Основи на тригонометрията

Въведение в тригонометрията

В това видео искам да ти представя
основите на тригонометрията.

Звучи като нещо сложно,

но всъщност всичко се свежда до изучаване

на отношенията на страните
в правоъгълен триъгълник.

"Триг" в думата "тригонометрия" буквално означава

триъгълник, а "метрия" означава измерване.

Нека ти дам няколко примера.

Така ще ти стане по-ясно.

Нека начертая един правоъгълен триъгълник.

Ето това е правоъгълен триъгълник.

Когато казвам, че триъгълникът е правоъгълен,

имам предвид, че единият от ъглите му е 90 градуса.

Ето това тук е прав ъгъл.

Той е равен на 90 градуса.

В следващите уроци ще се запознаем и с други начини

за означаване големината на ъглите.

И така, имаме прав ъгъл и правоъгълен триъгълник.

Нека зададем дължини на някои от страните.

Нека тази страна е с дължина 3.

По-точно тази височина е равна на 3.

И нека основата на триъгълника ето тук е 4.

И накрая – хипотенузата ето тук е 5.

За хипотенуза говорим само когато имаме правоъгълен триъгълник.

Тя е страната срещу правия ъгъл и е най-дългата страна в правоъгълния триъгълник.

Така че ето това тук е хипотенузата.

Това вероятно вече го знаеш от часовете по геометрия.

С питагоровата теорема можем да се уверим, че това наистина е правоъгълен триъгълник.

Според нея 3 на квадрат плюс 4 на квадрат трябва да бъде равно

на дължината на най-дългата страна на квадрат.

Дължината на хипотенузата на квадрат е равна на 5 на квадрат.

Можеш да се увериш, че това е така –

че отговаря на питагоровата теорема.

Да научим малко повече за тригонометрията.

Ще разгледаме малко по-подробно основните тригонометрични функции

и какво всъщност означават те.

Имаме функцията синус,

функцията косинус и функцията тангенс.

И ги записваме sin, cos и tg накратко.

Тези функции определят отношенията между страните

за всеки ъгъл в този триъгълник.

Ще запиша встрани нещо,

което да ти помогне да запомниш по-лесно

дефинициите на тези три функции.

Ще напиша нещо, което се нарича "soh cah toa".

Това съкращение идва от английските определения на функциите.

Да видим откъде идват съкращенията:

"soh" ни казва, че синусът е равен на срещулежащия катет върху хипотенузата.

sin = opposite / hypotenuse (soh)

След малко ще се върнем на това с повече подробности.

Косинусът е равен на прилежащия катет върху хипотенузата.

cos = adjacent / hypotenuse (cah)

И накрая тангенсът е равен на срещулежащ върху прилежащ катет.

tg = opposite / adjacent (toa)

Какви са всички тези понятия – срещулежащ катет, прилежащ катет, хипотенуза?

Да вземем например един ъгъл,

да означим този ъгъл тук с "тита".

Той е между страната с дължина 4

и страната с дължина 5.

Сега да намерим колко са синус от тита,

косинус от тита и тангенс от тита.

Най-напред да насочим вниманието си

към намиране на синуса.

Просто трябва да запомним "soh cah toa".

Синус от тита е срещулежащият катет върху хипотенузата.

Какво значи страната да е срещулежаща спрямо ъгъла?

Ето това тук е нашият ъгъл.

Срещулежащият катет,

не прилежещият, е равен на 3.

Ъгълът се отваря към тази страна с дължина 3.

Срещулежащият катет е 3.

Сега да видим колко е хипотенузата.

Е това вече го знаем - хипотенузата е 5.

Така че записваме 3 върху 5.

Синусът на ъгъла е 3/5

След малко ще ви покажа, че синусът на този ъгъл,

ако това е нашият ъгъл, винаги ще е равен на 3/5.

Отношението на срещулежащия катет и хипотенузата винаги ще е едно и също,

независимо дали триъгълникът е по-голям или по-малък.

