Základní trigonometrie

Úvod do trigonometrie

V tomto videu se naučíme

základy trigonometrie.

Zní to velmi složitě,

ale brzy uvidíte, že je to jen práce

s poměry stran trojúhelníků.

Trig ve slově trigonometrie
doslovně znamená

trojúhelník a metrie doslovně
znamená míra, měřit.

Dejme si teď několik příkladů.

Myslím, že vám pak bude vše jasné.

Teď si nakreslíme
nějaký pravoúhlý trojúhelník.

Když říkám pravoúhlý trojúhelník, myslím
tím, že jeden z jeho úhlů je 90 stupňů.

Toto je ten úhel, který má 90°.

Je to přesně 90°.

V dalších videích budeme
mluvit o způsobech.

jak zjišťovat velikost úhlů.

Tak tedy máme pravý úhel.

Je to tedy travoúhlý trojúhelník.
Zvolme si nyní délku této strany

Tato strana bude například 3,
výška trojúhelníku je 3.

Tato strana trojúhelníku bude například 4

a nyní přepona trojúhelníku zde bude 5.

Pojem přepona se používá
pouze pro pravoúhlý trojúhelník.

Je to ta strana proti pravému úhlu,
je to nejdelší strana trojúhelníku.

Tak toto je tedy přepona.

Pravděpodobně jste už
o tom slyšeli v geometrii.

Můžeme si ověřit,
že je tento trojúhelník pravoúhlý.

Z Pythagorovy věty víme, že 3 na druhou

plus 4 na druhou, by mělo dát
druhou mocninu délky nejdelší strany,

délky přepony na druhou, tedy 5 na druhou.

Vidíme, že to funguje.

A to je ta úžasná Pythagorova věta.

A nyní se konečně
dostáváme k trigonometrii.

Základní trigonometrické funkce,

naučíme se nyní podrobněji
co to vlastně znamená.

První z nich je sinus, funkce sinus.

Další je funkce kosinus a
také funkce tangens.

Zkráceně zapisujeme sin,
cos nebo tan (tg).

A tyto funkce vyjadřují pro každý úhel
v trojúhelníku poměry určitých stran.

Dovolte mi ještě jednu poznámku.

A mnemotechnická pomůcka
v angličtině, pro snadné

zapamatování definic těchto funkcí,
je "princezna Soh-cah-toa".

Napíšu to. Pokud se naučíte anglicky:

protilehlá - opposite, přilehlá - adjacent
a přepona - hypotenuse,

budete se divit, jak moc
je tato pomůcka v trigonometrii užitečná.

Jak jsou tedy tyto funkce definovány.

Soh znamená sinus rovná se
opposite děleno hypotenuse.

Tedy: sinus úhlu je
protilehlá odvěsna ku přeponě.

Říká nám to
..a teď vám to asi ještě nebude jasné

Ukážu to podrobně za chviličku.

Dál máme Cah, což je cosinus rovná se
adjacent děleno hypotenus.

Tedy: Kosinus úhlu je
přilehlá odvěsna ku přeponě.

a konečně tu máme Toa, to značí
tangent rovná se opposite děleno adjacent.

Tedy: tangens úhlu je
protilehlá ku přilehlé odvěsně.

Možná si právě říkáte,
ale jak poznám protilehlou a přilehlou

odvěsnu a přeponu?

Dobře, vezměme si tento úhel.

Označme si tento úhel theta,

Je to úhel mezi stranou o délce 4

a stranou o délce 5, to je théta.

Nyní si zjistíme,
čemu se rovná sinus theta,

kosinus theta
a jaký je tangens tohoto úhlu.

Nejdříve se zaměříme na sinus úhlu theta

z definice víme,

že sinus je protilehlá odvěsna ku přeponě.

Takže, co znamená
protilehlá strana k úhlu?

Tak toto je náš úhel, protilehlá strana

je ta, která je naproti,

nikoli jedna ze stran,
mezi nimiž úhel leží,

protější strana je 3,

vypadá to, že úhel
je rozevřen ke straně délky 3,

tedy protilehlá strana je 3.

A nyní, co je přepona?

To my přece víme, přepona je 5.

Tedy máme 3 ku 5.

sinus úhlu theta je zlomek 3 děleno 5.

Později vám ukážu, že sinus úhlu theta..

pokud je to tento určitý úhel,
vždy bude 3/5

Poměr protilehlé strany
a přepony vždy vyjde stejně,

dokonce i když tento troúhelník zvětšíme

nebo zmenšíme.

