theta, en de tangens van
-
theta
-
Dus als we ons eerst focussen op de sinus van theta,
-
we moeten gewoon "soh cah toa" onthouden,
-
sinus is overstaande over hypothenusa, dus sinus van theta is gelijk aan de overstaande -
-
wat is de overstaande zijde ten opzichte van de hoek?
-
Dus dit is onze hoek hier, de overstaande zijde,
-
als we gewoon naar de overstaande zijde gaan,
-
niet de zijden die zowat tegen de hoek aangrenzen,
-
de overstaande zijde is 3,
-
als je gewoon wat - hij opent naar die 3,
-
dus de overstaande zijde is 3.
-
En wat is de hypothenusa dan?
-
wel, dat weten we al - de hypothenusa hier is 5.
-
Dus het is 3 over 5.
-
De sinus van theta is 3/5.
-
En ik zal je dadelijk laten zien dat de sinus van theta -
-
als deze hoek een bepaalde hoek heeft - altijd gelijk zal zijn aan 3/5.
-
De verhouding tussen de overstaande zijde en de hypothenusa zal altijd gelijk zijn,
-
zelfs als de eigenlijke driehoek groter was
-
of kleiner.
-
Ik zal je dat zodadelijk laten zien.
-
Laten we over alle functies stappen.
-
Laten we eens zien wat de cosinus van theta is.
-
Cosinus is aanliggende over hypothenusa, dus onthoud
-
laat me ze labelen.
-
We hebben al gevonden dat de 3 de overstaande zijde was.
-
Dit is de overstaande zijde
-
En aleen als we het over deze hoek hebben.
-
Als we het over deze hoek hebben - dan is deze zijde de overstaande ervan.
-
Als we het over deze zijde hebben, de 4 zijde
-
die is aanliggend ervan.
-
het is een van de zijden die zowat het
-
knooppunt vormen hier.
-
Dus dit hier is de aanliggende zijde
-
En ik wil zeer duidelijk zijn,
-
dit geldt enkel voor deze hoek.
-
Als we het over die hoek hebben,
-
dan is deze groene zijde de overstaande zijde,
-
en dan zou deze gele zijde de aanliggende zijde zijn.
-
Maar we concentreren ons nu op deze hoek hier
-
Dus de cosinus van deze hoek - de aanliggende zijde van deze hoek is 4,
-
dus de aanliggende over de hypothenusa
-
de aanliggende, die 4 is, over de hypothenusa,
-
4 over 5.
-
Laten we nu de tangens doen.
-
Laten we de tangens doen.
-
De tangens van theta: overstaande over aanliggende
-
De overstaande zijde is 3. Wat is de aanliggende zijde?
-
We hebben dat al uitgezocht, de aanliggende
-
zijde is 4.
-
Dus doordat we de zijden van de rechthoekige driehoek kenden
-
konden we de belangrijkste functies uit de driehoeksmeting uitrekenen.
-
En we zullen zien dat er nog andere functies zijn in de driehoeksmeting,
-
maar die kunnen afgeleid worden van deze drie
-
basisfuncties.
-
Nu, laten we eens denken over een andere hoek in deze driehoek,
-
en ik zal hem hertekenen, omdat mijn driehoek een beetje slordig begint te worden.
-
Dus ik zal exact dezelfde driehoek hertekenen.
-
Exact dezelfde driehoek.
-
En, nogmaals, de lengtes van deze driehoek zijn -
-
we hebben een lengte van 4 daar, we hebben lengte 3 daar,
-
we hebben lengte 5 daar.
-
In het laatste voorbeeld hebben we deze theta gebruikt.
-
Maar laten we een andere hoek gebruiken, laten we deze hoek hierboven gebruiken,
-
en laten we deze hoek noemen - ik weet niet, ik zal iets bedenken,
-
een willekeurige grieks letter,
-
Laten we zeggen dat het psi is
-
Ik weet het, het is een beetje vreemd.
-
Theta is wat je normaal zou gebruiken,
-
maar aangezien ik theta al gebruikt heb, laten we psi gebruiken.
-
Of eigenlijk - laat me het vereenvoudigen,
-
laat me deze hoek x noemen.
-
Laten we deze hoek x noemen.
-
Dus laten we de goniometrische functies voor die hoek x berekenen.
-
Dus we hebben sinus x, dat zal gelijk zijn aan wat?
-
Wel, sinus is overstaande over hypothenusa.
-
Dus wat is de overstaande zijden ten opzichte van x?
-
Wel hij opent naar 4 hier,
-
Hij opent richting de 4.
-
Dus in deze context, is dit nu de overstaande,
-
dit is nu de overstaande zijde.
-
4 was aanliggende ten opzichte van theta,
-
maar het is overstaande ten opzichte van x.
-
Dus het zal 4 zijn over -
-
waar is nu de hypothenusa?
-
wel, de hypothenusa zal hetzelfde zijn
-
ongeacht welke hoek je kiest,
-
dus de hypothenusa zal nu 5 zijn
-
dus het is 4/5
-
Laten we nu een andere doen; wat is de cosinus van x?
-
Dus cosinus is aanliggende over hypothenusa.
-
Welke zijde is aanliggend ten opzichte van x, en is niet de hypothenusa?
-
De hypothenusa ligt hier.
-
wel, De 3 zijde, het is een van de zijden die
-
het knooppunt vormen waar x ligt, en is niet de hypothenusa,
-
dus dit is de aanliggende zijde.
-
Dat is de aanliggende.
-
Dus het is 3 over de hypothenusa,
-
de hypothenusa is 5.
-
En dan uiteindelijk, de tangens.
-
We willen de tangens van x uitrekenen.
-
Tangens is overstaande over aanliggende,
-
"soh cah toa", tanges is overstaande over aanliggende,
-
overstaande over aanliggende.
-
De overstaande zijde is 4.
-
Ik wil dat in het blauw doen.
-
De overstaande zijde is 4, en de aanliggende zijde is 3.
-
En dat is het!
-
En in de volgende video zal ik een hele hoop meer voorbeelden geven hierover,
-
zodat we het ons beginnen eigen te maken.
-
Maar ik wil je achterlaten, denkend aan wat er gebeurt als
-
deze hoeken 90 graden beginnen te benaderen.
-
of hoe zouden ze zelfs groter dan 90 grader kunnen worden.
-
En we zullen zien dat deze definitie,
-
de "soh cah toa" definitie ons ver brengt
-
voor hoeken tussen de 0 en 90 graden,
-
of die kleiner zijn dan 90 graden.
-
Maar ze beginnen na te laten
-
rond de grensgebieden.
-
En we zullen een nieuwe definitie introduceren,
-
die zowat afgeleid is van de "soh cah toa" definitie
-
voor het vinden van de sinus, cosinus en tangens
-
van echt elke hoek.