Нека да погледнем и останалите тригонометрични функции.

Да помислим колко е косинус от тита.

Косинус е прилежащ катет върху хипотенуза.

Нека ги означим.

Вече видяхме, че 3 е дължината на срещулежащия катет.

Ето това е срещулежащият катет.

Само когато става дума точно за този ъгъл,

за него тази страна е срещулежаща,

а страната с дължина 4 е прилежащият катет.

Тя е едната от страните, които оформят върха.

Ето това тук е прилежащ катет.

И нека да стане ясно,

че това важи само за този ъгъл.

Ако говорим за този ъгъл,

тогава тази зелена страна ще е срещулежаща,

а тази в жълто – прилежаща.

Но сега се фокусираме върху този ъгъл ето тук.

Косинусът на този ъгъл – интересува ни прилежаща страна.

Прилежащата страна на този ъгъл е 4.

Имаме прилежащ кътет върху хипотенуза.

Прилежащата страна е 4, следователно

получаваме 4/5.

Сега нека видим тангенса.

Тангенс от тита е срещулежащ кум прилежащ.

Срещулежащият катет е 3.

Колко е прилежащият?

Прилежащият катет е 4.

Знаейки страните на този правоъгълен тригълник,

успяхме да намерим основните тригонометрично функции.

Ще видим, че има и други тригонометрични отношения,

но всички те могат да се извлекат от тези три основни.

Сега нека помислим за друг ъгъл в този триъгълник.

Ще го преначертая, защото

в този вече има твърде много информация.

Чертая съвсем същия триъгълник.

Имаме дължините в триъгълника –

те са 4, 3 и 5 за хипотенузата.

В предния пример използвахме ъгъл тита – ето този тук.

Сега нека да вземем някой друг – например този тук горе.

Нека го наречем... ще си избера някоя гръцка буква.

Нека да е "пси". Знам, че е малко странно.

Тита го използваме постоянно,

но тъй като вече използвах тита, нека сега използваме пси.

Всъщност ще го опростя.

Вместо пси, ще го нарека 'х'.

И сега да видим тригонометричните функции за ъгъл х.

Синус от х ще е равно на какво?

Синус е срещулежащ към хипотенуза.

Коя страна е срещулежащата на ъгъл х?

Ъгъл х се отваря към това 4,

следователно сега тази страна е срещулежащата.

Забележи, че 4 беше прилежаща за ъгъл тита,

но е срещулежаща за ъгъл х.

Така че ще имаме 4 върху –

на колко ще е равна хипотенузата?

Хипотенузата е една и съща, независимо кой ъгъл избираш.

Така че хипотенузата е 5.

Следователно за синус от х имаме 4/5.

Добре, на колко ще е равен косинус от х?

Косинус е прилежащ към хипотенуза.

Кой катет е прилежащ за ъгъл х?

Това няма да е хипотенузата.

Прилежащият катет е страната с мярка 3.

Това е едната от страните, които образуват върха,
но не е хипотенузата.

Следователно 3 е прилежащият катет.

Следователно имаме 3 върху хипотенузата. Хипотенузата е 5.

И накрая – тангенс от х.

Тангенс е срещулежащ към прилежащ катет.

Soh cah toa – тангенс е срещулежащ към прилежащ.

Срещулежащата страна е 4.

Искам да го направя в същия син цвят.

Срещулежащият катет е 4,

а прилежащият е 3.

И сме готови.

В следващото видео ще направя много такива примери,

така че наистина да развием усет за тези неща.

Ще те оставя да помислиш какво се случва,

ако тези ъгли започнат да наближават 90 градуса.

Могат ли да станат по-големи от 90 градуса?

Ще видим, че това правило "soh cah toa" важи за ъгли,

чиито мерки са между 0 и 90 градуса.

Но започват много да се смесват, когато са на границата.

Ще въведем и ново правило, което

отчасти извличаме от "soh cah toa",

за да намираме синус, косинус и тангенс за какъвто и да е ъгъл.