To si ještě ukážeme.

Nyní se podíváme
na ostatní trigonometrické funkce.

Jak vypadá kosinus theta?

Kosinus je přilehlá ku přeponě,
jak si jistě pamatujete,

napišme si to.

Už jsme si odvodili,
že strana délky 3 je protilehlá.

Tato je protilehlá.

a to pouze pokud hovoříme o tomto úhlu.

Když hovoříme o tomto úhlu,
je toto protilehlá strana.

Pořád jsme u stejného úhlu,
strana o délce 4 je k němu přilehlá.

Je to jedna ze stran, která ho tvoří,

vytváří v něm vrchol.

Tak toto je ta přilehlá strana.

Mějme na paměti,

že to platí pouze pro tento úhel.

Pokud se budeme bavit o tomto úhlu,

tak ta zelená strana bude protilehlá,

a ta žlutá strana bude přilehlá.

Zaměřujeme se tedy na tento úhel.

kosinus tohoto úhlu je tedy..
..přilehlá strana k tomuto úhlu je 4,

tedy počítáme jako přilehlá ku přeponě,

což je 4, ku přeponě

4 děleno 5.

Nyní určíme tangens.

Jdeme na to.

Tangens theta je protilehlá ku přilehlé.

Protilehlá strana je 3.
Která strana je přilehlá?

Už jsme si odvodili, že přilehlá
strana je 4.

Když známe strany
pravoúhlého trojúhelníku,

jsme schopni odvodit
základní trigonometrické vztahy.

Brzy uvidíme,
že existují ještě jiné vztahy,

ale ty se také dají odvodit z těchto tří
základních funkcí.

Nyní, budeme uvažovat
jiný úhel z tohoto trojúhelníku.

Raději si to překreslíme, protože ten můj
trojúhelník začíná být trošku přeplácaný.

Nakreslíme přesně ten samý trojúhelník.

Ještě jednou, délky stran
tohoto trojúhelníku jsou 3, 4 a 5.

V minulém příkladu jsme
používaly tento úhel theta.

Nyní si vezmeme jiný úhel

a nazveme ho..
teď nevím, něco vymyslím..

náhodné řecké písmeno..

Řekněme, že to bude psí.

Je poněkud podivné.

Normálně se používá theta,

ale tu už jsem použil minule,
tak teď použijeme psi.

Nebo si to zjednodušíme,

pojmenujme tento úhel x.

Nyní si vypíšeme
trigonometrické funkce pro úhel x.

Takže máme sinus x, to se rovná čemu?

To je legrace,
sinus je protilehlá ku přeponě.

Jaká strana je protilehlá k x?

Úhel se jakoby otevírá ke straně délky 4,

Pro tento úhel,
je to tedy nyní protilehlá strana,

Pamatujete,
4 byla přilehlou stranou k úhlu theta,

ale je protilehlou k úhlu x.

Takže budeme mít 4 ku..

jaká je naše přepona?

Přepona je pořád stejná, ať už
si vybereme kterýkoli z úhlů,

takže přepona je 5,
máme tedy výsledek 4/5.

Nyní si zkusme další,
jak vypadá kosinus x?

Kosinus je přilehlá ku přeponě.

Která strana je přilehlá k úhlu x,
není to přepona.

Přeponu máme tady.

Takže strana délky 3,
je jedna ze dvou stran,

které tvoří úhel x, a není to přepona,

je to tedy přilehlá strana.

máme tedy 3 ku přeponě,

přepona je 5.

A nakonec tangens.

Chceme odvodit vztah pro tangens x.

Tangens je protilehlá ku přilehlé.

"soh cah toa",
tangenta je opposite děleno adjacent,

přilehlá děleno protilehlou.

Protilehlá strana je 4.

Napíšeme ji modře.

Protilehlá strana je 4,
přilehlá strana je 3.

A máme to!

A v dalším videu si
to ukážeme na více příkladech,

teď už máme dobrý základ.

Ale nechám vás přemýšlet, co se stane,

když se tento úhel bude
blížit k 90 stupňům,

nebo bude dokonce větší než 90 stupňů.

A ukážeme si, jak nás tyto definice,

sin, cos a tan dovedou daleko

pro úhly mezi 0 a 90 stupni,

tedy pro úhly menší než 90 stupňů.

Může se to být ze začátku zmatené,

ale představíme si nové definice,

které jsou pomocí těchto odvozeny,

a pomocí nichž dokážeme najít sinus,
cosinus a tangens libovolného úhlu.